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湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4．3　数据分类
情景导入
一家公司研发了三种不同的肥料(A，B，C)，想了解它们对玉米产量的影响是否有显著差异．他们在试验田中选取了15块面积相等的土地，随机施用三种肥料，每种肥料5块地，最后得到的产量(kg)如下：
肥料A: 20, 22, 21, 19, 23
肥料B: 25, 24, 26, 23, 27
肥料C: 18, 20, 19, 17, 21
(1)如果我们把所有15个数据看成一个整体，这个整体数据波动的大小，我们用什么来衡量？
答：总离差平方和，经计算，S2＝114.8．
(2)这114.8的总变异，是从哪里来的呢？
答：它可能来自两个方面：
同一肥料内部，由于土壤、光照等随机因素造成的波动(组内变异)．
由于使用不同肥料这个“系统性因素”造成的不同组之间的波动(组间变异)
如何求组内差异和组间差异呢？
知识模块一　 组内、组间离差平方和的有关概念及计算
自学互研
某田径队10名运动员跳远的最好成绩如下：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
成绩/m 5.85 6.13 6.11 6.01 5.91 6.19 5.81 5.84 6.22 5.98
教练组拟根据这组数据将队员分为两组进行分层训练，应当如何划分呢
一种划分的方法是，使得每一组的数据比较稳定，即每一组数据的组内差异小，组间差异大.
一般地，设一组数据为x1，x2，…，xn，它的平均数为 ，离差平方和为S2.如果把这组数据分为两组，前m个数据为第一组，后(n－m)个数据为第二组，第一组的平均数记作 ，第二组的平均数记作 ，令
S12＝(x1－ 1)2＋(x2－ 1)2＋…＋(xm－ 1)2＋(xm＋1－
2)2＋(xm＋2－ 2)2＋…＋(xn－ 2)2，
S22＝m( 1－ )2＋(n－m)( 2－ )2，
x
x1
x2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
总结归纳
其中S12为组内离差平方和，反映了两个组内数据的离散程度， S22为组间离差平方和，反映了两组数据之间的差异程度．
数学上已经证明
S2 =S12 + S22
将上述10名运动员跳远的最好成绩的数据从小到大排列，得
5.81, 5.84, 5.85, 5.91, 5.98, 6.01, 6.11, 6.13, 6.19, 6.22.
观察上述数据，前5个数据相差不多，后5个数据也相差不多，于是可以尝试把前5个数据作为第一组，后5个数据作为第二组，且将第一组数据的平均数记作 ，第二组数据的平均数记作 ，将这10个数据的平均数记作 .
x1
x2
x
于是 = (5.81 + 5.84 +5.85 +5.91 +5.98)=5.878,
x1
5
1
= (6.01 + 6.11 + 6.13 +6.19 + 6.22)=6.132,
x2
5
1
= (5.81+5.84+5.85+5.91+5.98+6.01+6.11+6.13
+6.19+6.22)
=6.005.
10
1
x
因此组内离差平方和S12为
S12=(5.81-5.878)2+(5.84-5.878)2+(5.85-5.878)2+(5.91-
5.878) 2+(5.98-5.878) 2+(6.01-6.132) 2+(6.11-6.132) 2
+(6.13-6.132) 2+(6.19-6.132) 2+(6.22-6.132) 2
=0.04476
组间离差平方和S22为
S22=5×(5.878 -6.005) 2 + 5 × (6.132 - 6.005) 2 =0.161 29.
另外，这10个数据的离差平方和S2为
S2=(5.81-6.005) 2+(5.84-6.005) 2 +(5.85-6. 005) 2 +(5.91-
6.005) 2 +(5.98-6.005) 2 +(6.01-6.005) 2 +(6.11-6.005) 2
+(6. 13-6. 005) 2 +(6. 19-6. 005) 2 +(6. 22-6.005) 2
=0.206 05.
又S12 + S22 = 0.044 76+0.161 29 = 0.206 05,
于是S2 =S12 + S22
在大数据分析中，数据的分组是重要的方法之一.虽然可以有多种方法对数据进行分组，但是，使得“组内离差平方和最小”的方法是最传统的，也是非常合理的.
合
探
作
究
已知甲组3人，成绩为[85, 90, 95]；乙组3人，成绩为[75, 80, 85].
