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湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4.2 方差
情景导入
两名射击运动员甲和乙在5次训练中的成绩(单位：环)：
甲： 7, 8, 8, 8, 9　　　乙： 5, 6, 9, 10, 10
(1)请计算这两名运动员的平均成绩．
(2)他们的平均成绩都是8环．那么，如果只能选一人参加比赛，你会选择谁？为什么？
(3)只用平均数，能完全描述他们成绩的差异吗？我们还需要关注数据的什么特征？
甲的平均值 ＝ (7＋8＋8＋8＋9)÷5 ＝ 8(环)；
乙的平均值 ＝ (5＋6＋9＋10＋10)÷5 ＝ 8(环)．
知识模块一　离差平方和及方差的相关概念
自学互研
刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位:环)如下:
刘亮: 7, 8, 8, 9, 7, 8, 8, 9,7, 9;
李飞:6,8,7,7,8,9,10,7,9,9.
(1)两人的平均成绩分别是多少
(2)如何反映这两组数据与其平均数的偏离程度
(1)刘亮成绩的平均数是
7+8+8+9+7+8+8+9+7+9
10
=8；
李飞成绩的平均数是
6+8+7+7+8+9+10+7+9+9
10
=8.
即两人的平均成绩相同.
(2)为了直观地看出这两组数据与其平均数的偏离程度，可以用下图来表示数据的分布情况.
刘亮的射击成绩
射击成绩(环)
射击次数
10
9
8
7
6
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
李飞的射击成绩
射击成绩(环)
射击次数
10
9
8
7
6
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由上面两幅图可以发现，刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近，而李飞的射击成绩与其平均成绩的偏离程度较大.
刘亮的射击成绩
射击成绩(环)
射击次数
10
9
8
7
6
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
李飞的射击成绩
射击成绩(环)
射击次数
10
9
8
7
6
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小.
如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢
设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的各个数据与平均数的偏差之和为(x1－ )+ (x2－ )+ …
+ (xn－ ) =0.这时由于出现了正负偏差抵消的情况，因而无法用各个数据与平均数的偏差之和来刻画这组数据的离散程度.
x
x
为解决这一问题，可以用各个数据与的差的绝对值之和，或者利用各个数据与的差的平方和来刻画这组数据的离散程度.
x
例如，有两组数据:(1)4,5,6,7,8;(2)3,6 ,6,9,0.
对于(1)，这组数据的平均数 为6，则这组数据与 的差的绝对值之和、这组数据与的差的平方和分别为
x
x
|4-6|+|5-6|+|6-6|+|7-6|+|8-6|=6，
(4-6)2+(5-6) 2+(6-6) 2+(7-6) 2+(8-6) 2=10.
对于(2)，这组数据的平均数 为6，则这组数据与 的差的绝对值之和、这组数据与的差的平方和分别为
|3-6|+|6-6|+|6-6|+|6-6|+|9-6|=6，
(3-6)2+(6-6) 2+(6-6) 2+(6-6) 2+(9-6) 2=18.
由此受到启发，我们可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度.
设一组数据为x1，x2，…，xn.各个数据与平均数 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作S2，即
x
S2= (x1－ ) 2+ (x2－ ) 2+ …+ (xn－ ) 2.
x
x
x
离差平方和S2刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度.
x
①
s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2].
为了刻画一组数据与其平均数的平均离散程度，引人下述概念:
设一组数据为x1，x2，…，xn.各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作s2，即
x
x
x
x
n
1
②
一组数据的方差越小，表明这组数据的离散程度越小，这组数据也就越稳定.
由①式和②式得，
s2 =
(1)设一组数据为x1，x2，…，xn，各个数据与_________ 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作S2， S2＝(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2.
离差平方和S2刻画了一组数据与其平均数的__________．
总结归纳
x
平均数
x
x
x
x
总离散程度
x
x
x
n
1
(2)设一组数据为x1，x2，…，xn，各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作s2.即
s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2].
合
探
作
究
已知一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的离差平方和是____，方差是____．
10
2
知识模块二　用离差平方和、方差刻画数据的离散程度
自学互研
例1 分别计算本节“思考”栏目中，刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定.
解 由前面的计算可知，刘亮和李飞的射击平均成绩均为8环，从而刘亮的射击成绩的离差平方和是
2刘亮=(7-8)2+(8-8) 2+(8-8) 2+(9-8) 2+(7-8) 2+(8-8) 2+
(8-8) 2+ (9-8) 2+(7-8) 2+(9-8) 2
=1+1+1+1+1+1
=6,
于是方差s2刘亮= = =0.6.
