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湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3．3　一次函数的图象
第1课时　正比例函数的图象和性质
情景导入
1．下列函数中，y是x的正比例函数的是__________．
(1)y＝－2x；(2)y＝6x2；(3)y＝2x－1；
(4)y＝－2x；(5)－x；(6)y＝0.2x.
2．若y＝(n－2)x3m-2是正比例函数，则m____，
n____．
(1)(4)(6)
＝1
≠2
知识模块一　正比例函数图象的画法
自学互研
如何画正比例函数y=2x的图象
列表:在自变量的取值范围内，取自变量的一些值，计算出相应的函数值，列成表格.下表是正比例函数y=2x中y与x的几组对应值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
描点：建立平面直角坐标系，以自变量值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出这些点，如图：
连线：用一条直线将平面直角坐标系中的各点连接，即可得到y=2x的图象.
自
探
主
究
画出正比例函数y＝－3x的图象．
解：(1)列表．
x … 1 0 －1 …
y … －3 0 3 …
(2)描点．
(3)连线．
y＝－3x
例1 画出正比例函数y=-2x的图象．
解 函数y=－2x的图象经过原点O.
当x=1时，y= －2.
在平面直角坐标系中描出点A（1，-2），过原点O和点A作直线，则这条直线是y=－2x的图象，如图所示．
从图中可以看出， y=-2x的图象是经过原点的一条直线．
A
y=-2x
总结归纳
画函数图象的一般步骤：
① 列表
② 描点
③ 连线
能够简化吗？
一般地，：正比例函数y=kx的图象是一条经过原点O的直线.
根据“两点确定一条直线”，要画正比例函数的图象，只需描出图象上的两个点即可.又由于正比例函数的图象经过原点O，因此，只要再描出图象上的一个点，然后过这点和原点就可作出这条直线.通常把这条直线叫作“直线y=kx”.
知识模块二　正比例函数图象的性质
自学互研
(1)观察图中y=2x的图象，当自变量x的取值由小变大时,对应的函数值y如何变化
y=2x
由图可知，对于y=2x ，当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y由小变大.
(2)观察图中y=-2x的图象，当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y如何变化
由图可知，对于y=-2x ，当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y由大变小.
y=-2x
y=-2x
y=2x
不同点：函数y=2x的图象经过第________象限，从左向右____________，函数y=-2x的图象经过第________象限.从左向右____________.
一、三
呈上升状态
二、四
呈下降状态
(3)一般道，对于正比例函数y=kx ，其图象应该经过哪些象限 函数值随自变量如何变化
对于正比例函数y=kx ，当k>0时，若x >0，则y=kx>0;若x ＜0，则kx<0.
于是，当k>0时，点P(x，kx)(x≠0)在第一、三象限.
因此，直线y=kx(k>0)经过第三、一象限且从左向右上升，即函数值y随x取值的增大而增大，如图所示.
x
y
增大
增大
y=kx(k>0)
O
于是，当k<0时，点P(x，kx)(x≠0)在第二、四象限.
当k<0时，若x>0，则y= kx <0;若x<0，则y= kx >0.
因此，直线y=kx(k<0)经过第二、四象限且从左向右下降，即函数值y随x取值的增大而减小，如图所示.
x
y
减小
增大
y=kx(k<0)
O
自
探
主
究
函数y＝－3x的图象在第______象限内，经过点(0，____)与点
(1，____)，y随x的增大而____．函数y＝3x的图象在第_______象限内，经过点(0，____)与点 (1，___)，y随x的增大而_____．
y＝－3x
二、四
0
－3
减小
一、三
0
3
增大
合
探
作
究
已知正比例函数y＝(k－2)x.
(1)若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是什么？
(2)若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是什么？
解：(1)k<2.
(2)k>2.
总结归纳
一般地，直线y＝kx(k为常数，k≠0)是一条____．当k>0时，直线y＝kx经过第________象限且从左向右______，即函数值y随x的增大而_______；当k<0时，直线y＝kx经过第________象限且从左向右_____，即函数值y随x的增大而______．
直线
三、一
上升
增大
二、四
下降
减小
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限
k＞0 第一、三象限
k＜0 第二、四象限
例2 某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以3m/s的速度上升，运行总高度为300m.
(1)求电梯运行高度h(m)随运行时间t(s)而变化的函数表达式；
解： (1)由路程=速度×时间可知，h=3t，0≤t≤100.
(2)画出这个函数的图象.
解：当t=0时，h=0；当t=100时，h=300，在平面直角坐标系中描出两点O（0，0），A（100，300）. 过这两点作线段OA，线段OA即函数h=3t（0≤t≤100）的图象，如图所示.
