资源简介

(共35张PPT)
湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3.4　用待定系数法确定一次函数的表达式
情景导入
旧知回顾：
1．如果一次函数y＝kx＋b的图象经过第一象限且与y轴负半轴相交，那么( )
A．k>0，b>0　　　B．k>0，b<0　　　
C．k<0，b>0　　　D．k<0，b<0
2．已知函数y＝kx，当x＝2时，y＝6，则k＝____．
3．由第2题可知，要确定正比例函数的表达式需要几个条件？
B
3
答：只需要知道一个点的坐标即可．
知识模块一　用待定系数法确定一次函数表达式
自学互研
如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1）， Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？
因为一次函数的一般形式是y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，要求出一次函数的表达式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）.
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两点
(x1, y1)，(x2, y2)
一次函数的图象
直线l
选取
画出
选取
解出
因为P（0，-1）和Q（1，1）都在该函数图象上， 因此它们的坐标应满足y=kx+b.
将这两点坐标代入该式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组：
k·0 + b =-1，
k + b = 1.
解这个方程组，得
k = 2，
b =-1.
所以，这个一次函数的表达式为y=2x-1.
像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法.
你能归纳出待定系数法求函数表达式的基本步骤吗？
待定系数法：
①设这个函数表达式为y=kx+b；
②把已知点的坐标x，y的对应值代入解析式列出方程组；
③解这个二元一次方程组，求出k、b的值；
④把所求出k、b的值代入y=kx+b中，可具体写出一次函数的表达式.
即：一设二列三解四还原.
从上述过程可以看到，给出一条与坐标轴不平行且不重合的直线，找出它经过的两个点的坐标，就可以用待定系数法求出经过这两个点的一次函数的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线.
自
探
主
究
已知直线y＝kx＋b经过点(k，3)和(1，k)，则k的值为 ( )
A．B．± C． D．±
B
合
探
作
究
已知一次函数y＝kx＋b的图象与y＝x平行，且过点(1，2)，那么它必过点 ( )
A．(－1，0) B．(2，－1)
C．(2，1) D．(0，－1)
A
要确定正比例函数的表达式需要几个条件 与同学交流你的想法.
例1 世界上大多数国家(包括我国)都采用摄氏温标预报天气，而美国仍然采用华氏温标，已知两种温标计量值的对应关系如下表所示，尝试用函数表达它们的对应关系.
摄氏温度x/°C 0 10 20 30 40 50
华氏温度y/°F 32 50 68 86 104 122
知识模块二　利用一次函数解决实际问题
自学互研
解 由上表可知，摄氏温度每增加10°C，华氏温度都增加18°F，于是它们之间的关系可用一次函数关系式表示.
因此可以设所求函数表达式为
y=kx＋b(k，b为常数，k≠0).
由已知条件，得
b=32，
10k＋b=50.
解得
k=，
b=32.
因此，华氏温度与摄氏温度的函数表达式为
y= x＋32.
例2 某种收割机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y(L)与工作时间x(h)之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)一箱油可供收割机工作几小时？
(1)求y关于x的函数表达式；
解：设一次函数的表达式为y=kx+b(k，b为常数，k≠0).
由于点P(2, 30)，Q(6, 10)都在一次函数图像上，将这两点坐标带入表达式，得
2k + b = 30，6k + b = 10.
解得
所以函数表达式为y=-5x+40.
k=-5，
b=40.
(2)一箱油可供拖拉机工作几小时？
解：当剩余油量为0时，即y=0时，
得-5x+40=0，x=8.
所以一箱油可供拖拉机工作8h.
自
探
主
究
(1)例1中摄氏温度与对应的华氏温度的值有相等可能吗？
答：有，当x＝y，即x＋32＝x时．
(2)例2中若将(0，40)(8，0)代入表达式我们可以发现什么？
答：若将这两点代入表达式中，可快速得到k，b两个未知数的值，所以在求函数模型的时候，尽可能选择使得计算量最少的数据．
合
探
作
究
1．若弹黄的总长度y(cm)是所挂重物x(kg)的一次函数，图象如图所示，由图可知，不挂重物时，弹簧的长度是多少？
解：设这个函数的表达式为y＝kx＋b，
由题意，得
所以y＝0.5x＋10.
5k＋b＝12.5，
20k＋b＝20
k＝0.5，
b＝10.
解得
当弹簧不挂重物时，即x＝0时，y＝10，
所以不挂重物时弹簧的长度是10cm.
2．某通信公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(min)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示：
