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湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3．6 一次函数的应用
第1课时　建立一次函数模型解决实际问题
情景导入
旧知回顾：
在直角坐标系xOy中，直线l过(1，3)和(3，1)两点，求直线l的函数表达式．
解：设直线l的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
把(3，1)，(1，3)代入，
得 解得
∴直线l的函数表达式为y＝－x＋4.
k＝－1，
b＝4.
3k＋b＝1，
k＋b＝3.
知识模块一　利用一次函数解决简单的实际问题
自学互研
伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距.假设指尖距与身高具有如下关系：
指距 x/cm 19 20 21
身高 y/cm 151 160 169
指距 x/cm 19 20 21
身高 y/cm 151 160 169
(1) 身高 y 与指尖距 x 之间可用函数关系式刻画吗？如果可以，其表达式是怎样的？
(2) 若李华的指尖距为 22 cm，你能估计他的身高吗？
公式y=9x-20就是身高y与指尖距x之间的函数表达式.
(1)解：由上表三组数据可知，身高y与指尖距x之间存在一个对应关系，并且指尖距每增加1cm，身高对应增加9cm，于是可以尝试一次函数来刻画.
设身高y与指尖距x之间的一次函数表达式为y=kx+b (k,b为常数，k≠0)，
19k + b = 151，
20k + b = 160.
解得k=9，b=-20.
于是y=9x-20.
将x=21，y=169代入上式，也符合.
得
将x=19， y=151与x=20，y=160代入上式，
(2)解：当x=22时，y=9×22-20=178.
因此，李华的身高大约是178cm.
自
探
主
究
小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度y(cm)与鞋子的码数x之间满足一次函数关系，下表给出y与x的一些对应值：
码数x 26 30 34 42
长度y 18 20 22 26
　　根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为____cm.
21
合
探
作
究
出版社印刷适合中学生阅读的科普读物，该读物首次出版印刷的印数不少于5 000 册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数x/册 5 000 8 000 10 000 15 000
成本y/元 28 500 36 000 41 000 53 500
(1)通过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数．求这个一次函数的表达式．(不要求写出x的取值范围)
解：(1)设投入成本y(元)与印数x(册)的函数表达式为y＝kx＋b，
故所求函数表达式为y＝x＋16 000.
解得k＝，b＝16 000.
5 000k＋b＝28 500，
8 000k＋b＝36 000.
依题意，得
(2)如要出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？
当y＝48 000时，即48 000＝x＋16 000，
∴能印该读物12 800册．
解得x＝12 800.
知识模块二　利用一次函数解决相交直线问题
例1 已知甲、乙两地相距40 km，小徐8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小李10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.设小徐所用的时间为x h，小徐与甲地的距离为y1 km，小李离甲地的距离为y2 km.
（1）分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图 象，并指出谁先到达乙地.
解：（1）由“路程=速度×时间”可知y1=8x，自变量x的取值范围是0≤x≤5.
由于小李比小徐晚出发2 h，因此小李所用时间为（x-2）h.
从而y2=40（x-2）,自变量x的取值范围是2≤x≤3.
（2）将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示.
过点M（0，40）作射线l与x轴平行，
它先与射线y2=40（x-2）相交，
这表明小李先到达乙地.
自
探
主
究
(1)在画函数图象时要注意什么问题？
(2)例1图象中两直线的交点代表的现实意义是什么？
答：要注意自变量的取值范围；要注意标明函数表达式等问题．
答：代表两人在该点相遇的时间及所走的路程．
合
探
作
究
1．小亮家与姥姥家相距24 km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与北京时间t的函数图象如图所示．根据图象得到一些结论，其中错误的是( )
A．小亮骑自行车的平均速度是12 km/h
B．妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家
C．妈妈在距离家12 km处追上小亮
D．9：30妈妈追上小亮
D
2．某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y(元)与复印页数x(页)的关系如下表：
x/页 100 200 400 1000 …
y/元 40 80 160 400 …
(1)若y与x满足某一函数关系，求函数的表达式．
(2)现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费，求乙复印社每月收费y(元)与复印页数x(页)的函数关系．
解：(1)y＝0.4x(x≥0).
