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湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4．1　平均数、中位数、众数
湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4．1　平均数、中位数、众数
第1课时　平均数和加权平均数
情景导入
小明同学的期中考试数学成绩是90分，期末考试数学成绩是96分．那么他这学期的“平均”数学成绩是多少？
利用小学时我们学过的平均数的计算方法，可快速得出其平均成绩是(90＋96)÷2 ＝ 93(分).
现在，如果学校规定，期中考试占40%，期末考试占60%.那么小明这学期的“总评”数学成绩还是93分吗？
应该怎么算？
知识模块一　平均数
自学互研
三年前，张经理创办了一家科技型小微企业，下面是该企业所有员工某月的工资情况：
技术开发人员甲:10000元; 技术开发人员乙:9800元;
技术开发人员丙:9000元; 技术开发人员丁:7200元;
技术服务人员甲:5500元; 技术服务人员乙:5500元;
技术咨询人员:4500元; 会计:5000元.
(1)这8名员工的月平均工资是多少
(2)如何在数轴上标出表示这些员工的月工资及其月平均工资的点
(3)观察表示月平均工资的点与其他月工资的点的位置关系，你能得出什么结论
(1)这8名员工月工资的平均数为
x =
10000+9800+9000+7200+5500+5500+4500+5000
8
=7062.5(元).
将一组数据的和除以这组数据的总个数，得到的数值叫作这组数据的算术平均数，简称平均数.
一般地，设n个数据分别为x1， x2 ， x3 ，…， xn它们的平均数记为 ，
那么
x
x =
n
1
（ x1+x2+x3+…+ xn ）.
具体计算一组数据的平均数时，可以借助科学计算器来求，但不同型号的计算器，其操作步骤可能不同.
(2)在数轴上将员工的月工资及其月平均工资表示出来，可得下图.
4500
5000
5500
7200
9000
9800
10000
7062.5
O
0
x
(3)观察下图，可以发现，表示月工资的这些点位于 的两侧，不会都在月平均工资的一侧，月平均工资 可以作为这8名员工的月工资的代表值，它反映了这8名员工的月工资的平均水平，于是，平均数作为一组数据的一个代表值，可以刻画这组数据的平均水平.
4500
5000
5500
7200
9000
9800
10000
7062.5
O
0
x
x
x
自
探
主
究
一组数据：3，4，4，6，8.这组数据的平均数是 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C
合
探
作
究
在全校学生才艺展示大赛中，经过几轮的淘汰剩下三位选手进行决赛，规定每位选手的最后得分是从所有评委给出的分数中去掉一个最低分和一个最高分，计算其余分数的平均分，现在三位选手的得分(单位：分)情况如下：
小涛：9.2，9.5，9.6，10，9.3，9.7；
小蒋：10，9.8，9.8，9.7，9.5，10；
小杰：10，9.0，9.0，9.6，9.5，9.5.
解：(1)小涛：(9.5＋9.6＋9.3＋9.7)÷4＝9.525(分)，
(1)三位选手最后得分分别是多少？
(2)谁是冠军？
小蒋：(10＋9.8＋9.8十9.7)÷4＝9.825(分)，
小杰：(9.0＋9.6＋9.5＋9.5)÷4＝9.4(分).
(2)∵9.4<9.525<9.825，∴小蒋是冠军．
知识模块二　加权平均数
自学互研
例1 某市举办了一场主题为“强身健体，强国有我”的大型活动.在活动中有一个由100名八年级学生组成的阵列，其中20名学生身高170cm，30名学生身高 165cm，50名学生身高160cm.求这个阵列的平均身高.
解 用 表示平均身高，则
x
x =
170×20+165×30+160×50
100
=170×+165×+160×
答:这个阵列的平均身高为163.5cm.
=170×0.2+165×0.3+160×0.5
=163.5（cm）.
在解答例1的算式中，0.2，0.3，0.5分别表示170，165，160这三个数据在数据组中所占的比例，分别称它们为这三个数据的权数.