S2李飞=(6-8)2+(8-8) 2+(7-8) 2+(7-8) 2+(8-8) 2+(9-8) 2+
(10-8) 2+(7-8) 2+(9-8) 2+(9-8) 2
=4+1+1+1+4+1+1+1
=14,
于是方差s2李飞= =1.4.
李飞的射击成绩的离差平方和是
计算结果表明， s2刘亮＜ s2李飞，
因此，刘亮的射击成绩比李飞稳定.
例2 有两个女声小合唱队，各由5名队员组成.她们的身高(单位:cm)为:甲队: 160，162，159，160, 159;
乙队:169，165，157，150, 164.
试判断哪队队员身高比较整齐.
解 甲队队员的平均身高是解
x甲
=(160+162+159+160+159)=160(cm).
甲队队员身高的离差平方和是
S2甲=(160 - 160)2+(162 - 160) 2+(159 - 160) 2+(160 - 160) 2
+(159 - 160) 2=6，
于是方差s2甲= =1.2 .
乙队队员的平均身高是
x乙
=(169+165+157+150+164)=161(cm).
乙队队员身高的离差平方和是
S2乙= (169-161) 2+(165-161) 2+(157-161) 2
+(150-161) 2+(164-161) 2 =226，
于是方差s2乙= =45.2 .
计算结果表明， s2甲＜ s2乙，
因此，甲队队员的身高比较整齐.
自
探
主
究
某省举行射击比赛，教练打算从甲、乙、丙、丁四人中选派一人参赛，每人都进行20次射击，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.9，s乙2 ＝0.4， s丙2 ＝1.2，s丁2 ＝0.6，则成绩最稳定的选手是 ( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
B
合
探
作
究
每一年的中考体育测试有一个项目是排球垫球，九年级学生小明和小亮为了训练排球，他们各进行了五次排球垫球训练，下面是他们每次训练的垫球个数成绩：
小明：25　23　27　29　21
小亮：24　25　23　26　27
试求出两位同学在训练中排球垫球的平均数．他们两位同学谁的成绩更稳定？为什么？
从方差来看， s2小明＞ s2小亮，
小明＝×(25＋23＋27＋29＋21)＝25(个).
x
S2小明＝[(25－25)2＋(23－25)2＋(27－25)2＋(29－25)2＋
(21－25)2]＝40.
s2小明＝＝8.
x
小亮＝×(24＋25＋23＋26＋27)＝25(个).
S2小亮＝[(24－25)2＋(25－25)2＋(23－25)2＋(26－25)2＋
(27－25)2]＝10.
s2小亮＝＝2.
因此，小亮的成绩更稳定．
课堂小结
s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2].
x
x
x
n
1
x
x
x
n
1
s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2].
S2 =
随堂练习
1.求下列各组数据的离差平方和与方差:
24, 24, 31, 31 , 47, 47, 62, 84, 95, 95;
10.1, 9.8, 9.7, 10.2, 10.3, 9.9, 10.0.
解:(1)平均数是×(24+24+31+31+47+47+62+84+
95+95)=54，
方差是× [2×(24-54)2+2×(31-54) 2+2×(47-54) 2+
(62-54) 2+(84-54) 2+2×(95-54) 2]=728.2.
(2)平均数是×( (10.1+9.8+9.7+10.2+10.3+9.9+10.0)=10,
方差是×[(10.1-10)2+(9.8-10) 2+(9.7-10) 2+(10.2-10) 2+
(10. 3-10) 2+(9.9-10) 2+(10.0-10) 2]=0.04.
2.李明的班上要派一名选手参加学校田径运动会的100m赛跑，李明和张亮都希望自己能参加比赛，他们在训练中10次的测试成绩(单位:s)为:
李明: 14.5, 14.9, 14.2, 15.0, 14.7,
14.1, 14.4, 13.9, 15.5, 14.8;
张亮: 14.8, 14.4, 15.5, 14.1, 14.3,
14.6, 14.1, 14.8, 15.1, 14.3.
