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湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3.5　一次函数与二元一次方程的关系
情景导入
1．方程x＋1＝0的解是________．
2．已知一次函数y＝x＋2，当x＝_____时，y＝0，可以直接把y＝0代入y＝x＋2，得_________．解得_______；也可以画出一次函数y＝x＋2的图象，观察图中直线所经过的点与满足方程y＝x＋2的点相同．
旧知回顾：
x＝－2
－2
x＋2＝0
x＝－2
知识模块一　一次函数与二元一次方程的对应关系
自学互研
(1)(4，1)与(1，7)是二元一次方程2x+y-9=0的解吗 方程还有其他解吗 如有，再说出几个.
由七年级知识可知，(4，1)与(1，7)都是二元一次方程2x+y-9=0的解，并且这个方程有无数个解，如(-1，11)，(0，9)，等等.
(2)给定一个二元一次方程2x+y-9=0，若把方程中的未知数y用含未知数x的代数式表示，可以将其看作一次函数的表达式吗
对于二元一次方程2x+y-9=0，整理可得y=-2x+9.若把x看作自变量，y看作因变量，则得到一次函数y=-2x-9.反过来，一次函数y=-2x+9也可以写成二元一次方程2x+y-9=0的形式.
(1)一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标都是二元一次方程2x+y-9=0的解吗？
(2)以二元一次方程2x+y-9=0的解为坐标的点组成的图形是一次函数y=-2x+9的图象吗
(1)如图，一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标可以表示为 (c，-2c+9)，其中c为任意实 数，由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程2x+y-9=0的解.
y
x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
O
(2)又二元一次方程2x+y-9=0的所有解都可以表示为(c，-2c+9)，其中c为任意实数.而所有点 (c，-2c+9)都在一次函数y=-2x+9的图象(一条直线)上，如图所示.于是以二元一次方程2x+y-9=0的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数y=-2x+9的图象.
y
x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
O
自
探
主
究
下列图象中，以方程y－2x－2＝0的解为坐标的点组成的图象是 ( )
C
合
探
作
究
1．以二元一次方程3x＋2y＝6的解为坐标的点都在某一次函数的图象上，则这个一次函数是
( )
A．y＝3x＋6　　 B．y＝－3x＋6　　
C．y＝－x＋3　 D．y＝－x－3
C
2．在平面直角坐标系中，已知一条直线经过点(0，4)，(－2，8)，哪个二元一次方程能表示这条直线？
解：设直线是一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象．
直线经过点(0，4)，(－2，8)，所以
b＝4，
－2k＋b＝8，
解得
k＝－2，
b＝4.
∴该直线是一次函数y＝－2x＋4的图象，从而它是二元一次方程2x＋y－4＝0表示的直线．
一般地，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程 kx-y+b=0；反过来，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点，都在一次函数y=kx+b的图象上，所有点构成一条直线 .
对于关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0)，其任意一个解都满足一次函数y= － x － ，因而，在 平面直角坐标系中，以二元一次方程ax+by+c=0的任意一个解为坐标的点都在一次函数y= － x －的图象上 . 反之，一次函数y= － x －的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ax+by+c=0的一个解.
由此可知:
在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数y= － x －的图象.
例1 在平面直角坐标系中，画出二元一次方程－2x+3y － 6=0表示的直线.
解 由－2x+3y－6=0可得一次函数y=x+2,
从而当x=0时，y=2，
当x=3时，y=4.
在平面直角坐标系，描出A(0,2)，B(3,4)两点，过这两点作直线，如图所示，则这条直线是一次函数y=x+2的图象，从而它是二元一次方程－2x+3y－6=0表示的直线.
给了一条与坐标轴不平行且不重合的直线，我们可以任选直线上的两点，用待定系数法求出一次函数y=kx+b的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线.由于一次函数y=kx+b的图象就是二元一次方程kx－y+b=0表示的直线，因此，所给的直线就是二元一次方程kx－ y+b=0表示的直线.
例2 如图，在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P(O，－2)，Q(－4，5)两点，哪个二元一次方程表示这条直线
解 设直线PQ是一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象.
因为点P(0，－2)和点Q(－4，5)都在该函数的图象上，
b=－2,
k·(－ 4)+b=5.
解得
k =－,
b=－2.
因此，直线PQ是一次函数y=－x－2的图象，从而它是二元一次方程x +y+2=0表示的直线.
所以
知识模块二　二元一次方程的对应直线与坐标轴的交点问题
关于x，y的二元一次方程kx－y+b=0(k≠0)所表示的直线与x轴的交点坐标是什么 你的结果与其他同学相同吗
一次函数y=kx+b的图象上任一点的坐标是 (c，kc+b).由于函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0，因此交点的横坐标c满足kc+b=0，于是c=－，从而一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是(－ ,0).
