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湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4.6　总体的平均数与方差的估计
情景导入
某食品厂生产一批袋装饼干，标称净重为500克．由于生产过程中存在随机误差，每袋饼干的重量并不完全相同．作为质检员，你不可能拆开每一袋来检查．请问，你如何通过抽取一小部分样本(例如30袋)，来科学地推断这批饼干总体的平均重量以及重量的波动情况(方差)
知识模块　总体的平均数与方差的估计
自学互研
在实际问题中，总体的数据个数往往非常多或者不能全部得到，于是，有人提出:用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差 . 这种做法合理吗
简单随机抽样方法能使得每次抽取时，总体中每个个体都有同等的机会被取到，并且在整个抽样过程中，前面取到的个体不影响后面的个体被取到的机会，于是上述做法合理.
数学上已经证明:
当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体的平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体的方差的一个估计值.
例1 某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件.为确保质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均数和离散程度.把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表:
质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265
零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2
(1)求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值;
(2)求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值.
质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265
零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2
解 用简单随机抽样方法从总体中抽取的100个零件的质量是一个样本，将这个样本的平均数记作 ，方差记作s2甲 .
甲＝×(238×1+241×5+244×9+247×19+
250×24+253×22+256×11+259×6+262×1+265×2)＝250.6(个).
x
于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值是250.6g.
(1)
x甲
(2)s2甲＝× [(238-250.6)2×1＋ (241-250.6)2×5+
(244-250.6)2×9 +(247-250.6)2×19 +(250-250.6)2×24+
(253-250.6)2×22+(256-250.6)2×11+(259-250.6)2×6+
(262-250.6) 2×1+(265-250.6) 2×2]
＝26.82 .
于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值是26.82.
在上例中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取100个零件，测量它们的质量、整理后得到下表:
比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更稳定
质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268
零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1
把甲车间试生产的零件质量作为第一个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的100个零件的质量是这个总体的一个样本.
由上例可知，这个样本的平均数是250.6，方差为26.82.于是甲车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是250.6g，方差的一个估计值是26.82.
把乙车间试生产的零件质量作为第二个总体，用简单随机抽样方法从这个总体中抽取的100个零件的质量是这个总体的一个样本.
于是这个样本的平均数为
乙＝×(236×2+ 240×7+ 242×8+ 245×16+250 ×23+ 252×21+254×12+256×7+260×3+268×1)
＝249.38(个).
x
s2乙＝× [(236 - 249.38)2×2 +(240 - 249.38)2×7 +(242 -249.38)2×8+(245-249.38)2×16 +(250- 249.38)2 ×23+(252- 249.38)2×21+(254- 249.38)2×12 +(256 - 249.38)2×7 +(260- 249.38)2×3+(268- 249.38)2×1]
≈31.18 .
方差为
于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是249.38g，方差的一个估计值是31.18.
由于26.82≤31.18，因此甲车间试生产的零件质量更稳定.
当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体的平均数的一个估计值、用简单随机样本的方差作为总体的方差的一个估计值．
总结归纳
合
探
作
究
1．为了解某种新品种水稻的长势，估计水稻的产量，随机抽取部分水稻，统计每株水稻的稻穗数量如下表(通过统计得知每株水稻稻穗最少有8个，最多有12个)：
稻穗数量/个 8 9 10 11 12
株数 6 8 14 8 4
若这块试验田共种植1 000株水稻，请你估计这1 000株水稻一共有多少个稻穗？
解：所抽取水稻稻穗数量的平均数为：
8×6＋9×8＋10×14＋11×8＋12×4
6＋8＋14＋8＋4
＝9.9(个)
1 000×9.9＝9 900(个).
答：估计这1 000株水稻一共有9 900个稻穗．
2．甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽10个，他们的尺寸(mm)分别如下：
甲：10.2　10.1　10.9　8.9　9.9　10.3　9.7　10　9.9　10.1
乙：10.3　10.4　9.6　9.9　10.1　10　9.8　9.7　10.2　10
(1)求甲机床生产的零件的尺寸的平均数和方差的估计值；
(2)求乙机床生产的零件的尺寸的平均数和方差的估计值；
(3)比较甲、乙机床生产的零件的尺寸，哪个机床生产的零件的尺寸更稳定？
于是甲机床生产的这批零件的尺寸的平均数的一个估计值是10 mm.
解： (1)用简单随机抽样方法从总体中抽取的10个零件的质量是一个样本，将这个样本的平均数记作 甲，方差记作s2甲.
x
甲＝×(10.2＋10.1＋10.9＋8.9＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10(mm).
x
s2甲＝×[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10.9－10)2＋
(8.9－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋
(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]
＝0.228.
于是甲机床生产的这批零件的尺寸的方差的估计值是0.228.
于是乙机床生产的这批零件的尺寸的平均数的一个估计值是10 mm.
(2)用简单随机抽样方法从总体中抽取的10个零件的质量是一个样本，将这个样本的平均数记作 乙，方差记作s2乙.
x
乙＝×(10.3＋10.4＋9.6＋9.9＋10.1＋10＋9.8＋9.7＋10.2＋10)＝10(mm).
x
s2乙＝×[(10.3－10)2＋(10.4－10)2＋(9.6－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.7－10)2＋(10.2－10)2＋(10－10)2]
＝0.06.
于是乙机床生产的这批零件的尺寸的方差的一个估计值是0.06.