在有限路程内做匀速运动(即速度保持不变)的物体，路程与时间的函数图象一般是一条线段.
知识模块三　正比例函数性质的运用
自学互研
自
探
主
究
已知正比例函数图象经过点(－1，2).
(1)求此正比例函数的表达式．
(2)画出这个函数的图象．
(3)若这个图象还经过点A(a，8)，求点A的坐标．
(2)图象如图．
分析：(1)利用待定系数法求表达式；(2)根据表达式用两点法画图；(3)把A(a，8)代入表达式，即可求出a的值．
解：(1)设函数的表达式为y＝kx，则－k＝2，即k＝－2.故正比例函数的表达式为y＝－2x.
(3)把(a，8)代入y＝－2x，
得8＝－2a，解得a＝－4.
故点A的坐标是(－4，8).
合
探
作
究
已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3.
(1)求正比例函数表达式；
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3，
∴点A的纵坐标为－2，
∴点A的坐标为(3，－2).
∵正比例函数y＝kx经过点A，
∴3k＝－2，解得k＝－，
∴正比例函数的表达式为y＝－x.
(2)∵△AOP的面积为5，点A的坐标为(3，－2)，
∴OP＝5，
∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0).
【选自教材P99 练习 第1题】
1.画出正比例函数y= ，y=3x的图象，并分别指出其经过哪些象限．
y=3x
y=－x
解：正比例函数y=－x 经过二、四象限，正比例函数y=3x经过一、三象限.
2.已知矩形的一边长为6 cm，另一边长为x cm.面积为y(cm2).
(1)求y随x而变化的函数表达式；
(2)画出该函数的图象；
(3)当x=3，4，5时，y是多少？
解：y=6x
y=6x
当x=3时，y=18；
当x=4时，y=24；
当x=5时，y=30.
【选自教材P99 练习 第2题】
课堂小结
正比例函数的图象和性质
图象：经过原点的直线.
当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限.
性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
画正比例函数图象的一般步骤：列表、描点、连线
随堂练习
1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（ ）
B
2.已知正比例函数y=(2m+4)x.
（1）当m ，函数图象经过第一、三象限；
（2）当m ，y 随x 的增大而减小；
（3）当m ，函数图象经过点（2，10）.
＞-2
<-2
=0.5
3. 比较大小：
（1）k1 k2；（2）k3 k4；
（3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接．
＜
解： k1＜k2 ＜k3 ＜k4
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y =k4 x
-4
-2
2
y =k3 x
y =k2 x
y =k1 x
＜
湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3．3　一次函数的图象
第2课时　一次函数的图象和性质
情景导入
旧知回顾
1．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条经过点(0，____)，(1，____)的直线．
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交于点 (－，____)；与y轴交于点(____，____).
0
k
0
0
b
知识模块一　一次函数的平移和画法
自学互研
在平面直角坐标系中，先画出函数y=2x的图象，然后探索y=2x＋3的图象是什么样的图形，并由此猜测y=2x＋3的图象与y=2x的图象之间有什么关系.
先取自变量x的一些值，算出y=2x，y=2x+3对应的函数值，列成表格如下：
从上表可以看出，横坐标相同，y=2x+3的点的纵坐标比y=2x的点的纵坐标大3，于是将y=2x的图象向上平移3个单位，就得到y=2x+3的图象，如图所示.
y=2x
y=2x+3
观察两个函数图象发现：
相同点：都是一条直线；倾斜程度相同；y随x的增大而增大.
不同点：y=2x的图象过原点；y=2x+3的图像与y轴交于点(0，3).
联系：y=2x+3的图像可以看作是y=2x的图象向上平移3个长度单位得到.
y=2x
y=2x+3
由于平移把直线变成与它平行的直线，因此y=2x＋3的图象是一条与直线y=2x平行的直线.
一般地，一次函数y=kx＋b的图象可以看作由正比例函数y=kx的图象沿y轴平移|b|个单位长度(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)而得到.由此得到:
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx的图象平行(当b ≠0时)或重合 (当b =0时).
由于“两点确定一条直线”，因此，画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点，然后过这两点作一条直线即可.我们常常把这条直线叫作“直线y=kx＋b”.