自
探
主
究
二元一次方程y＝－x＋3所表示的直线与x轴的交点坐标为( )
A．(3，0) B．(0，3)
C．(－3，0) D．(0，－3)
A
合
探
作
究
画出二元一次方程y＋x－3＝0表示的直线，求此直线与x轴、y轴的交点坐标．，并求出这两个交点与原点所构成的三角形的面积．
解：令x＝0，则y＝3，即该直线与y轴的交点坐标为(0，3).
令y＝0，则x＝3，即该直线与x轴的交点坐标为(3，0).
描点、连线，其图象如图所示．
这两个交点与原点所构成的三角形的面积为×3×3＝.
1.在平面直角坐标系中，画出二元一次方程5x+3y－9=0表示的直线.
【选自教材P111 练习 第1题】
解：令x=0，代入方程5x+3y－9=0，可得3y － 9=0，解得y=3，所以直线与y轴的交点坐标为(0,3)。
令y=0，代入方程5x+3y－9=0，可得5x－9=0，解得x=，所以直线与x轴的交点坐标为(,0)。
在平面直角坐标系中，找出点(0,3)和( ,0) ，
5x+3y－9=0
然后用直线连接这两个点，这条直线就是二元一次方程5x+3y－9=0表示的直线。
2.在平面直角坐标系中，已知一条直线经过P(0，－5)，Q(4，－2)两点，哪个二元一次方程表示这条直线
【选自教材P111 练习 第2题】
解：设直线的表达式为y=kx+b(k≠0)。将P(0,-5)，Q(4,-2)两点坐标分别代入y=kx+b中，
得到方程组
b=－5,
4k+b=－2.
将b=－5代入4k+b=－2中，可得4k-5=－2，
解得k= .
将k=， b=－5代入y=kx+b中，可得y=x －5 ，移项可得x －y－5 =0,两边同时乘以4，得到3x－4y－20=0.
所以，二元一次方程3x－4y－20=0表示这条直线。
3.求二元一次方程6x－y+9=0表示的直线与x轴的交点坐标.
【选自教材P111 练习 第3题】
解：将y=0代入方程6x－y+9=0中，
解得x= -
所以，直线与x轴的交点坐标为(- ，0).
可得6x+9=0，
课堂小结
一次函数与二元一次方程的关系
一元一次方程的解为对应一次函数的值为0时相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
二元一次方程的解为对应一次函数图象上点的坐标
随堂练习
1.把下列二元一次方程改写成y=kx+b的形式.
（1）3x+y=7； （2）3x+4y=13.
解：y=-3x+7
解：y=－
2.已知函数y=3x+9，自变量满足什么条件时，y=0？
解：画出函数y=3x+9的图象（如图所示），直线y=3x+9与x轴交于点（-3，0），所以x=-3时y=0.
y=3x+9
3.利用函数图象，解方程3x－9=0.
解：画出函数y=3x+9的图象，如图所示，
y=3x-9
直线y=3x-9与x轴交于点（3，0），
所以方程3x-9=0 的解为x=3.
湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3.5　一次函数与二元一次方程的关系
习题3.5
1.在平面直角坐标系中，画出二元一次方程－7x+6y+12=0表示的直线.
解：将x=0代入－7x+6y+12=0，解得y= -2，
将y=0代入－7x+6y+12=0，解得y= .
所以直线与y轴的交点坐标为(0,-2).
所以直线与x轴的交点坐标为(,0).
然后用直线连接这两个点，这条直线就是二元一次方程－7x+6y+12=0表示的直线。
在平面直角坐标系中，找出点(0,-2) ,(,0),
－7x+6y+12=0
2. 求二元一次方程 x+y+6=0表示的直线与y轴的交点坐标.
解：将x=0代入方程x+y+6=0，
所以直线x+y+6=0与y轴的交点坐标为(0,-6).
解得y= -6.
3.有下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y=2的解的是（ ）
y
x
O
2
-2
(A)
y
x
O
1
-2
(B)
y
x
O
2
-1
y
x
O
1
-0.5
(C)
(D)
C
4.在平面直角坐标系中，二元一次方程3x－2y=1表示的直线与经过A(a，1)，B(－1，b)两点的直线重合，求a，b的值.
解:两条直线重合意味着点A(a,1)、B(-1,b)均在直线3x－2y=1上.
将点A坐标代入方程得:3－2×1=1，化简得3a=3，解得a=1;
将点B坐标代入方程得:3×(-1)-2b=1,化简得-3-2b=1,即-2b=4，解得b= -2.
5.在平面直角坐标系中，分别画出二元一次方程x+y=0，2x+y+2=0表示的直线，并计算这两条直线与x轴所围成的图形的面积。
解：方程x+y=0的图像是过(0,0)与(1,-1)的直线，
方程2x+y+2=0的图像是过(0,-2)与(-1,0)的直线。
x+y=0
2x+y+2=0
所围成的三角形三个顶点为:(-2,2)、(0,0)、(-1,0).
2x+y+2=0
以x轴上的线段为底，底长为|0-(-1)| =1，高为交点的纵坐标绝对值|2| =2。
面积:
S=底高=12=1

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