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湘教版 八年级 数学（下）
第3章　一次函数
第3章章末复习
情景导入
数与代数
方程与不等式
数与式
函数
函数的概念
常量、变量
函数的表示法
自变量、函数值
一次函数
一次函数与二元一次方程的关系
图象法
列表法
公式法
一次函数的图象与性质
用待定系数法确定一次函数的表达式
一次函数的应用
正比例函数的图象与性质
反比例函数
二次函数
思考回顾
1.函数的定义是什么函数有哪些表示法 它们各有什么优点
一般地，如果变量 y 随变量 x 而变化，并且对于 x 的每一个取值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作y = f (x).
函数的表示方法及特点
(1)函数的三种表示方法：______、_______、______；
(2)用_______表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随自变量的变化而变化；
(3)用_______表示函数关系，可以清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值.
(4)用________表示函数关系，可以方便地计算函数值.
图象法
列表法
公式法
图象法
列表法
公式法
2.函数y=f(x)的图象上任一点的坐标是什么 坐标为(a，f(a))的点是否在函数y=f(x)的图象上
(1)以自变量与函数的一对对应值分别作为横坐标与纵坐标的点，均在函数图象上;
(2)函数图象上任一点的横坐标与纵坐标均是自变量与函数的一对对应值.
3.什么是正比例函数 正比例函数的图象是什么 它具有哪些性质
形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数称为一次函数.
特别地，当b=0，一次函数y=kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数.
一般地，：正比例函数y=kx的图象是一条经过原点O的直线.
根据“两点确定一条直线”，要画正比例函数的图象，只需描出图象上的两个点即可.又由于正比例函数的图象经过原点O，因此，只要再描出图象上的一个点，然后过这点和原点就可作出这条直线.通常把这条直线叫作“直线y=kx”.
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限
k＞0 第一、三象限
k＜0 第二、四象限
4.什么是一次函数 如何画一次函数y=kx+b的图象 它与正比例函数y=kx的图象有什么关系 一次函数具有哪些性质
形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数称为一次函数.
正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是一条经过点 (0，____)，(1，____)的直线．
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交于点 (－，____)；与y轴交于点(____，____).
0
k
0
0
b
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它与正比例函数y=kx的图象平行(当b ≠0时)或重合 (当b =0时).
由于“两点确定一条直线”，因此，画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点，然后过这两点作一条直线即可.我们常常把这条直线叫作“直线y=kx＋b”.
一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象可以看作由正比例函数y＝kx的图象沿y轴平移|b|个单位长度(当b>0时，向____平 移；当b<0时，向____平移)得到的．
上
下
5.举例说明如何用待定系数法求一次函数的表达式.
如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1）， Q（1，1）两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？
因为一次函数的一般形式是y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，要求出一次函数的表达式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）.
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两点
(x1, y1)，(x2, y2)
一次函数的图象
直线l
选取
画出
选取
解出
因为P（0，-1）和Q（1，1）都在该函数图象上， 因此它们的坐标应满足y=kx+b.
将这两点坐标代入该式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组：
k·0 + b =-1，
k + b = 1.
解这个方程组，得
k = 2，
b =-1.
所以，这个一次函数的表达式为y=2x-1.
像这样，通过先设定函数表达式（确定函数模型），再根据条件确定表达式中的未知系数，从而求出函数的表达式的方法称为待定系数法.
你能归纳出待定系数法求函数表达式的基本步骤吗？
待定系数法：
①设这个函数表达式为y=kx+b；
②把已知点的坐标x，y的对应值代入解析式列出方程组；
③解这个二元一次方程组，求出k、b的值；
④把所求出k、b的值代入y=kx+b中，可具体写出一次函数的表达式.
即：一设二列三解四还原.
从上述过程可以看到，给出一条与坐标轴不平行且不重合的直线，找出它经过的两个点的坐标，就可以用待定系数法求出经过这两个点的一次函数的表达式，这个一次函数的图象就是这条直线.
6.举例说明一次函数与二元一次方程的关系.