自
探
主
究
1．直线y＝ x向上平移3个单位长度得直线_________．
2．直线y＝－ x向____平移____个单位长度得到直线y＝－x－4.
y＝x＋3
下
4
在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－2x－2平移后，得到直线l2：y＝－2x＋4，则下列平移作法正确的是 ( )
A．将l1向右平移3个单位长度
B．将l1向右平移6个单位长度
C．将l1向上平移2个单位长度
D．将l1向上平移4个单位长度
合
探
作
究
A
总结归纳
一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象可以看作由正比例函数y＝kx的图象沿y轴平移|b|个单位长度(当b>0时，向____平 移；当b<0时，向____平移)得到的．
上
下
y=2x
y=2x+3
(1)一次函数y=kx+b的图象是__________，称它为直线y=kx+b.
(2)直线y=kx+b(k≠0)可以看作是直线y=kx平移______单位长度而得到.
当b>0时，向_____平移，
当b<0时，向_____平移.
一条直线
｜b｜
上
下
总结归纳
一次函数y=kx+b表达式的平移公式
y=kx+b
y=kx+(b+m)
向上平移m个单位
向下平移m个单位
y=kx+(b-m)
y=k(x-m)+b
y=k(x+m)+b
向左平移m个单位
向右平移m个单位
上下平移：常数项b增加或减少；
左右平移：自变量x增加或减少.
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两点即可画出一条直线.
选哪两个点最简单？
一般选直线与坐标轴的两个交点.
知识模块二　一次函数的图象和性质
例3 画出一次函数y=-2x-3的图象．
解：当x=0时，y=-3；
当x=1时，y=-5.
在平面直角坐标系中描出A(0，-3)，B(1，-5)两点，过这两点作直线，则这条直线是一次函数y=-2x-3的图象，如图所示．
A(0，-3)
B(1，-5)
y=-2x-3
从例3看到，在利用两点画一次函数y=kx＋b的图象时，经常取一个点的横坐标为0，此时它的纵坐标是b，又这个点是y=kx＋b的图象与y轴的交点，因此一次函数y=kx＋b的图象与y轴的交点坐标是(0，b).
观察画出的一次函数y=2x＋3， y=－2x－3的图象，你能发现当自变量工的取值由小变大时，其对应的函数值是怎样变化的吗
y=-2x-3
y=2x+3
对于y=2x+3，当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y由小变大.
y=-2x-3
y=2x+3
对于y=2x+3，当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y由小变大.
对于y=-2x-3，当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y由大变小.
一般地，一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)具有如下性质：
自
探
主
究
关于函数y＝－2x＋1，下列结论正确的是 ( )
A．图象经过点(－2，1)
B．图象经过第一、二、三象限
C．当x>时，y<0
D．y随x的增大而增大
C
一次函数y＝－x＋1的图象不经过的象限是
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
合
探
作
究
总结归纳
一次函数 y=kx+b(k≠0) (特别地，当b=0时，为正比例函数y=kx) k、b符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b=0 b＞0 b＜0 b=0
图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 一次函数的图象和性质
例4 图中描述了某一天小华从家骑车去中国红色书店购书，然后又骑车回家的情况，说出小华在路上的具体情形.
分析：小亮华骑车离家的距离y是时间x的函数，这个函数图象由3条线段组成，每一条线段代表一个阶段的活动.
知识模块三　一次函数的实际应用
解：第一段是从原点出发的线段OA. 从横坐标看出，小华路上花了30min，当横坐标从0变化到30时，纵坐标均匀增加，这说明小华从家出发匀速前进30min，到达书店.
第二段是与x轴平行的一条线段AB，当横坐标从30变化到60时，纵坐标没有变化，这说明小华在书店购书待了30min.
第三段是与x轴有交点的线段BC.从横坐标看出，小华路上花了40min.当横坐标从60变化到100时，纵坐标均匀减少，这说明小华从书店出发匀速前进40min，返回家中.
实际上，我们还可以比较第一段与第三段线段，发现第一段更“陡”，这说明去书店的速度更快，而回家的速度要慢一些.
自
探
主
究
已知琳琳家、超市、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去超市买了土特产品，又步行去邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离y(km)与时间x(min)之间的关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
(1)琳琳家离超市的距离为____km；
(2)琳琳邮寄物品用了____min；
(3)琳琳从邮局走回家的速度是____km/h.
2.5
10
3.6
合
探
作
究
星期五小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店．买到彩笔后继续往家走，如图是她离家的距离与所用时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小颖本次从学校回家的整个
过程中，走的路程是多少米？
(2)买到彩笔后，小颖从文具用
品店回到家步行的速度是每分钟多少米？
解：(1)2 600＋2×(1 800－1 400)＝3 400(m).
答：小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是3 400 m.
(2)1 800÷(50－30)＝90(m/min)，
答：买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的速度是90 m/min.