即170的权数是0.2，165的权数是0.3，160的权数是0.5.
求一组数据的平均数时，可用不同的数据乘它们的权数再相加，这样求得的平均数称为加权平均数. 例如，163.5是这个阵列的身高的加权平均数，
自
探
主
究
某校组织信息科技知识竞赛，包括三个内容：算法与数据结构、编程语言、实践应用，考核的满分均为100分，竞赛总分按每个内容的重要性作为权重计分．已知三个内容的重要性之比依次为2∶3∶5，每个内容小宇的得分依次为86，93，91，那么他的竞赛总分是________．
90.6分
总结归纳
一般地，若n个数据x1，x2，x3，…，xn的权数分别为w1，w2，…，wn，则其加权平均数为x1w1＋x2w2＋…＋xnwn.
合
探
作
究
学校准备从甲、乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩(百分制)如下表：
表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
(1)由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25.请计算乙的平均成绩．从他们的这一成绩看，应选派谁？
(2)如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2，1，3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩．从他们的这一成绩看，应选派谁？
表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写
甲 85 78 85 73
乙 73 80 82 83
解：(1)
∵80.25>79.5，
∴应选派甲．
∵79.5<80.4，
∴应选派乙．
x乙 =(73＋80＋82＋83)÷4＝79.5(分).
x甲＝(85×2＋78×1＋85×3＋73×4)÷(2＋1＋3＋4)＝79.5(分)，
(2)
x乙＝(73×2＋80×1＋82×3＋83×4)÷(2＋1＋3＋4)＝80.4(分).
知识模块三　利用分布式计算平均数
自学互研
(1)已知两家网站的用户日人均上网时间分别为1.5h和2h，平均每天的上网用户人数分别为100000人和125000人.这两家网站所有用户的日人均上网时间是多少
(1)由题意可得，两家网站所有用户的日人均上网时间为
100 000×1.5+125 000×2
100 000+125 000
= （h）.
100 000
100 000+125 000
125 000
100 000+125 000
×1.5+
×2
=
16
9
这是两家网站的用户日人均上网时间1.5h和2h的加权平均数.
(2)对于某热点话题，已知两家网站中认为“这个话题重要”的用户所占百分比分别为75%和62%，参与评价的用户人数分别为12000人和18000人.这两家网站所有参与评价的用户中，认为“这个话题重要”的用户比例是多少
(2)由题意可得，两家网站所有参与评价的用户中，认为“这个话题重要”的用户比例为
12 000×75％+18 000×62％
12 000+18 000
=67.2％ .
12 000
12 000+18 000
18 000
12 000+18 000
×75％+
×62％
=
这是两家网站中认为“这个话题重要”的用户所占百分比75%和62%的加权平均数。
自
探
主
究
某市4万名初中毕业生进行了一项技能测试(满分100分)，从中随机抽取4 000名学生的成绩，统计如表，请根据表格中的信息，估计这4万名学生的平均分约为
( )
成绩x/分 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
个数 800 2 000 1 200
平均分 78 85 92
A.92.1 B．85.7 C．83.4 D．78.8
B
通过上面的例子可以看到，利用已经计算出的两家网站各自的平均数或者百分数，可以非常方便地通过加权直接计算得到结果，一般地，把一个需要巨大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分，然后把这些部分分配给许多计算机进行处理，最后把这些计算结果综合起来得到最终结果的计算方式称为分布式计算.
合
探
作
究
利民商店中有3种糖果，单价及重量如下表：
品 种 水果糖 花生糖 软糖
单价/(元/kg) 10 12 16
重量/kg 3 3 4
商店将以上糖果配成什锦糖，则这种什锦糖果的单价是每千克____元．
13
课堂小结
一般地，设n个数据分别为x1， x2 ， x3 ，…， xn它们的平均数记为 ，
那么
x
x =
n
1
（ x1+x2+x3+…+ xn ）.
一般地，若n个数据x1，x2，x3，…，xn的权数分别为w1，w2，…，wn，则其加权平均数为x1w1＋x2w2＋…＋xnwn.