(1) 计算总平均值；
(2)计算总离差平方和；
(3)计算组内离差平方和；
(4)计算组间离差平方和；
(5)验证“总离差平方和 ＝组内离差平方和 ＋ 组间离差平方和”是否成立．
解：(1) ＝ (85＋90＋95＋75＋80＋85)÷6＝85(分).
x
(2)总离差平方和为 (85－85)2 ＋ (90－85)2 ＋(95－85)2 ＋(75－85)2 ＋(80－85)2 ＋ (85－85)2 ＝ 0＋25＋100＋100＋25＋0＝250.
(3) 甲＝(85＋90＋95)÷3＝90,
x
x
乙＝(75＋80＋85)÷3＝80.
组内离差平方和为＝ (85－90)2＋(90－90)2＋(95－90)2＋(75－80)2＋(80－80)2＋(85－80)2 ＝ (25＋0＋25)＋(25＋0＋25)＝100.
(4)组间离差平方和为 3×(90－85)2 ＋ 3 × (80－85)2 ＝ 3×25 ＋ 3 ×25 ＝ 150.
(5)100 ＋ 150 ＝ 250，∴成立．
知识模块二　利用组内离差平方和进行分组
自学互研
上述分组符合“组内离差平方和最小”的原则吗
按照组内离差平方和最小的原则，应保证跳远最好成绩相差不多的运动员在一个组，将从小到大排列后的10个数据依次分为两组，有下面9种情况:
第一组1个数据，第二组9个数据;
第一组2个数据，第二组8个数据;
… ;
第一组9个数据，第二组1个数据.
对上面的分组，可以利用计算机设计算法、编写程序，然后依次计算组内离差平方和(前面已经计算出第一组、第二组各5个数据的组内离差平方和)，得到下表(结果保留四位小数):
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组9个 0.163 8
第一组2个，第二组8个 0.1251
第一组3个，第二组7个 0.079 8
第一组4个，第二组6个 0.051 0
第一组5个，第二组5个 0.044 8
第一组6个，第二组4个 0.040 7
第一组7个，第二组3个 0.074 8
第一组8个，第二组2个 0.106 1
第一组9个，第二组1个 0.154 7
计算结果表明，将排序后的前6个数据分为一组，后4个数据分为另一组，可以使组内离差平方和最小.即应将编号为①④⑤⑦⑧⑩的运动员分为一组，其他运动员为另一组进行分层训练. 通过数据也可以看到，这样的分组是合理的.
合
探
作
究
某班 7 名学生的数学小测成绩：75，80，85，90，95，100，105，按 “组内成绩更集中” 的原则分为两组(一组 3 人，一组 4 人)，确定最优分组．
方式1：第一组[75，80，85](3人)，第二组 [90，95，100，105](4人)
第一组平均值 1＝(75＋80＋85)÷3＝80，平方和S1＝(75－80)2＋(80－80)2＋(85－80)2＝25＋0＋25＝50.
x
第二组平均值 2＝(90＋95＋100＋105)÷4＝97.5，
x
平方和S2＝(90－97.5)2＋(95－97.5)2＋(100－97.5)2＋(105－97.5)2＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125.
总平方和S＝50＋125＝175.
方式2：第一组[75，80，85，90](4人)，第二组[95，100，105](3人)
第一组平均值 1＝(75＋80＋85＋90)÷4＝82.5，
平方和S1＝(75－82.5)2＋(80－82.5)2＋(85－82.5)2＋(90－82.5)2＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125.
第二组平均值 2＝(95＋100＋105)÷3＝100，
总平方和S＝125＋50＝175.
x
平方和S2＝(95－100)2＋(100－100)2＋(105－100)2＝25＋0＋25＝50.
x
最优分组为[75，80，85]和[90，95，100，105](或[75，80，85，90]和[95，100，105])，总离差平方和最小(175)，组内成绩更集中．
课堂小结
S12为组内离差平方和，反映了两个组内数据的离散程度， S22为组间离差平方和，反映了两组数据之间的差异程度．
S2 =S12 + S22
随堂练习
下面是我国9个城市2024年4月份的平均相对湿度 (单位:%):
53, 56, 61,62, 58, 58, 66, 70, 65.
将这些平均相对湿度数据分成两组:
第一组，53，56，58，58;
第二组，61，62，65，66，70.