【选自教材P102练习 第1题】
1.(1)将直线y=3x向下平移2个单位，得到直线____________；
(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位，得到直线_____________.
y=3x-2
y=-x
2.过两点分别作出一次函数 y=0.25x＋3和y=-0.25x＋3 的图象，并指出函数值如何随自变量的变化而变化？
当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y由小变大.
当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y由大变小.
【选自教材P102练习 第2题】
y=-0.25x＋3
y=0.25x＋3
3.求一次函数y=3x－5的图象与y轴的交点坐标。
【选自教材P102练习 第3题】
解：∵一次函数的图象与y轴交点的横坐标为0，纵坐标等于常数项.
∴一次函数y=3x-5的图象与y轴交点的坐标为(0,-5).
课堂小结
课堂小结
一次函数 y=kx+b(k≠0) (特别地，当b=0时，为正比例函数y=kx) k、b符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b=0 b＞0 b＜0 b=0
图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 一次函数的图象和性质
随堂练习
1.画出下列一次函数的图象，并指出函数值如何随自变量的变化而变化.
(1) y= －x;
(2) y=x+1;
(3) y=3x+1;
(4) y=－x+1;
解：如下图所示，(1)函数y=-x的函数随x的增大而减小；
(2)函数y=x+1的的函数值随x的增大而增大；
y=-x
y=x+1
(3)函数y=3x+1的函数值随x的增大而增大；
y=3x+1
(4)函数y=－x+1的函数值随x的增大而减小.
y=－x+1
解：如右图所示.
直线y=5x+5与x轴的交点坐标是(-1，0)，与y轴的交点坐标是(0，5).
y=5x+5
2.画出直线y=5x+5的图象，你能写出图象与x轴的交点的坐标吗 还能写出这条直线与y轴的交点的坐标吗
湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3.3 一次函数的图象
习题3.3
1.在同一平面直角坐标系中，分别画出下列一次函数的图象，它们之间有什么关系
(1) y=3x; (2) y=3x+3;
(3)y=3x-2.
解：(1)过点(0，0)，(1，3)作直线，即得函数y=3x的图像；
如右图所示，这三条直线互相平行.
(2) 过点(0，3)，( -1，0) 作直线，即得函数y=3x+3的图像；
y=3x
y=3x+3
(3) 过点(0，-2)，(1，1)作直线，即得函数y=3x-2的图像.
y=3x-2
解：D项表示父亲离家后的时间与距离之间的关系，B项表示母亲的行走过程.
2.小明的父母去散步，从家走了20min到一个离家1200m的宣传亭前，母亲因故随即按原速返回.小明父亲在该宣传亭前花了10min后，用15min返回家中.下面的图象中哪一个表示小明和父亲离家后的时间与离家距离之间的关系 哪一个表示小明母亲的行走过程
1200
1200
1200
1200
3.在同一平面直角坐标系中，分别画出y=x－1，
y=x－1，y=3x－1的图象.
(1)哪个函数的图象比较“陡”
(2)由(1)可猜测:对于一次函数y=kx＋b，若|k|越大，则图象越陡还是越缓，或者说增减越快还是越慢
y=x－1
y=3x－1
解： (1) ①过点(0，-1)，(1，0)作直线，即得函数y=x－1的图像；
②过点(0， -1)，( 1， - ) 作直线，即得函数y=x－1的图像；
③过点(0，-1)，(1，2)作直线，即得函数y=3x－1的图像.
y=x－1
如下图所示.直线y=3x-1的“坡度比较陡”，它的函数值随自变量的增大而增大得更快.
y=x－1
y=3x－1
y=x－1
y=x－1
y=3x－1
y=x－1
(2)由(1)可知，当k=3时，图象最“陡”;当k=时，图象最平缓；当k =1时介于两者之间.
猜测对于一次函数y=kx＋b，若|k|越大，则图象越陡，增减越快.
4.正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是 ( )
A
解：如右图所示.
5.像y=2这样的函数称为常函数，试画出函数y=2的图象.
y=2
6.如图，已知点A的坐标为(6，0)，直线y=x＋b (b>0)与y轴交于点B，与x轴交于点C，连接AB，AB=4，求OC的长.
解：∵点A的坐标为(6，0)，
∴ OA=6.
∵在Rt△AOB中，AB=4，
∴OB==2.
∴点B（0，2）.
∴把点B（0，2）代入y=x＋b,得b=2 .
∴直线BC的解析式为y=x＋2 .
令y=0，则x＋2 =0 .解得x=－2 .
∴点C（ － 2， 0 ）.
∴OC = 2 .

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