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石家庄市第一中学 2026 届高考第二次模拟考试
数学答案
1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B
9. ACD 10. AC 11. AD
12.
13．
14．
15．（1） 中， ，
法（一）
由正弦定理有 ①，
因为 ，所以 ，
代入①式整理得 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 .
法（二）
由余弦定理 ，代入 ，
整理得 ，代入 ，
因为 ，所以 .
（2）（ⅰ）由已知 ， ，
代入 ，解得 ， .
（ⅱ）由正弦定理 ，有 ，
又因为 ，故 为锐角，故 ，
所以 ， ，
由 ， ，
故 .
16．（1）取 的中点 ， 的中点 ，连 ， ， ，
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在六面体 中，因为平面 平面 ，平面 平面
，平面 平面 ，所以 ，
同理可得 ，
因为 分别是 ， 的中点，且 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，
所以 ， ，又已知 ，所以 ，则 共面，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面
，所以 ，
又 分别是 ， 的中点， ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 AC，BC， 两两互相垂直，所以以 为原点， 所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系：
则 ， ，设 ，则 ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，则 ，取 ，则 ， ，
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所以点 A 到平面 的距离为 .
17．(1)记这天浪级是“微浪”为事件 ，浪级是“小浪”为事件 ，浪级是“中浪”为事件 ，
浪级是“大浪”为事件 ．该渔船当天出海作业为事件 ，则由题意可知：
，
，
，
.
(2)依题意可知， 的所有可能取值为 ，
，
，
，
则 的分布列为
0 1 2 3
数学期望 ．
18．（1）由题意可知， ，所以 ，
因为点 在 上，所以 ，
解得 ，故 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由已知得直线 的斜率必存在，可设直线 的方程为 ，
代入椭圆方程，整理得 ， ，
设 ，则 ，
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又 ，由 得 .
所以 ，
因为 ，
所以 为定值.
19．（1） ；
（2）因为 ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，即 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（3）对任意 ，令 ，
若 且 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
对 ，因为 ，
由（2）可知，令 ，则 .
若 ，因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
若 ，则 ，
所以 .
综上， 即 .
答案第 4 页，共 4 页石家庄市第一中学 2026 届高考第二次模拟考试
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1．已知复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C．3 D．
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．若抛物线 上一点 到其焦点的距离等于 4，则 （ ）
A．8 B．4 C．2 D．
4．设向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,若 t∈R,|a+tb|<|a+b|,则向量 a 与 b 的夹角不等于 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an+1=2Sn+1(n∈N*),则 a5= ( )
A．16 B．32
C．81 D．243
6．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若偶函数 满足 ，且当 时， ，则
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（ ）
A． B． C． D．
8．19 世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立
发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭
圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆 的蒙日圆方程为
.若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅
有一个公共点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．已知 ,则下列正确的是( )
A．直线 为 的切线
B．若 则
C．若 在 上单调递增，则
D． 设 为 曲 线 在 处 的 两 条 切 线 ， 若 ,则
10．已知甲组数据 的平均数为 8，方差为 2，由这组数据得到乙组数据
，其中 ，则（ ）
A．数据 的平均数为
B．乙组数据的方差为 11
C．数据 的方差小于 2
D．甲组数据的第 25 百分位数是乙组数据的第 25 百分位数的 2 倍
11．正四棱锥 中，底面边长为 2，侧面与底面所成二面角的大小为 60°，下列结
论正确的是（ ）
A．直线 与 、 与 所成的角相等
B．侧棱与底面所成角的正切值为
C．该四凌锥的体积为
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D．该四凌锥的外接球的表面为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．设 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则
．
13．已知双曲线 的左焦点为 ，右焦点为 .若双曲线的右支上存
在一点 ，使得直线 与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段 的中点，则该
双曲线的离心率为 .
14．已知数列 是有无穷项的等差数列， ，公差 ，若满足条件：① 是数列
的项；②对任意的正整数 ，都存在正整数 ，使得 .则满足这样的
数列的个数是 种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ， .
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求 的值.
16．在如图所示的六面体 中，平面 平面 ， ，
， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 AC，BC， 两两互相垂直， ， ，求点 A 到平面 的距离．
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17．渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪
最平静的月份，浪高一般不超过 ．某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，
随机抽取 50 天数据作为样本，制成频率分布直方图：（如图）
根据海浪高度将海浪划分为如下等级：
浪高
海浪等级 微浪 小浪 中浪 大浪
海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业．
(1)某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况
下出海作业的概率为 0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为 0.8，“中浪”情况下出海作业的
概率为 0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，
并求该渔船在这天出海作业的概率；
(2)气象预报预计未来三天内会持侇“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，
则第二天是“大浪”的概率为 ，“中浪”的概率为 ；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的
概率为 ，“中浪”的概率为 ．现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为
，求 的分布列和数学期望．
18．已知椭圆 的左焦点为 ，上 下顶点分别为 ，且
，点 在 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过左焦点 的直线交椭圆 于 两点，交直线 于点 ，设 ，
，证明： 为定值.
19．设 为正整数，集合 对于
，设集合 .
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(1)若 ，写出集合 ；
(2)若 ，且 满足 令 ，求证：
；
(3)若 ，且 ，求证：
.
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