(1)一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标都是二元一次方程2x+y-9=0的解吗？
(2)以二元一次方程2x+y-9=0的解为坐标的点组成的图形是一次函数y=-2x+9的图象吗
(1)如图，一次函数y=-2x+9的图象上任一点的坐标可以表示为 (c，-2c+9)，其中c为任意实 数，由于其都能使方程左右两边相等，因而都是二元一次方程2x+y-9=0的解.
y
x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
O
(2)又二元一次方程2x+y-9=0的所有解都可以表示为(c，-2c+9)，其中c为任意实数.而所有点 (c，-2c+9)都在一次函数y=-2x+9的图象(一条直线)上，如图所示.于是以二元一次方程2x+y-9=0的解为坐标的点组成的图形是一条直线，它是一次函数y=-2x+9的图象.
y
x
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
O
一般地，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，且这条直线上所有点的坐标满足二元一次方程 kx-y+b=0；反过来，以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点，都在一次函数y=kx+b的图象上，所有点构成一条直线 .
由此可知:
在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程ax+by+c=0(a≠0，b≠0)表示一条直线，这条直线是一次函数y= －x －的图象.
知识模块一　确定函数关系式中自变量的取值范围
自学互研
自
探
主
究
1．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ( )
A．x≠－2　　　　　B．x>2　　　　　
C．x<2　　　　 　D．x≠2
D
2．函数y＝＋中自变量x的取值范围是 ( )
A．x≤2 B．x≤2且x≠1
C．x<2且x≠1 D．x≠1
B
合
探
作
究
某人在银行的储蓄卡中存入2万元，每次取出50元，若卡内余钱为y(元)，取钱的次数为x.(利息忽略不计)
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)写出自变量x的取值范围；
(3)取多少次钱以后，余额为原存款额的四分之一？
解：(1)y＝20 000－50x.
(2)0≤x≤400，且x为整数．
(3)由题意，得×20 000＝20 000－50x，
解得x＝300，
即取300次后，余额为原存款的四分之一．
知识模块二　函数图象与性质
自学互研
甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是
( )
A．甲、乙两人进行1 000 m赛跑
B．甲先慢后快，乙先快后慢
C．比赛到2 min时，甲、乙两人跑
过的路程相等
D．甲先到达终点
C
合
探
作
究
已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上的两点，则a与b的大小关系是 ( )
A．a>b　　　B．a＝b　　　
C．aA
知识模块三　一次函数的应用
自学互研
如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系，图②是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，
下列结论错误的是 ( )
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D．第30天的日销售利润是750元
C
合
探
作
究
某校运动会需购买A，B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．
(1)求A，B两种奖品单价各是多少元？　
解：(1)设A，B两种奖品的单价分别为x元、y元．
由题意，得
3x＋2y＝60，
5x＋3y＝95，
解得
x＝10，
y＝15.
答：A，B两种奖品的单价分别为10元、15元．
(2)学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用 不超过1 150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W(元)与m(件)之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．
(2)由题意，得W＝10m＋15(100－m)＝10m＋1 500－15m＝1 500－5m.
由 解得70≤m≤75.
1 500－5m≤1 150，m≤3(100－m)，
由一次函数W＝1 500－5m可知，W随m增大而减小，
∴当m＝75时，W最小，
∴W(元)与m(件)之间的函数关系式为W＝1 500－5m，自变量m的取值范围为70≤m≤75，最少费用W的值为1 125.
最小为1 500－5×75＝1 125(元).
【选自教材P122 复习题3 第1题】
1.下列各小题中的说法对不对 为什么
(1)圆的周长C是其半径r的函数;
(2)周长为10的矩形的面积S是它的一条边长x的函数;
(3)菱形的面积S是它的一条对角线长x的函数;
解：(1)对.因为C=2πr，C随r的变化而变化，C由r唯一确定.
(2)对.因为矩形的面积S由x唯一确定.
(3)不对.菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，菱形面积由两条对角线的长决定，所以此说法不对.
(4)沙漏是一种计量时间的仪器(如图)，
它根据一个容器里的细沙匀速漏到另一个
容器中的数量来计量时间，沙漏下半部分
容器内的细沙体积V是漏沙的时间t的函数.
(4)对.细沙是匀速漏下的，所以在任意一个时间t，下半部分容器内的细沙体积 V 都是唯一确定的。
2.指出第1题中函数例子的自变量和因变量.
解：(1)自变量是半径 rr，因变量是周长C；
(2)自变量是一条边长x，因变量是面积S；
(4)自变量是漏沙的时间t ，因变量是细沙体积 V.
