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湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4．4　四分位数与箱线图
第1课时　四分位数
情景导入
某校八年级“安全知识”抢答比赛中，各班代表队得分如下(单位：分)：9，10，6，7，10，9，8，则各代表队得分的中位数是______．
9
知识模块　四分位数的有关概念和计算
自学互研
北京市2015一2023年全年空气质量优良天数从小到大排列如下:
186, 198, 226, 227, 240, 271, 276, 286, 288.
这组数据的中位数是多少 小于或等于中位数的数据个数与这组数据个数的比值、大于或等于中位数的数据个数与这组数据个数的比值是否都大于50%
中位数是240，比值都大于50%.
总结归纳
(1)一般地，设一组数据的个数为n，把这组数据从小到大排列，小于或等于中位数的数据个数与n的比值大于或等于____，大于或等于中位数的数据个数与n的比值大于或等于____，于是把中位数叫作第50百分位数．
50%
50%
记作m50.由于50%＝，因此把m50也叫作第二四分位数．
(2)如果有一个数满足：小于或等于这个数的数据个数与n的比值大于或等于____，大于或等于这个数的数据个数与n的比值大于或等于____，那么称这个数是第25百分位数，记作m25.由于25%＝，因此把m 25也叫作第一四分位数．
25%
75%
(3)如果有一个数满足：小于或等于这个数的数据个数与n的比值大于或等于____，大于或等于这个数的数据个数与n的比值大于或等于____，那么称这个数是第75百分位数，记作m75.由于75%＝，因此把m75也叫作第三四分位数．
75%
25%
合
探
作
究
某校八年级同学参加社会实践活动，到“庐江台湾农民创业园”了解大棚蔬菜生长情况．他们分甲、乙两个大棚中西红柿的长势进行观察测量，从甲大棚中用简单随机抽样方法抽取10株西红柿，测得它们的高度如下：
32　39　45　55　60　54　60　28　56　41
从乙大棚中用简单随机抽样方法抽取10株西红柿，测得它们的高度如下：
51　56　44　46　40　53　37　47　50　46
请问哪个大棚培育的10株西红柿高度的数据比较分散？
解： 将甲大棚培育的10株西红柿高度的数据从小到大排列：28　32　39　41　45　54　55　56　60　60.
因为× 10＝ 2. 5 ，
所以第3个数39是第一四分位数．
因为× 10 ＝ 7.5，
所以第8个数56是第三四分位数．
于是甲棚培育的10株西红柿高度的数据的第三四分位数减去第一四分位数的差是56－39＝17.
将乙大棚培育的10株西红柿高度的数据从小到大排列：37　40　44　46　46　47　50　51　53　56.
因为× 10＝ 2. 5 ，所以第3个数44是第一四分位数．
又∵17＞7，
∴甲大棚培育的10株西红柿高度的数据比较分散．
因为×10 ＝ 7.5，所以第8个数51是第三四分位数．
于是乙大棚培育的10株西红柿高度的数据的第三四分位数减去第一四分位数的差是51－44＝7.
例1 一组男生的身高(单位:cm)数据为
165, 154, 175, 172, 168, 150, 178, 182, 161, 180.
求这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数.
解把这组数据从小到大排列:
150, 154, 161, 165, 168,172,175,178,180,182.
这组数据的中位数是
168+172
2
= 170,即第二四分位数是170.
因为× 10=2.5，
所以第3个数161是第一四分位数.
因为× 10=7.5，
所以第8个数178是第三四分位数.
例2 一组数据为:
3.62,4.13, 2.60, 3.95, 4.90, 2.75,
3.64, 4.70, 6.58, 3.86, 4.78, 5.47.
求这组数据的四分位数.
解 把这组数据从小到大排列:
2.60, 2.75, 3.62, 3.64, 3.86,3.95, 4.13, 4.70, 4.78, 4.90, 5.47,6.58.
这组数据的中位数是
3.95+4.13
2
= 4.04，
即第二四分位数是4.04.
因为×12=3，
3.62+3.64
2
= 3.63是第一四分位数.
所以第3个数与第4个数的平均数
因为 × 12=9，
4.78+4.90
2
= 4.84是第三四分位数.
所以第9个数与第10个数的平均数
课堂小结
四分位数
第一四分位数（25%）
第二四分位数（中位数）
第三四分位数（75%）
随堂练习
求下列各组数据的第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数:
(1) 49, 55, 65, 52, 44, 62, 57, 56, 58;
(2) 12. 3, 11. 5, 11. 8, 13.2, 11. 0, 12. 2, 12.5, 10.2;
(3) 423, 430, 415, 427,420,432, 421, 428, 422,425,402.