(2)y＝0.15x＋200(x≥0).
2．某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y(元)与复印页数x(页)的关系如下表：
x/页 100 200 400 1000 …
y/元 40 80 160 400 …
(3)在给出的坐标系内画出(1)、(2)中的函数图象，并回答每月复印页数在1 200页左右应该选择哪个复印社？
(3)如图，由图象可知当每月复印页数在1 200页左右时，应该选乙复印社．
1.给某长方体游泳池注水，池深2m。假如注水的时长与水深具有如下关系:
【选自教材P113练习 第1题】
注水的时长/h 0.5 1 1.5
水深/cm 60 100 140
(1)你能为注水的时长与水深之间的关系建立函数模型吗
(2)用求出的函数表达分别估计注水2h、2.5h后的水深.
(1)解:设水深d(单位:cm)与注水时长h(单位:h)的函数关系式为d=kh+b(其中k、b为常数).
将h=0.5,d=100和h=1,d=140代入得:100 = 0.5k + b，
140=k+b.
用第二个方程减第一个方程得:40=0.5k，
解得k=80.
将k=80代入第二个方程得:140=80+b,
解得b=60.
所以水深与注水时长的函数模型为d= 80h + 60.
(2)解:当h=2时，d=80×2+60=220(cm);
当h=2.5时，d=80×2.5+60=260 (cm).
答:注水2h后水深220cm，注水2.5h后水深260cm。
2.小刚和小强在一条公路上由西向东行走，出发的时间相同，小强从A地出发，小刚从小强东边80m处出发，小刚、小强每分钟分别走40m，60m.
(1)分别写出小刚、小强离A地的距离y(m)与行走时间t(min)之间的函数表达式.
(2)在同一平面直角坐标系中，分别画出上述两个函数的图象.
(3)根据图象回答:在出发后几分钟小强追上小刚 谁先到达与A地相距300m的B地
【选自教材P113练习 第2题】
解:(1)小强从A地出发，速度60m/min，
所以小强离A地距离:y=60t;
小刚从A地东边80m出发，速度40m/min，
所以小刚离A地距离:y=40t+80.
(2)如图所示.
1
2
3
4
80
160
240
320
O
y/m
t/min
y=60t
y=40t+80
(3)令60t=40t+80，解得t=4，
小刚到达B地时间:40t+80=300,解得t=5.5;
所以出发4min后小强追上小刚.
小强到达B地时间:60t=300，解得t=5，
因为5<5.5，
所以小强先到达B地 .
1
2
3
4
80
160
240
320
O
y/m
t/min
y=60t
y=40t+80
课堂小结
建立一次函数模型解决实际问题
①将实验得到的数据在直角坐标系中描出
②观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式
③进行检验
④应用这个函数模型解决问题
随堂练习
1.某音像店对外出租光盘的收费标准是:每张光盘在出租后头两天的租金为0.8元/天，以后每天收0.5元.求一张光盘在租出后第n天的租金y(元) 与时间t(天)之间的函数表达式.
解：
0.8t(t≤2 的整数),
0.5t+0.6(1>2的整数).
y=
2.某移动公司对于移动话费推出两种收费方式:A 方案:每月收取基本月租费 25元，另收通话费为0.36元/min;B方案:零月租费，通话费为0.5元/min.
(1)试写出A，B两种方案所付话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数表达式;
(2)分别画出这两个函数的图象;
解：(1)A 方案:yA=0.36t+25;
B方案:yB=0.5t.
t
y
o
y=0.36t+25
y=0.5t
(2)如图所示.
解：当t=300 min时, yA=0.36×300+25=133(元); yB=0.5×300=150(元).
(3)若林先生每月通话300min，他选择哪种付费方式比较合算
因为yA湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3．6 一次函数的应用
第2课时　建立一次函数模型解决预测类型、分段函数实际问题
情景导入
如图是某汽车行驶的路程s(km)与时间t(min)的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)汽车在前9 min的平均速度是多少？
(2)汽车在中途停了多长时间？
解：16－9＝7(min).
解：12÷9＝(km/min).