3 .某复印店用A4纸复印一张收费0.1元，用公式法表示收费y(元)与复印数量x(张)之间的函数关系，这是不是正比例函数 画出它的图象，
解：y=0.1x(x≥0，x是整数)，是正比例函数.
y=0.1x
4.某型号体温计中，刻度35°C处，水银柱长2.5cm.所测体温每升高1°C，水银柱就伸长0.7cm.
(1)求水银柱长度y(cm)随所测体温x(°C)而变化的函数表达式，其中35≤x≤42.它是不是一次函数 画出它的图象.
解：(1)y=2.5+0.7(x-35)，
即y=0.7x-22(35≤x≤42)，
是一次函数，图像如右图所示.
4.某型号体温计中，刻度35°C处，水银柱长2.5cm.所测体温每升高1°C，水银柱就伸长0.7cm.
(2)分别求所测体温为37°C，38.6°C时，水银柱长度是多少.
(2)当x=37时，
y=0.7×37-22=3.9(cm).
当x=38.6时，
y=0.7×38.6-22=5.02(cm).
5 在同一平面直角坐标系中，画出下列一次函数的图象，并求出函数图象与x轴的交点坐标。
(1)y= x+3: (2)y=2x-1;
(3)y=－3x+5; (4)y=－x+2.
解：图像法：图像如右图所示，它们与x轴的交点坐标分别是(-6，0)，( ，0)，
( ，0) ，(8，0).
y
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
O
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
y= x+3
y=2x-1
y=－3x+5
y=－x+2
公式法：令 x+3=0，解得x=-6.
令2x-1=0，解得x= .
令-3x+5=0，解得x= .
令－x+2 =0，解得x= 8 .
所以它们与x轴的交点坐标分别是(-6，0)，( ，0)，(，0) ,(8，0).
y
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
O
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
y= x+3
y=2x-1
y=－3x+5
y=－x+2
6.已知二元一次方程3x－y=1的一个解是(a，b)，那么点(a，b)一定不在（ ）
(A)第一、三象限
(B)第二、四象限
(C)第二象限
(D)坐标轴上
C
7.某医药生产厂家研制了一种新药，经临床试验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中的含药量y(μg)随服药后的时间x(h)而变化的情况如图所示.(注:1μg(微克)=10-6g )
(1)写出x≤2与x>2时，y与x之间的函数表达式.
当x≤2时，y=3x；当x>2时，y=-x+8.
(2)成人每毫升血液中的含药量上升到3μg以上时，他服药多长时间了
(3)服药4h后，每毫升血液中的含药量为多少微克
(4)研究表明，当每毫升血 液中的含药量≥3μg时，对治疗疾病有效，则有效时间有多长
(5)服药后经过多长时间，
人体内无药物残留
(2)服药时间在1h至5h之间.
(3) 4微克.
(4) 5-1=4(h).
(5) 8h.
8.某企业的一种产品，每件的出厂价为1万元，成本为0.55万元.每生产一件产品，会产生1t废渣，为达到环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理，现有两种方案可供选择:
方案一:由企业对废渣进行处理，每吨废渣的费用为0.05万元，并且每月的设备维护及损耗费为20万元.
方案二:将废渣送废渣处理厂，每吨废渣需付费0.1万元.
(1)设企业每月生产x件产品，月利润为y万元，分别求上述两种方案中y与x之间的函数表达式;
(2)怎样选择处理方案，在达到环保要求的前提下，能获得较大利润
(1)由题意可得，
方案一:y=(1-0.55-0.05)x-20=0.4x-20,
方案二:y= (1-0.55-0.1)x=0.35x,
即方案一中y与x的函数关系式为y=0.4x-20，
方案二中y与x的函数关系式为y=0.35x;
(2)当0.4x-20>0.35x时，得x>400，即当x>400时，方案一可以取得较大利润;
当0.4x-20=0.35x时，x=400，即当x=400时，方案一和方案二获得的利润一样;
当0.4x-20<0.35x时，x<400,即当x<400时，方案二可以取得较大利润;
由上可得，当x>400时，方案一可以取得较大利润，当x=400时，方案一和方案二获得的利润一样，当x<400时，方案二可以取得较大利润.
9.若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值，
解：如右图所示.
因为OA=6，
S△ABC = OA·OB = 24
解得k=－ .
所以OB=8，即B(8，0).
所以8k+6=0，
同理，当直线与x轴交于负半轴时，解得k＝ .
所以k= －或 .