试计算上述分组情况下的组内离差平方和。
第一组数据的平均数为:
1＝(53＋56＋58＋58)÷4＝56.25，
S1=(53-56.25)2+(56-56.25) 2+(58- 56.25) 2 + (58 - 56.25) 2
x
第一组数据的组内离差平方和为:
=(-3.25) 2+(-0.25 ) 2 +1.75 2 + 1.75 2
=10.5625 + 0.0625 + 3.0625 + 3.0625
= 16.75
第二组数据的平均数为:
2＝(61＋62＋65＋66+70)÷5＝64.8，
S2=(61-64.8)2+(62-64.8) 2+(65-64.8) 2 + (66 - 64.8) 2 +
(70 - 64.8) 2
x
第二组数据的组内离差平方和为:
=(-3.8) 2+(-2.8 ) 2 +0.2 2 + 1.2 2 + 5.2 2
= 14.44 + 7.84 + 0.04 + 1.44 + 27.04
= 50.8
分组情况下的组内离差平方和为:
S= S1 + S2 = 16.75 + 50.8 = 67.55
答:分组情况下的组内离差平方和为67.55。
湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4．3　数据分类
习题4.3
1.下面是我国8个城市2024年3月的平均气温(单位:°C):
7.7, 9.2, 12.3, 7.2, 5.5, 18.1, 17.6, 16.7.
将这些平均气温数据分成两组:
第一组:5.5,7.2,7.7,9.2;第二组:12.3, 16.7,17.6,18.1.
试计算上述分组情况下的组内离差平方和。
第一组数据的离差平方和计算：
数据:5.5,7.2,7.7,9.2，均值
= (5.5+7.2+7.7+9.2)=7.4 .
x1
S1= (5.5-7.4)2 + (7.2-7.4)2+ (7.7-7.4)2+ (9.2-7.4)2
=(-1.9)2+(-0.2)2+0.32+1.82
=3.61 + 0.04+ 0.09 +3.24
= 6.98
第二组数据的离差平方和计算：
数据:12.3,16.7,17.6,18.1,，均值
=(12.3+16.7+17.6+18.1)=16.175 .
x2
S2= (12.3-16.175)2 + (16.7 - 16.175)2 + (17.6 -16.175)2 + (18.1 - 16.175)2
=(-3.875)2 +0.5252 +1.4252 + 1.9252
=15.015625 + 0.275625 + 2.030625 + 3.705625
= 21.0275
组内离差平方和
S= S1 + S2 = 6.98 + 21.0275 = 28.0075
2.(利用计算机完成)下图是我国10个省份2023年人均地区生产总值(人均GDP，单位:万元)的数据.
如果要把这10个省份依据人均GDP的多少分为两个组，你认为应当如何划分，并说出划分的理由.
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
省份序号
人均GDP/万元
25
20
15
10
5
19.08
9.06
12.98
9.55
20.04
15.06
10.26
12.55
10.72
9.38
10个省份的人均GDP(万元)为:
19.08 ,9.06, 12.98, 9.55 , 20.04,
15.06,10.26 , 12.55, 10.72, 9.38
先将数据从小到大排序:
9.06, 9.38, 9.55, 10.26 , 10.72,
12.55, 12.98, 15.06, 19.08 , 20.04
分组方案(使组内离差平方和最小)
将前5个分为一组，后5个分为另一组:
第一组：9.06, 9.38, 9.55, 10.26 , 10.72,
第二组： 12.55, 12.98, 15.06, 19.08 , 20.04
第一组数据的离差平方和计算：
= (9.06+9.38+9.55+10.26+10.72)=9.794 .
x2
S2= (9.06- 9.794)2 + (9.38- 9.794)2+ (9.55- 9.794)2
+ (10.26- 9.794)2+ (10.72- 9.794)2
= 1.84432
第一组离差平方和:
第二组数据的离差平方和计算：
= (12.55+12.98+15.06+19.08+20.04)=15.942 .
x2
S2= (12.55- 15.942)2 + (12.98- 15.942)2+ (15.06- 15.942)2+ (19.08- 15.942)2+ (20.04- 15.942)2
= 47.69768
第一组离差平方和:
这种划分方式使得组内离差平方和最小，说明组内数据的差异更小，组间差异更大，分组更合理。
第一组：9.06, 9.38, 9.55, 10.26 , 10.72,
(人均GDP较低的省份)
第二组： 12.55, 12.98, 15.06, 19.08 , 20.04
(人均GDP较高的省份)

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