解： (1)第 25 百分位数：52，第 50 百分位数：56，第 75 百分位数：58；
(2) 第 25 百分位数：11.25，第 50 百分位数：12.0，第 75 百分位数：12.4；
(3) 第 25 百分位数：420，第 50 百分位数：423，第 75 百分位数：428。
湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4．4　四分位数与箱线图
第2课时　四分位数和箱线图的应用
情景导入
假设你是篮球教练，正在考察两名候选球员A和B在过去十场比赛中的得分．你会如何向校长简洁地汇报每位球员的得分特点？”
知识模块　利用四分位数和箱线图表示数据的离散程度
自学互研
一组数据的第一四分位数和第三四分位数有什么用处呢
本节开篇“说一说”栏目中列出的北京市2015一2023年全年空气质量优良天数组成的数据，其第一四分位数是226，第三四分位数是276.
小于或等于226的数据有186，198 ， 226，则它的个数3与这组数据的总个数9的比值 ＞25％.大于或等于276的数据有276，286 ， 288，则它的个数3与这组数据的总个数9的比值 ＞25％.
由上可得，这组数据中，小于或等于第一四分位数226的数据个数与大于或等于第三四分位数276的数据个数之和与这组数据的总个数的比值大于或等于50%，如图所示.
从这个例子受到启发，可得下述结论:
一组数据中，小于或等于第一四分位数的数据个数与大于或等于第三四分位数的数据个数之和与这组数据的总个数的比值大于或等于50%.
数学上已经证明上述结论成立.
一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差可以用来刻画这组数据的分散程度，第三四分位数减去第一四分位数的差越大，这组数据就越分散.
由此可知:
例3 某工厂生产了一批某种型号的机械零件，从甲车间生产的零件中用简单随机抽样方法抽取14个零件，测得它们的质量(单位:g)如下:
257,243,249,245,253,248,256,
246,252, 247, 250, 254, 260,251.
从乙车间生产的零件中用简单随机抽样方法抽取14个零件，测得它们的质量(单位:g)如下:
249,253,241,251,243,250,246
256,262,258,247,259,239,240.
甲车间和乙车间生产的14个零件的质量数据，哪一组比较分散
解 将甲车间生产的14个零件的质量数据从小到大排列:
243, 245,246,247,248,249,250,
251,252,253,254,256,257,260
因为× 14=3.5，
所以第4个数247是第一四分位数.
因为× 14=10.5，
所以第11个数254是第三四分位数.
于是甲车间生产的14个零件的质量数据的第三四分位数减去第一四分位数的差是254一247=7.
将乙车间生产的14个零件的质量数据从小到大排列:
239,240,241,243,246,247,249,
250,251,253, 256,258, 259,262.
因为× 14=3.5，
所以第4个数243是第一四分位数.
因为× 14=10.5，
所以第11个数256是第三四分位数.
于是乙车间生产的14个零件的质量数据的第三四分位数减去第一四分位数的差是256一243=13.
又13>7，
故乙车间生产的14个零件的质量数据比较分散.
例3 中甲车间生产的14个零件的质量数据的中位数是250.5，乙车间生产的14个零件的质量数据的中位数是249.5，利用甲车间和乙车间生产的各14个零件的质量数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值，可绘制出下图.
甲车间
乙车间
小
由上图可知，乙车间生产的14个零件的质量数据比甲车间的质量数据分散，像图中这样，由一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这5个数绘制而成的图是这组数据的箱线图，它是由矩形“箱子”和直线组成的图形，直观地表示了这组数据的分布状态.
自
探
主
究
1．引导观察：请大家观察图4.4－2的箱线图．
(1)稳定性：从箱子的长度和箱子的整体形态看，那个车间生产的零件的质量数据更稳定？
A车间，箱子短，发挥更稳定
(2)零件质量：
哪个车间的“一般水平”(中位数)更高？
哪个车间的“正常发挥区间”(箱子范围)的整体数据更高？
甲：250.5和乙：249.5，相差不大
甲的整个箱子在243－260，乙在239－262，乙的下限更高
(3) 你的选择：如果你需要选择一个高产且稳定的车间，你会选泽哪个？
甲．
2.已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩 (分)的箱线图如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A．一班成绩比二班成绩集中
B．一班成绩的第一四分位数是80分
C．一班有同学的成绩超过140分
D．一班的平均分高于二班的平均分
B
合
探
作
究
甲、乙两组的测试成绩(单位：分)如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95.
(1)求甲组数据的四分位数；
解：(1)把甲的成绩从小到大排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100.