当直线与x轴交于正半轴时，
10.如图为边长是2的正方形ABCD，点P在CD上，且从点C运动到点D.设CP=x，四边形ABPD的面 积为y.
(1)求y与x之间的函数表达式及x的取值范围;
(2)是否存在点P，使四边形ABPD的面积为1.5
解：(1)因为S四边形ABPD=S正方形ABCD－S△BPC
=22- ×2x=4-x，
所以y=4-x(0≤x＜2).
(2)不存在.因为当点P运动到与点D重合时，△ABP的面积是2，所以四边形ABPD的最小面积都大于2，故不存在点P，使四边形ABPD的面积为1.5.
10.如图为边长是2的正方形ABCD，点P在CD上，且从点C运动到点D.设CP=x，四边形ABPD的面 积为y.
(1)求y与x之间的函数表达式及x的取值范围;
(2)是否存在点P，使四边形ABPD的面积为1.5
11.声音在空气中传播的速度与气温之间具有函数关系.研究者通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值:
气温x/°C -10 -5 0 5 10 15 20
声速y/(m/s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36
(1)以横轴表示气温，每5°C为1个单位长度，纵轴表示声速，每100m/s为1个单位长度，建立平面直角坐标系，以表格中给出的气温和声速的数值为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描点、连线 (用平滑的线连接各点)，画出图形，
(2)求y与x之间的函数表达式.
气温x/°C -10 -5 0 5 10 15 20
声速y/(m/s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36
400
300
200
100
-10
-5
O
5
10
15
20
x/℃
y/(m/s)
-100
解：(1)如图所示.
(2)设y关于x的函数关系式为y=kx+b，由点(-10,325.36)和点(0,331.36)可得:
解得
-10x+b= 325.36
b= 331.36,
k=,
y=331.36
所以声速y和气温x之间的函数关系式为y=x+331.36.
12.在平面直角坐标系中，点Q的坐标为(4，0)，点P在直线y=－x+3上,且在第一象限，设点P的坐标为(x，y)，△OPQ的面积为S.
(1)用含y的代数式表示S，并写出y的取值范围;
(2)用含x的代数式表示S，并写出x的取值范围;
(3)当点P的坐标为何值时，△OPQ的面积等于直线y=－x+3与坐标轴围成的三角形面积的一半
y
x
O
3
2
4
6
P
H
Q
y=－x+3
解:(1)如图所示,过点P作PH⊥x轴于点H,则PH= ︱y︱.
S= OQ·PH=×4 × y=2y,
∵点P在第一象限，
∴PH=y.
又:OQ=4,
即S是y的正比例函数.
∵点P是直线y=－x+3上在第一象限内的一点，
∴0y
x
O
3
2
4
6
P
H
Q
y=－x+3
(2)∵ y=－x+3，
∴ S=2(－x+3)=-x+6,
∴S是x的一次函数.
∴0∴ S=-x+6(0∵
x>0,
-x+6>0,
(3)∵直线y=－x+3与坐标轴的交点坐标分别为(0,3),(6,0),
当S△OPQ=S1 =,即2y=时,y=.
∴该直线与坐标轴围成的三角形的面积S1=×3 ×6＝9.
y
x
O
3
2
4
6
P
H
Q
y=－x+3
∴= －x+3,解得x=.
∴点P的坐标为(, ).
故当点P的坐标为(，)时， △ OPQ的面积等于直线
y= －x+3与坐标轴围成的三角形面积的一半.
y
x
O
3
2
4
6
P
H
Q
y=－x+3
13.如图，已知正比例函数y=x与一次函数y=－x+7的图象交于点A.
(1)求点A的坐标;
y
x
P
C
B
A
O
y=－x+7
y=x
解：∵
y=x，
y=－x+7，
x=4，
y=3，
解得
∴ A(4,3).
(2)设轴上有一点P(a，0)，过点P作x轴的垂线(垂线位于点A的右侧），分别交函数y= x和y=－x+7 的图象于点B，C ，连接 OC，若BC= OA，求△OBC的面积.
y
x
P
C
B
A
O
y=－x+7
y=3/4x
(2)∵P(a，0)，
∴B(a, a),C(a,-a+7),
∴BC =a-(-a+7) =a-7.
∵A(4,3),
∴OA=5,
∴BC= OA=7,即 a-7=7,解得a=8,
∴S△OBC =OP·BC=×8×7=28.

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