解：设当16≤t≤30时，s与t的函数关系式为s＝kt＋b.
解得
(3)当16≤t≤30时，求s与t的函数关系式．
所以s和t的函数关系式为s＝2t－20.
由题意得
16k＋b＝12，
30k＋b＝40.
k＝2，
b＝－20.
知识模块一　建立一次函数模型解决预测类型的实际问题
自学互研
在第二、三、四届奥运会比赛中，男子撑竿跳高的纪录如下表所示:
观察表中的数据，为上述三届奥运会比赛男子撑竿跳高纪录与所在年份的关系建立一个函数模型.
上表中每一届比上一届的纪录提高了0.2m，于是可以尝试建立一次函数模型来刻画.
用t表示从1900年起增加的年份，那么可以设奥运会男子撑杆跳高的纪录y(m)与t之间的函数一次函数表达式为y=kt+b(k,b为常数，k≠0).
于是， ①式可以大致反映上述三届奥运会男子撑竿跳高纪录与所在年份之间的函数关系.
由于t＝0(即1900年)时，男子撑杆跳高的纪录为3.3m；t＝4(即1904年)时，纪录为3.5m，
解得b=3.3，k=0.05.
当t=8时，y=3.7，这说明1908年奥运会的男子撑杆跳高纪录基本符合①式.
b＝3.3，
4k＋b＝3.5.
①
于是y=0.05t+3.3.
因此
当t=12时，y=3.9，经查询可知，1912年奥运会的男子撑杆跳高纪录为3.95m，这一记录也接近符合①式.
自
探
主
究
(1)此题为什么可以建立一次函数模型？
(2)用这个模型预测到的1912年的记录与实际吻合， 为什么用此公式预测的1988年的记录高于实际记录？
解：因为高度随时间均匀变化．
答：用所建立的函数模型在已知数据邻近作预测，是与实际事实比较吻合的，用所建立的函数模型远离已知数据作预测不可靠．
合
探
作
究
小明的爸爸在小明生日时给小明测体重，以下是小明1岁至4岁的体重记录：
岁数/岁 1 2 3 4
体重/kg 7 9.5 12 14.5
你能为小明的体重与岁数建立函数模型吗？
(1)因为小明每次的体重比前一岁的体重增加了_____kg，所以建立_______函数模型．用y(kg)表示小明x(岁)的体重，设y与x的函数关系是________．根据表中数据可求得表达式为________________．
岁数/岁 1 2 3 4
体重/kg 7 9.5 12 14.5
2.5
一次
y＝kx＋b
y＝2.5x＋4.5
(2)用函数关系式预测小明5岁时的体重为_______．
(3)能够用这个公式预测小明50岁的体重吗？____，理由是______________________________．
岁数/岁 1 2 3 4
体重/kg 7 9.5 12 14.5
17 kg
不能
远离已知数据作预测不可靠
(1)利用①式估计1988年奥运会的男子撑竿跳高纪录.
(1)由于t=88，由①式可得y=0.05×88+3.3=7.7.
(2)查阅相关纪录，与(1)中结果比较，你能发现什么
(2)经查询可知，1988年奥运会的男子撑竿跳高纪录是5.90m，远低于7.7m.这表明:用所建立的函数模型远离已知数据作预测是不可靠的.
知识模块二　建立一次函数模型解决分段函数问题
例2 某地为保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度， 规定：每户居民每月用电量不超过200kW·h时，则按0.6元/(kW·h)收费；若超过200kW·h，则超出部分每1kW·h加收0.3元.
(1)写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式；
(2)画出这个函数的图象；
(3)小玲家3月份、4月份分别用电150kW·h和220kW·h，各应缴纳电费各多少元？
(1)写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式；
解(1)由生活常识可知，电费与用电量相关.
当0≤x≤200时，y=0.6x；
当x＞200时， y=200×0.6+(x-200)×(0.6+0.3)=0.9x-60.
y与x的函数表达式也可以合起来表示为
y=
0.6x (0≤x≤200)，
0.9x-60 (x＞200).