随堂练习
1.八年级(1)班举行1min跳绳比赛，以小组为单位参赛，第1小组有8名同学，他们的初赛和复赛成绩如下表 (单 位:次):
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
初赛 150 145 145 138 161 165 157 156
复赛 160 150 146 138 158 160 166 158
你认为这组同学的初赛成绩好，还是复赛成绩好 为什么
解:
x初 =(90+85+85+78+101+105+97+96)÷8＝737÷8
=92.125，
因为 > ，所以这组同学的复赛成绩好.
x复 =(100+90+86+78+98+100+106+98)÷8＝756÷8
=94.5，
x初
x复
2. 某出版社给一本书的作者发稿费，其中正文占总字数的80%，每千字50元;答案部分占总字数的20%，每千字30元，问全书平均每千字多少元
解:因为20万=200千，
所以
x =(200×80％×50＋200×20％×30)÷200＝46(元)，
所以全书平均每千字46元.
湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4．1　平均数、中位数、众数
第2课时　中位数和众数
情景导入
在本节开篇的“思考”栏目中，若张经理该月的工资为33500元，计算他们所有人的月平均工资，则这个月平均工资能反映该企业所有人这个月工资的一般水平吗
知识模块一　中位数
自学互研
设该企业所有人这个月的平均工资为 ，则可用计算器算得 10000元.
观察该企业所有人这个月的工资可知，10000元不能代表该企业所有人这个月工资的一般水平，因为大多数员工的工资都小于这个平均数.
x
x=
这表明，当一组数据中有严重偏大(或偏小)的数据时，平均数不能反映该组数据的一般水平.
因此，需要引进一个能反映一组数据集中趋势的统计量，若把该企业所有人的月工资按从小到大的顺序排列，则可得:
4500， 5 000 ， 5 500 ， 5 500 ， 7200 ， 9 000 ， 9800 ， 10 000 ， 33500.
我们可以发现位于中间位置(即第5个)的数据为7200，并且这个数据能反映该企业所有人这个月工资的一般水平.
另一方面，如果只考虑8名员工的工资，将这些数据按从小到大的顺序排列，可得:
4500,5000,5500, 5 500,7200,9000, 9800,10000,
此时位于中间位置的数据为5500和7200，这两个数据的平均数为6350，并且这个平均数能反映该企业8名员工这个月工资的一般水平.
把一组数据按从小到大的顺序排列，那么位于中间位置的数(如果数据的个数是奇数)，或者中间位置两个数的平均数(如果数据的个数是偶数)，称为这组数据的中位数.
总结归纳
例2 求下列两组数据的中位数:
(1) 14, 11, 13, 10, 17, 16, 28;
(2)453,442, 450,445,446,457,448, 449,451,450.
解 (1)把这组数据从小到大排列:10，11，13，14，16，17，28.
由于位于中间位置的数是14，因此这组数据的中位数是14.
由于位于中间位置的两个数是449和450，这两个数的平均数是 =449.5，
(2)把这组数据从小到大排列:
442,445,446,448,449,450,450,451,453,457.
449+450
2
因此这组数据的中位数是449.5.
合
探
作
究
某公司有15名员工，它们所在部门及相应每人所创的年利润如下表：
部门 A B C D E F G
人数 1 1 2 4 2 2 3
每人创年利润/万元 20 5 2.5 2.1 1.5 1.5 1.2
　根据表中信息填空：
(1)该公司每人所创年利润的平均数是____万元；
(2)该公司每人所创年利润的中位数是____万元；
3.2
2.1
(3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平？
解：因为该数据中数据20的异常，影响了该数据的一般水平，所以应该用中位数来描述该公司每人所创年利润的一般水平．
综上可知，中位数把一组数据分成相同数目的两部分，其中一部分都小于或等于中位数，而另一部分都大于或等于中位数.
因此，中位数常用来描述一组数据的“中间位置”或“中等水平”.同时，我们可以发现中位数并没有利用数据组中所有的信息.
