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2026年四川省内江市第一中学九年级第一次模拟考试数学试卷
一、单选题
1．下列四个数中，比小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．《安徒生童话》一共有925000个字，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列整式与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．数据3，4，9，6，4，4，6的中位数、众数分别是（ ）
A．6，4 B．6，6 C．4，4 D．9，6
7．下列运算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“体”字对面的字是（ ）
A．无 B．南 C．不 D．开
9．若关于x的方程无实根，则k可取的最小整数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交、于、两点，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
11．2023 年多地爆发支原体肺炎和甲流，某口罩生产厂家为提高生产量，特增加了先进的生产设备．10月份该厂家生产口罩120万个，12月份生产口罩 270万个，设这一季度口罩产量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为…，这样依次得到点，，，……若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．分解因式_______．
14．随机抛掷一个正方体的骰子（每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），落地后朝上的数是3的倍数的概率是________．
15．如图，以正方形顶点为圆心，对角线为半径作弧交边延长线于点，若，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）．
16．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么________．

三、解答题
17．（1）计算：
（2）化简：
18．如图所示，，，，是上两点，且．
(1)试说明；
(2)请你判断与的位置关系，并说明理由．
19．数学实践活动小组去测量某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，）
20．为培养学生的AI素养，某校采用随机抽样调查，研究学生对人工智能知识的了解程度，并根据调查数据绘制成以下扇形统计图和有待完成的条形统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“不了解”部分所对应扇形的圆心角为______度；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该学校共有学生2000人，请根据上述调查结果，估计该学校学生中对人工智能知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；
(4)若从对人工智能知识达到“了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加市级人工智能知识竞赛，请用画树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出不等式的解集．
(3)若直线与轴交于点轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由．
四、填空题
22．当时，的值是；当时，的值_____．
23．点在二次函数的图象上，若，，则_____．(填“>”，“=”或“<”)．
24．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____．
25．如图，在矩形中，，．点E在上且．点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为______．
五、解答题
26．某百货计划在春节前夕购进A、B两种服装进行销售．已知购进1件A 服装和2件B 服装，需元；购进3件A 服装和4件B服装，需元．
(1)A、B 两种服装的进货单价分别是多少？
(2)设A服装的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A 服装的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如下表：
销售单价x（元/件）
日销售量y（件）
请写出当时，y与x之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，设A 服装的日销售利润为元，当A服装的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
27．如图，在中，，以为直径的分别与交于点D、E，过点D作，垂足为点F．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积．
28．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点，一次函数图象与轴相交于点．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)如果点在线段上（不与重合），与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标；
(3)当点在直线上的一个动点时，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，以点、为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由．
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．B
5．B
6．C
7．D
8．C
9．B
10．B
11．D
12．B
13．
14．
15．/
16．/
17．（1）
；
（2）
．
18．（1）证明：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）证明：，理由如下，
∵，
∴，
∴．
19．解：在中，，设为，
∴
在中，，，
∴，
∵，
∴，
解得．
答：此建筑物的高度约为．
20．（1）解：∵“了解”的有15人，占，
∴接受问卷调查的学生共有：（人），
∴扇形统计图中“不了解”部分所对应扇形的圆心角为：，
故答案为：60，；
（2）解：“不了解”的人数：（人）；
补全条形统计图得：
（3）解：（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1500人．
（4）解：画树状图得：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的结果有8种，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为．
21．（1）解：把点代入得，，
，
∴反比例函数的解析式为；
把代入得，，
，
把点代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由一次函数图象与反比例函数图象可知，不等式的解集，即的解集为：或
（3）解：轴上存在一点，使；
当时，，
解得：，
，
设，
或，
或．
22．解：根据题意，得时，，
所以 ；
当时，，
故答案为：2035．
23．解：二次函数化为，
对称轴为直线，
由，，知较离对称轴近，
且开口向下，只有最大值，即离对称轴越近，值越大，
所以．
本题的答案是：>
24．解：根据题意得，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中有3个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
25．解：连接，
∵，，，
∴，
∴点G为的中点，
∵F为的中点，
∴，，
∴，
作 A关于直线的对称点H，连接，交于点M，
∵，，
∴当P与M重合时，取得最小值，
∵矩形中，，，点E在上且．
∴，
∴，
∴的最小值为5．
故答案为：．
26．（1）解∶设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件
由题意得： ，
解得 ，
∴A、B两种服装的进货单价分别是元/件、元/件；
（2）解：设y与x之间的函数关系式为，将，代入得∶
，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为；
（3）解：由题意得∶
∴当时，取得最大值，
∴当A服装的销售单价定为元/件时，日销售利润最大，最大利润是元．
27．（1）解：连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线是的切线；
（2）连接，如图：
∵为直径，
，
，
，
而，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∴．
28．（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
二次函数的解析式为；
设一次函数的解析式为，
把分别代入得，，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：轴，
，
，
，
，即，
设点的坐标为，那么点的坐标为，
，，
又直线与轴交于点，
当时，
点的坐标为，，
，
解得（不合题意，舍去），，
点的坐标为；
（3）解：以点为顶点的四边形能成为平行四边形．
理由如下：
若，则以点为顶点的四边形为平行四边形，
①当点在点上方，，
得（舍去），，
（2）当点在下方，，得．
当，；
当，．
所以点的坐标为：或或．

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