∴m50＝ ＝90，m25＝70，m75＝96.
89＋91
2
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图．
(3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法．
(2)绘制甲组箱线图如图．
(3)根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中(答案不唯一，合理即可).
课堂小结
一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差可以用来刻画这组数据的分散程度，第三四分位数减去第一四分位数的差越大，这组数据就越分散.
随堂练习
小明家2月17日至2月24日每天的燃气用量(单位:m3)为
1.31, 1.26, 1.41, 1.21, 1.50, 1.34, 1.43, 1.39;
3月1日至3月8日每天的燃气用量为
1.25, 1.33, 1.00, 1.45, 1.69, 1.36, 1.24, 1.35.
这两组数据中哪组数据比较分散
解:计算第一组数据(2月17日至2月24日)的最大值:1.50(m3)，最小值:1.21(m3)
计算第一组数据的极差:1.50 -1.21= 0.29(m3)
计算第二组数据(3月1日至3月8日)的最大值:
1.69(m3)，最小值:1.00(m3)
计算第二组数据的极差:1.69 - 1.00= 0.69(m3)
比较两组数据的极差:0.69>0.29
答:3月1日至3月8日这组数据比较分散。
湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4．4　四分位数与箱线图
习题4.4
1.求下列各组数据的四分位数:
(1) 240, 253, 262, 238, 256, 265, 241, 244, 250;
(2) 173, 174, 166, 172, 170, 165, 166, 168, 164, 155, 157, 163,161, 171,148, 162.
解：(1) 第一四分位数 Q1 =241，中位数 Q2 =250，第三四分位数 Q3 =256；
(2) 第一四分位数 Q1 =161.5，中位数 Q2 =165.5，第三四分位数 Q3 =170.5。
2.某校八年级(1)班组织20名同学参加培植绿豆芽活动，某一天其中10名同学培植的绿豆芽的长度(单 位:cm)如下:
5.18, 5.14, 5.10, 5.14, 5.10, 5.13, 5.15, 5.12, 5.13, 5.16.
另外10名同学培植的绿豆芽的长度(单位:cm)如下:
5.32,5.29, 5.14, 5.13, 5.27,5.12, 5.10, 5.15, 5.11, 5.16.
这两组绿豆芽的长度，哪组比较分散
解:计算第一组绿豆芽长度的最大值:第一组数据为5.18, 5.14, 5.10, 5.14, 5.10, 5.13, 5.15,5.12,5.13,5.16，最大值为5.18 cm。
计算第一组绿豆芽长度的最小值:第一组数据中的最小值为5.10cm。
计算第一组数据的极差:5.18 -5.10 = 0.08(cm).
计算第二组绿豆芽长度的最大值:第二组数据为5.32, 5.29, 5.14, 5.13, 5.27, 5.12, 5.10,5.15,5.11,5.16，最大值为5.32 cm。
计算第二组绿豆芽长度的最小值:第二组数据中的最小值为5.10cm。
计算第二组数据的极差:5.32 - 5.10 = 0.22(cm).
比较两组数据的极差:0.22>0.08。
答:第二组绿豆芽的长度比较分散。
3.某银行有A和B两个理财经营团队.2021-2023年，这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，年收益率(单位:%)如下:
A.4.77,3.98,6.44,4.89,2.15,3.85, 3.64,3.21,3.18,2.02,4.11,4.10.
B.3.18,3.84,3.99,3.67,3.40,3.60, 4.10,4.21,4.15,4.44, 3.87, 3.91.
(1)分别计算A和B两个团队理财产品年收益率数据的四分位数;
(2)如图是A和B两个团队理财产品年收益率数据的箱线图，试根据箱线图评价A和B两个团队的经营水平。
解： (1)四分位数计算:A团队:排序后数据，
Q1= 3.18 + 0.25× (3.21 -3.18)≈ 3.19%,
Q2=3.92%(中位数)，
Q3 = 4.11 + 0.75×(4.77-4.11)≈ 4.61%,
IQR=4.61% -3.19%= 1.42%;
B团队:排序后数据，
Q1= 3.60 + 0.25×(3.67 - 3.60)≈ 3.62%,
Q2=3.89%(中位数)，
Q3 = 4.10 + 0.75 ×(4.15 -4.10)≈ 4.14%,
IQR=4.14%-3.62%= 0.52%;
(2)箱线图分析:可以发现A团队收益率的中位数与B团队的相差不大，但A团队的收益率明显比B团队的波动大.两个团队经营效益基本一样，但B团队的经营水平比A团队要平稳.

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