知识模块二　众数
自学互研
经过3年努力，张经理创办的这家企业得到很大发展.张经理为使自己能专心从事科技创新，聘请了1名总经理、2名副总经理进行管理，现该企业已有80名员工(张经理除外)，已知某月他们的工资如下:
工资/元 21000 15000 110000 9000 7000 5500 5000 4500 4200
人数 1 2 3 4 10 20 22 12 6
该企业80名员工该月工资数据中出现次数最多的数是多少
工资/元 21000 15000 110000 9000 7000 5500 5000 4500 4200
人数 1 2 3 4 10 20 22 12 6
5000出现了22次，出现的次数最多.
在一组数据中，出现次数最多的数叫作这组数据的众数.
把上述“说一说”栏目中该企业80个月工资数据按从小到大的顺序排列，可以发现这组数据的中位数是
5 000 + 5 500
=5250.
2
同时，这80个数据的平均数为
x =
1
80
=6115.
（21000+15000×2+11000×3+9000×4+7000
×10+5500×20+5000×22+4500×12+4200×6）
把这80个数据的众数、中位数、平均数表示在一起，可得下图.
0
4200
4500
5000
5250
5500
6115
7000
9000
11000
15000
2人
3人
4人
10人
平均数
中位数
众数
6人
12人
22人
20人
1人
21000
由图知，工资的平均数6115偏高，因为大多数员工的工资都达不到平均数，所以用它作为该企业员工工资的代表值并不合适.
而众数是5000，中位数是5250，它们代表了大多数人的工资水平，不偏高也不偏低，较能反映工资水平的实际情况.
0
4200
4500
5000
5250
5500
6115
7000
9000
11000
15000
2人
3人
4人
10人
平均数
中位数
众数
6人
12人
22人
20人
1人
21000
自
探
主
究
数据38，42，42，43，45，45，45的众数是 ( )
A．38 B．42 C．43 D．45
D
一组数据中某数据多次重复出现时，众数往往更能反映这组数据的集中趋势.
总结归纳
一组数据的众数可以不止一个.
合
探
作
究
一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则数据x是 _______．
1或2
知识模块三　平均数、中位数和众数的综合应用
自学互研
如果你分别作为公司总经理、普通员工及应聘者，你会分别关注员工月工资数据的平均数、中位数、众数中的哪一个 为什么
平均数、中位数和众数都是一组数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中趋势，但各有特点.具体如下:
平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中应用较广，但它容易受极端值的影响;
中位数只需要很少的计算，它不易受极端值的影响;
当一组数据中某些数据多次重复出现时，人们往往关心的是众数，众数也不易受极端值的影响.
合
探
作
究
某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月销售目标，根据目标完成情况对营业员进行适当的奖惩．为了确定一个适当的目标，商场统计了每个营业员在某月的销售额(万元)，数据如下：
8　16　13　24　15　28　26　18　19　17　7　16　19　32　30
16　14　15　26　2　23　17　15　15　28　28　16　19　15　19
(1)月销售额在哪个值的人数最多？中间的月销售额是多少？平均的月销售额是多少？
(2)如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
(3)如果想让一半左右的营业员都能达到目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
解：(1)15万元，17万元，18.53万元．
(2)18.53万元，因为在众数、中位数和平均数中，平均数最大，要达到较高目标，应选平均数为目标．
(3)17万元，因为17万元为中间水平．
课堂小结
平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中应用较广，但它容易受极端值的影响;
中位数只需要很少的计算，它不易受极端值的影响;
当一组数据中某些数据多次重复出现时，人们往往关心的是众数，众数也不易受极端值的影响.
随堂练习
1.求下列各组数据的中位数:
(1) 100, 75, 80, 73, 50, 60, 70;
(2) 120, 100, 130,200, 80, 140,125, 180.
解:(1)将数据按从小到大的顺序排列为50,60，70, 73,75,80,100,位于中间的数是73,所以这组数据的中位数是73.