根据两人的成绩，应该派谁去参加比赛
李明＝×(14.5+14.9+14.2+15.0+14.7+14.1+14.4 +
13.9+15.5+14.8)= 14.6 (s),
x
张亮＝×(14.8+14.4+15.5+14.1+14.3+14.6+14.1+
14.8+15.1+14.3)= 14.6 (s),
x
解:
S2李明=× [(14.5-14.6)2+ (14.9-14.6) 2+ (14.2-14.6) 2+
(15.0-14.6) 2+ (14.7-14.6) 2+ (14.1-14.6) 2+
(14.4-14.6) 2+ (13.9-14.6) 2+ (15.5-14.6) 2+
(14.8-14.6) 2]
=× 2.06
=0.206,
S2张亮=× [(14.8-14.6)2+ (14.4-14.6) 2+ (15.5- 14.6) 2+
(14.1-14.6) 2+ (14.3-14.6) 2+ (14.6-14.6) 2+
(14.1-14.6) 2+ (14.8-14.6) 2+ (15.1- 14.6) 2+
(14.3-14.6) 2]
=× 1.86
=0.186,
因为两人测试成绩的平均数相同，且李明测试成绩的方差比张亮测试成绩的方差大，所以李明的测试成绩的波动比张亮大，所以应该派张亮去参加比赛.
湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4.2 方差
习题4.2
1.种子是我国粮食安全的关键，某玉米研究所对两种玉米种子进行改良后，决定在条件(肥力、日照、通风......)不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，其结果
(单位:kg)统计在下表中:
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
甲 750 760 750 725 755 760
乙 745 780 775 725 730 745
哪个品种的产量较稳定，适合推广
甲＝×(750 +760 +750 +725 +755 +760)= 750,
x
S2甲= [ (750 -750) 2 + (760 - 750) 2 + (750 - 750) 2 +
(725 -750) 2 + (755 -750) 2 + (760 - 750) 2]
=× 850
=141.67,
解：
乙＝×(745 + 780 + 775 + 725 + 730 + 745)= 750,
x
S2乙=[ (745 -750) 2 + (780 - 750) 2 + (775 - 750) 2 +
(725 -750) 2 + (730 -750) 2 + (745 - 750) 2 ]
= × 2600 =433.33
因为S2甲< S2乙，
所以甲品种的产量波动更小，更稳定，更适合推广。
2.甲、乙两地各月的平均气温(单位:°C)如下表所示:
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
甲 -8 -6 -2 8 13 18 21 19 14 7 -2 -4
乙 11 13 17 20 23 25 28 27 25 20 17 14
试求甲、乙两地月平均气温的离差平方和与方差，并对两地气温变化情况作出比较.
甲＝×(-8-6-2+8+13+18+21+19+14+7-2-4)= 6.5(℃),
x
S2甲= [(-8-6.5)2+ (-6-6.5)2+ (-2-6.5)2+ (8- 6.5)2+
(13-6.5)2+(18-6.5)2+(21-6.5)2+(19-6.5)2+
(14-6.5)2+ (7-6.5) 2+ (-2-6.5)2+ (-4-6.5)2]
=× 1221
=101.75,
解：
乙＝×(11+13+17+20+23+25+28+27+25+20+17+
14)= 20(℃),
x
解：
S2乙= [(11-20)2+ (13-20)2+ (17-20)2+ (20- 20)2+
(23-20)2+ (25-20)2+ (28-20)2+ (27-20)2+
(25-20)2+(20-20)2+(17-20)2+(14-20)2]
=× 356 ≈29.67,
甲地月平均气温的平均数低于乙地月平均气温的平均数.甲地月平均气温的方差为101.75,乙地月平均气温的方差约为29.67，甲地气温变化较大.
3.某公司准备盖大楼，有两块土地可供征用，但两块土地都崎岖不平，需要平整. 现对每块土地确定房基基准高度，然后在两块土地上分别适当地另取10点，用水平仪测得各点对基准的相对标高(单位:cm)如下表所示:
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
甲 -45 76 47 -26 135 84 -61 -38 76 92
乙 74 120 100 -70 -44 95 63 -50 57 -25
问:哪一块土地比较容易平整
解:土地平整的难易程度由各点相对基准高度的波动情况决定，方差越小，波动越小，越容易平整。
甲＝×[(-45)+76+47+(-26)+135+84+(-61)+(-38)+76+92]= 34cm,
x
S2甲= [(-45-34)2+(76-34) 2+…+(92-34) 2]
=4381.2 cm2,
乙＝×[74+120+100+(-70)+(-44)+95+63+(-50)+57+
(-25)]= 32cm,
x
S2乙= [(74-32)2+(120-32)2 +… +(-25-32)2]
=4584 cm 2,
因为S2甲< S2乙，
所以甲土地比较容易平整。

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