(2)该函数的图象如图所示.
y/元
x/(kW·h)
200
160
120
80
40
O
50
100
150
200
250
该函数图象由两个一次函数的图象拼接在一起.
(3)小玲家3月份、4月份分别用电150kW·h和220kW·h，各应缴纳电费各多少元？
当x=150时，y=0.6×150=90，
当x=220时，y=0.9×220-60=138，
故小玲家3月份应缴纳电费90元.
故小玲家4月份应缴纳电费138元.
自
探
主
究
(1)例2中第(1)问的解决你觉得要注意的问题有哪些？
答：函数的图象由两段组成，不同的函数图象对应的x的取值范围也不同．
(2)若将第(3)问中改为“小玲家4月份缴纳电费194 元，求小玲家4月份用电多少千瓦时．”，你还会求吗？
合
探
作
究
李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：
(1)求李明上坡时所走的路程s1(m)与时间t(min)之间的函数关系式和下坡时所走的路程s2(m)与时间t(min)之间的函数关系式；
(2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟？
解：(1)设s1＝k1t(0≤t≤6)，
∵图象经过点(6，900)，
∴900＝6k1，解得k1＝150，
∴s1＝150t(0≤t≤6)，
设s2＝k2t＋b(6∵图象经过点(6，900)，(10，2 100)，
∴ 解得
∴s2＝300t－900(66k2＋b＝900，
10k2＋b＝2 100，
k2＝300，
b＝－900.
(2)李明返回时所用时间为
(2 100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2 100－90)
÷(10－6)]＝8＋3＝11(min).
答：李明返回时所用时间为11 min.
为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，某村通过种植优质荔枝新品种，实现荔枝品牌化发展，助推村民增收致富.该村张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱里有油50L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y(L)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示。
【选自教材P116练习 】
(1)汽车行驶____h后加油，中途加油____L.
(2)求加油前油箱中剩余油量y与行驶时间t的函数解析式.
(3)已知加油前、后汽车都以70km/h匀速行驶，如果加油站距目的地210km，要到达目的地，油箱中的油是否够用 请说明理由.
3
31
(2)当0≤1≤3时，设加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式为y=kt+b.
所以y= -12t+50.
解得
b=50,
3k+b=14,
b=50,
k=-12.
把(0,50),(3,14)分别代入y=kt+b中,得
所以加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式为y=-12t+50(0≤1≤3).
(3)油箱中的油够用.
理由:每小时耗油量为(50-14)÷3=12(L), 油箱中的油够用.
加油后，从加油站到目的地需耗油210÷70× 12 =36 (L).
因为36L<45L，
所以油箱中的油够用.
课堂小结
建立一次函数模型解决预测类型、分段函数实际问题
建立一次函数模型解决实际问题
对分段函数图象的理解及运用
随堂练习
1.一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米．
2200
解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意得
1600+100a=1400+100b,
1600+300a=1400+200b,
解得a=2,b=4.
故这次越野跑的全程为1600+300×2=2200米．
2. 如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h．
解析：根据图象可得出：甲的速度为
120÷5=24（km/h），
乙的速度为(120﹣4)÷5=23.2（km/h），
速度差为24﹣23.2=0.8（km/h），
0.8
B
湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
3．6 一次函数的应用
习题3.6
1. 在某地，人们发现某种蟋蟀1min所叫次数与当地气温之间近似为一次函数关系. 下面是蟋蟀所叫次数与气温变化情况对照表：
(1)根据表中数据确定该一次函数的表达式；
气温/°C … 15 17 20 …
蟋蟀1min叫的次数 … 84 98 119 …
【选自教材P116习题3.6第1题 】
解：设蟋蟀1min所叫次数与气温之间的函数表达式为y=kx+b.
将x=15，y=84与x=20，y=119代入上式，得
15k + b = 84，
20k + b = 119.
解得k=7，b=-21.
当x=17时，y=17×7-21=98，
气温/°C … 15 17 20 …
蟋蟀1min叫的次数 … 84 98 119 …
于是y=7x-21.
这说明温度在17℃时，叫声次数符合公式y=7x-21.
(2) 如果蟋蟀1min叫了63次，那么该地当时的气温大约为多少摄氏度？
解：当y=63时，有y=7x-21=63，解得x=12.