(2)将数据按从小到大的顺序排列为80,100，120，125,130,140,180,200,位于中间的两个数是125和 130，这两个数的平均数为
所以这组数据的中位数为127.5.
125+130
2
= 127.5,
2.某鞋店在某个月内各种鞋号男鞋的销售数据如下表:
鞋号/mm 230 235 240 245 250 255 260 265
销售量/双 5 6 6 10 17 10 12 7
这组已销售男鞋的鞋号数据的众数是多少？这个众数对鞋店店主进货有何启发
解:统计各鞋号的销售量:230mm销售5双，235mm销售6双，240mm销售6双，245mm销售10双，250mm销售17双，255mm销售10双，260mm销售12双，265mm销售7双。
众数表示最常销售的鞋号，反映该尺码需求量最大，
确定最大销售量对应的鞋号:最大销售量为17双，对应鞋号250mm。
因此，这组数据的众数是250mm。
故店主进货时应多进250mm的男鞋。
答:这组已销售男鞋的鞋号数据的众数是250mm。众数对鞋店店主进货的启发是应多进250mm的男鞋，以满足大多数顾客的需求。
3.求下面各组数据的众数:
3,4,4, 5,3,4,5,6,5,6;
1.0,1.1,1.0,0.9,0.8,0.9,1.0,0.9.
（1）3出现2次，4出现3次，5出现3次，6出现2次，4和5出现次数最多，所以众数是4和5.
（2） 1.0出现3次，1.1出现1次，0.9出现3次，0.8出现1次,1.0和0.9出现次数最多，所以众数是1.0和0.9.
湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4．1　平均数、中位数、众数
习题4.1
1.某纺织厂订购一批棉花，棉花纤维长短不一，主要有34mm，35mm，36mm三种长度.随机取出10g棉花并测出三种纤维长度的棉花的含量，得到下面的结果:
纤维长度/mm 34 35 36
含量/g 2.5 4 3.5
问:这批棉花纤维的平均长度是多少
解：这批棉花纤维的平均长度是
答:这批棉花纤维的平均长度是35.1 cm.
34×2.5+35×4+36×3.5
10
=35.1;
2. 某地质量检测部门积极响应党中央“推进健康中国建设，深入开展健康中国行动”的号召，为进一步保障广大市民饮用水质量安全，对所在城市的40种桶装水产品进行质量测评，得分如下:
(1)计算它们的平均分数;
(2)指出这组数据的众数和中位数.
分数 98 95 90 85 80 75 65 61 50
品种数 1 2 4 10 12 1 5 4 1
解： (1)计算总分数:
98×1+95×2+90×4+85×10+80×12+75×1+65×5+61×4+50×1=98+190 + 360 + 850 + 960 + 75 + 325 + 244+50= 3152(分)
计算平均分数:3152÷40=78.8(分)
答:它们的平均分数是78.8分.
(2) 众数:观察品种数，80分对应的品种数为12，是所有分数中品种数最多的，因此众数为80；
中位数:总共有40个数据，中位数是第20和第21个数据的平均值。
累计到80分时，已经包含了1+2+4+10+12=29个数据，因此第20和第21个数据都在80分这组。
中位数=
80+80
2
=80;
3.某超市为了提前准备即将到来的春节购物新进了一批糖果，这批糖果种类比较多，且价格不一.考虑到顾客的需求，该超市打算把糖果混合成杂拌糖出售，具体搭配的数量及价格如下表所示.
种类 售价/(元/kg) 质量/kg
A 24 2
B 19 2
C 28 6
该超市杂拌糖的售价应该确定为多少才合适
解：计算总售价:A种糖果总售价:24×2=48元;
计算总质量:总质量:2+2+6=10kg。
计算杂拌糖单价:单价=总售价÷总质量
254÷10=25.4元/kg
B种糖果总售价:19×2=38元;
C种糖果总售价:28×6=168元;
总售价:48+ 38+ 168=254元。
4.甲、乙、丙三个电子厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下待机时间是12h，质量检测部门对这三个厂家产品的待机时间进行了抽样调查，统计结果(单位:h)如下:
甲厂:8, 9, 9, 9, 9, 11, 13, 16, 17, 19;
乙厂: 10, 10, 12, 12, 12, 13, 14, 16, 18, 19;
丙厂:8, 8, 8, 10, 11, 13, 17, 19, 20, 20.