(3)由于0.06＜0.228，所以乙机床生产的零件的尺寸更稳定．
课堂小结
总体的平均数与方差的估计
用样本平均数估计总体平均数
利用样本方差估计总体方差
方差的作用：比较数据的稳定性
根据方差做决策方差
理解样本平均数估计总体平均数意义
运用样本平均数估计总体平均数解决问题
随堂练习
某工厂准备购买一批某种型号的钉子，从甲公司生产的钉子中用简单随机抽样方法抽取50枚钉子，测量仓们的长魔，整理后得到下表:
长度/cm 2.10 2.12 2.14 2.15 2.16 2.18 2.20 2.28
钉子个数 2 5 7 10 12 8 4 2
从乙公司生产的钉子中用简单随机抽样方法抽取50枚钉子，测量它们的长度，整理后得到下表:
长度/cm 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.19 2.21
钉子个数 2 4 6 12 13 7 4 2
(1)求甲公司生产的钉子长度的平均数和方差的估计值;
(2)求乙公司生产的钉子长度的平均数和方差的估计值;
(3)比较甲、乙公司生产的钉子长度，哪家公司生产的钉子长度更稳定
解： (1)用简单随机抽样方法从总体中抽取的50个钉子的长度是一个样本，将这个样本的平均数记作 甲，方差记作s2甲.
x
甲＝×(2.10×2+2.12×5+2.14×7+2.15 ×10+2.16 ×12+2.18×8+2.20×4+2.28×2)
＝2.16(cm).
x
s2甲＝×[(2.10-2.16)2×2+(2.12-2.16)2×5+
(2.14-2.16) 2×7+(2.15-2.16)2×10 +(2.16-2.16)2×12
+(2.18-2.16) 2×8+(2.20-2.16)2×4+(2.28-2.16)2×2]
＝0.001148 .
(2)用简单随机抽样方法从总体中抽取的50个钉子的长度是一个样本，将这个样本的平均数记作 乙，方差记作s2乙.
x
乙＝×(2.12×2+2.13×4+2.14×6+2.15×12+2.16 ×13 +2.17×7+2.19×4+2.21×2)
＝2.157(cm).
x
s2乙＝×[(2.12-2.157) 2×2+(2.13-2.157) 2×4+
(2.14-2.157) 2×6 + (2.15 -2.157) 2×12 +
(2.16-2.157) 2×13+ (2.17-2.157) 2×7+
(2.19-2.157) 2×4+(2.21-2.157) 2×2]
＝0.000385 .
(3) 比较甲、乙公司钉子长度的方差:
0.001148 > 0.000385
方差越小，数据越稳定，
因此乙公司生产的钉子长度更稳定。
湘教版 八年级 数学（下）
第4章 数据分布
4.5 数据的频数分布
习题4.5
1.某养殖户为了解某种鱼的生长情况，从池塘中捕捞了20条这种鱼，称得它们的质量(单位:kg)如下:
1.15 1.04 1.11 1.07 1.10 1.32 1.25 1.19 1.15 1.21
1.18 1.14 1.09 1.25 1.21 1.29 1.16 1.24 1.12 1.16
估计该池塘中这种鱼的平均质量 .
解：样本的平均数为
×(1.15+1.04+1.11+1.07+1.10+1.32+1.25+1.19+ 1.15+1.21+1.18+1.14+1.09+1.25+1.21+1.29+1.16+1.24+1.12+1.16)
＝1.1715
≈1.17 (kg)，
据此可估计水库中这种鱼的平均质量为1.17kg.
2. A，B两天然养殖场都产鸡蛋，现从A，B两养殖场所产鸡蛋中采用简单随机抽样方法各抽取了50 个，测量它们的最大直径，并进行整理，分别得到下表。
直径/cm 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
个数 2 7 15 16 8 2
A养殖场所产50个鸡蛋的最大直径表
直径/cm 2.9 3.1 3.2 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
个数 1 3 6 13 15 8 3 1
B养殖场所产50个鸡蛋的最大直径表
(1)分别求A，B两养殖场所产鸡蛋最大直径的一个估计值;
(2)分别求A，B两养殖场所产鸡蛋最大直径的方差的一个估计值;
(3)比较A，B两养殖场所产鸡蛋最大直径，哪个养殖场所产鸡蛋大小趋于接近，并说明理由.
解:(1)
xA＝×(2.9×2+3.0×7+3.1×15 +3.2×16+
3.3×8+3.4×2)
＝3.154(cm).
xB＝×(2.9×1+3.1×3+3.2×6+3.4×13+3.5×15
+3.6×8+3.7×3+3.8×1)
＝3.436(cm).
答:A养殖场所产鸡蛋最大直径的估计值为3.154cm，B养殖场所产鸡蛋最大直径的估计值为3.436 cm。
(2)
s2A＝×[(2.9－3.154)2×2＋(3.0－3.154)2 ×7+
(3.1－3.154)2 ×15 + (3.2－3.154)2 ×16+
(3.3－3.154)2 ×8+ (3.4－3.154)2 ×2]
＝0.013284(cm2).
s2B＝×[(2.9－3.436)2×1+(3.1－3.436)2×3+
(3.2－3.436)2×6+ (3.4－3.436)2×13+
(3.5－3.436)2×15+ (3.6－3.436)2×8+
(3.7－3.436)2×3+ (3.8－3.436)2×1]
＝0.031904(cm2).
(3)比较A、B两养殖场的方差估计值:
0.013284 < 0.031904
方差越小，数据的波动越小，鸡蛋大小越趋于稳定。
答:A养殖场所产鸡蛋大小趋于稳定。

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