气温/°C … 15 17 20 …
蟋蟀1min叫的次数 … 84 98 119 …
2某食品公司到果园基地购买优质柑橘，果园基地对购买量在3000kg及以上的有两种销售方案，甲方案:每千克9元，由基地送货上门，乙方案:每千克8元，由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.
(1)分别写出该公司两种购买方案的应付款额y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式，并指出自变量x的取值范围.
解：(1)甲种购买方案应付款额y与所购买的水果量x之间的函数表达式为y=9x(x≥3000).
【选自教材P116习题3.6第2题 】
(2)若购买量分别为4500kg，5100kg，选择哪种购买方案付款少 试说明理由.
(2)当购买4500 kg时，
甲方案付款：y=9x=9×4500=40500(元)，
乙方案付款：y=8x+5000=8×4500＋5000=41000(元)，
所以购买量为4500 kg是选择甲方案付款少.
当购买5100 kg时，
甲方案付款：y=9x=9×5100=45900(元)，
乙方案付款：y=8x+5000=8×5100＋5000=45800(元)，
所以购买量为5100 kg时，选择乙方案付款少.
3.某商品的单价为60元时，销售量为8000件，由此开始，单价每提高1元，需求量就减少500件，当单价提高到多少元时，这种商品就卖不出去了
【选自教材P117习题3.6第3题 】
解：设函数表达式为y=kx+b. 由题意知，当x=60时，y=8000；当x=61时，y=7500，
所以这种商品的需求量y(件)与单价x(元)之间的函数关系式为y=-500x+38000(x≥60).
得
60k + b = 8000，
61k + b = 7500，
解得
k = -500，
b = 38000，
当y=0时，0=-500x+38000，解得x=76.
所以当价格提高到76元时，这种商品就卖不出去了.
4.为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种图书.经调查，购进甲种图书的费用y(元)与购买数量x(本)之间的函数关系如图所示，乙种图书每本20元.
(1)求线段OA和射线AB的函数表达式，并写出x的取值范围;
(2)若学校准备购买甲种图书80本，乙种图书60本，求购买两种图书所需的费用.
【选自教材P117习题3.6第4题 】
解:(1)当0≤x≤50时,设y=kx,
把点A(50,1 100)代入，得k=22.
∴ 线段OA的函数关系式为y=22x(0≤x≤50).
当x>50时,设y=mx+b,
把点A(50，1 100)和点B(100,2 000)代入，
得
50m + b = 1100，
100m + b =2 000，
解得
m = 18，
b = 200，
∴射线AB的函数关系式为y=18x+200(x>50)
(2)甲种图书所需的费用为18×80+200=1640(元).
乙种图书所需的费用为20×60=1200(元).
∴1640+1200=2840(元).
答:购买两种图书所需的总费用为2840元.
5.要从甲、乙两仓库向A，B两地运送水泥.已知甲仓库可运出100t水泥，乙仓库可运出80t水泥;A地需70t水泥，B地需110t水泥，两仓库到A，B两地的路程和运价标准如下表:
路程/km 运价/(t·km) 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A地 20 15 0.5 0.5
B地 25 20 0.4 0.3
【选自教材P117习题3.6第5题 】
(1)设从甲仓库向A地运送t水泥，求总运费y关于x的函数表达式，并画出图象，
(2)当甲、乙两仓库各运往A，B两地多少水泥时，总运费最省 此时总运费是多少
路程/km 运价/(t·km) 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A地 20 15 0.5 0.5
B地 25 20 0.4 0.3
解:(1)由题意得y=0.5×20x+0.4×25× (100－x)+0.5×15× (70-x)+0.3×20× [80-(70-x)]= -1.5x+1585，
即所求的函数表达式为y= -1.5x+1585 ，其中0≤x≤70.
图象如图所示.
20
40
60
80
500
1000
1500
2000
y
x
O
(2)当x=70时，y的值最小.
∴当从甲仓库运往A地70t水泥时，总运费最省，最省的总运费为1480元.
20
40
60
80
500
1000
1500
2000
y
x
O

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