(1)分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数，(2)这三个厂家的推销广告分别利用了上述哪一种数字特征来表示待机时间
(3)如果你是顾客，宜选择哪个厂家的产品 为什么
解: (1)根据平均数的计算公式，可知甲厂数据的平均数是
8+9+9+9+9+11+13+16+17+19
10
=12;
乙厂数据的平均数是
10+10+12+12+12+13+14+16+18+19
10
=13.6;
丙厂数据的平均数是
8+8+8+10+11+13+17+19+20+20
10
=13.4;
甲、乙、丙三厂数据的众数分别是9,12,8.
甲厂数据的中位数为
9+11
2
=10;
乙厂数据的中位数为
12+13
2
=12.5;
丙厂数据的中位数为
11+13
2
=12;
(2)甲厂用平均数作为该电子产品的待机时间，乙厂用众数作为该电子产品的待机时间，丙厂用中位数作为该电子产品的待机时间.
(3)我会选乙厂的产品.因为乙厂产品的平均数最大,众数最大，中位数最大，所以待机时间更长些，稳定性也较好.
5 .某中学校园艺术节期间以班级为单位进行广播体操比赛，比赛评分包括以下四项内容:服装统一度、进退场秩序、动作规范性、动作整齐性(每项满分100分).其中甲、乙、丙三个班级的比赛得分如下表所示.
班级 服装统一度 进退场秩序 动作规范性 动作整齐性
甲班 95 85 90 85
乙班 85 85 95 90
丙班 90 95 85 90
(1)在不考虑其他因素的情况下，直接计算三个班级在四项评分内容上的平均得分，哪个班级会获得本次广播体操比赛的第一名？
解: (1)计算甲班平均得分:
(95+85+90+85)÷4=355÷4=88.75(分)
计算乙班平均得分:
(85 +85+95+90)÷4=355÷4=88.75(分)
计算丙班平均得分:
(90+95+85+90)÷4=360÷4=90 (分)
因为90>88.75，
所以丙班获得第一名。
答:丙班会获得本次广播体操比赛的第一名。
(2)若对服装统一度、进退场秩序、动作规范性，动作整齐性这四项的得分，按照1:2:3:4的比例分别计算三个班级的平均得分，哪个班级会获得本次广播体操比赛的第一名
(2)计算四项总权重:1+2+3+4=10
计算甲班加权平均得分:
(95×1+85×2+90×3+85×4)÷10
=(95+170+270+340) ÷10
=875÷10
=87.5(分)
计算乙班加权平均得分:
(85×1+85×2+95×3+90×4)÷10
=(85+170+285+360) ÷10
=900÷10
=90(分)
计算丙班加权平均得分:
(90×1+95×2+85×3+90×4)÷10
=(90+190 +255 +360) ÷10
=895 ÷10
=89.5(分)
因为90>89.5>87.5，
所以乙班获得第一名。
答:乙班会获得本次广播体操比赛的第一名。
6.对于某一个热点话题，若两家网站中认为“这个话题重要”的用户所占百分比分别为81%，76%，两家网站参与评价的用户人数分别为n，m，求这两家网站所有参与评价的用户中认为“这个话题重要”的用户比例.
解：第一家网站认为“这个话题重要”的用户数为81%n，第二家网站认为“这个话题重要”的用户数为76%m;
81%n + 76%m
n+m
两家网站所有参与评价的用户中认为“这个话题重要” 的总用户数为81%n+76%m;
两家网站参与评价的总用户数为n+m;
因此，所求比例为 .
答:这两家网站所有参与评价的用户中认为“这个话题重要”的用户比例是 .
81%n + 76%m
n+m

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