(1)月通话时间为100 min时，应缴话费____元．
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式．
(3)月通话时间为280 min时，应缴话费多少元？
40
解：(2)y＝x＋20(x≥100)
(3)76元．
课堂小结
1.求一次函数表达式的步骤：
（1）设一次函数一般式
（2）根据已知条件列出关于k，b的方程
（3）解方程，求k，b
（4）把k，b代回表达式中，写出表达式
--------设
--------列
--------解
--------写
2.求出表达式后已知其中一个量求另一个量
3.根据函数图象回答或求出相关问题
随堂练习
【选自教材P106练习 第1题】
1.已知一次函数的图象经过两点A(-1, 3)，B(2, -5)，求这个函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为y=kx+b，
由于点A(-1, 3)，B(2, -5)都在一次函数图像上，将这两点坐标带入表达式，得
-k + b = 3，
2k + b = -5.
解得
因此所求一次函数的解析式为y=－ x +
k =－， b=
2.根据本节例1的结果，将84℉换算成摄氏温度.
【选自教材P106练习 第2题】
解：由摄氏温度与华氏温度的函数关系得
解得C≈28.9(℃)
因此，把温度84℉换算成摄氏温度约为28.9℃.
C = ×84－
3.点A′是点A(6，2)关于y轴的对称点.若一个正比例函数的图象经过点A′ ，求该函数的表达式.
【选自教材P106练习 第3题】
解：∵ A′是点A(6，2)关于y轴的对称点，
∴ A′ (－6，2).
设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵正比例函数正比例函数的图象经过点A′ (－ 6,2)，
∴2=－6k，解得k=－
∴这个正比例函数的解析式是y=－.
湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3.4　用待定系数法确定一次函数的表达式
习题3.4
1.已知正比例函数的图象经过点M(-1，5)，求这个函数的表达式.
解：设函数表达式为y=kx，
把M(-1，5)的坐标代入上式，得5=-k，
解得k=-5.所以y=5x.
解：(1)设这个一次函数的表达式为y=kx+b.
4k + b = 9，
6k + b = -1，
k = -5，
b = 29，
所以这个一次函数的表达式为y=-5x+29.
2.已知y是x的一次函数，且当x=4时，y=9;当x=6时，y=－1.
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)当x= －时，求y的值;
(3)当y=7时，求自变量x的值.
因为当x=4时，y=9；当x=6 时，y=-1，
所以
解得
(2)当x=－时，y=－5×（－） +29= .
(3)当y=7时，7=－5x+29，解得x= .
3.如图，直线OA的表达式为y=3x.，点A的横坐标是－1，OB=，OB与x轴所夹锐角是45°.
(1)求点B的坐标;
(2)求直线AB的表达式.
解:(1)如图，过点B作BE⊥x轴于点E，BF⊥y轴于点F.
∵OB=,OB与x轴所夹锐角是45°，
∴BE=BF=1,
∴点B的坐标为(1,－1).
E
F
E
F
(2)直线OA的表达式为y=3x,点A的横坐标是－1，则y=－3，
∴点A的坐标为(－1， －3).
设直线AB的表达式为y=kx+b,则
－k + b = －3，
k + b = －1，
k = 1，
b = －2 ，
解得
∴直线AB的表达式为y=x－2.
解：(1)设y关于x的函数表达式为y-3=kx.
由当x=2时，y=7，得7-3=2k，解得k=2，所以y=2x+3.
(2)当x=-时，y=2x+3=2× (-) +3=2.
4.已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)当x=-时，求y的值;
(3)将所得函数的图象平移，使它过点(2，-1)，求平移后图象的表达式.
(3)设平移后图像的表达式为y=2x+b.
4.已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)当x=-时，求y的值;
(3)将所得函数的图象平移，使它过点(2，-1)，求平移后图象的表达式.
因为当x=2时，y=-1，
所以4+b=-1，解得b=-5，
所以y=2x-5.
5.某商场的营业员小李销售某种商品，她的月收入与她该月的销售量之间成一次函数关系，其图象如图所示.
根据图象提供的信息，解答下列问题:
(1)小李在没有销售量时的收人是多少元
(2)求小李的月收人y(元)关于月销售量x(件)的函数表达式;
(3)已知小李4月份的销售量为250件，小李4月份的收入是多少元
解：(1)小李在没有销售量时，她的收入是400元.
(2)由题意可设y与x的函数表达式为y=kx+b.
由图像可知，当x=0时，y=400；
当x=200时，y=1000，
所以
解得
所以小李的月收入y(元)关于月销售量x(件)的函数表达式为y=3x+400.
(3)当x=250时，y=3x+400=3×250+400=1150(元).
所以小李4月份的收入为1150元.
b= 400,
200k+b=1000,
k= 3,
b=400,

展开更多......

收起↑