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四川省绵阳南山中学2026届高三下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
3．为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ）
3 4 6 7
2 2.5 4.5
A．5 B．6 C．7 D．8
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，则（ ）
A．3 B． C． D．
6．已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，在圆上仅存在一点P，使，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．9
8．定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数的图象关于点中心对称．则（ ）
A．的最小正周期为
B．直线是曲线的对称轴
C．将的图象向右平移个单位可得到函数的图象
D．在区间上单调递增
10．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ）
A．直线MN与所成角的大小为
B．
C．若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为
D．点到平面距离的最大值为
三、填空题
12．在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答）
13．在中，边分别为角的对边，满足的面积为，则的周长为_____．
14．在平面直角坐标系中，椭圆，为上的动点，为两个定点，其中的坐标为.若的面积的最小值为1、最大值为5，则线段的长为_____.
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间．
16．已知数列满足
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和．
17．已知椭圆的方程为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为．
(1)求证：直线恒过定点；
(2)求面积的取值范围．
18．已知平面内有n个红点、n个蓝点、n个黄点（），这3n个点中任意两点都不重合.
(1)在颜色不同的任意两点之间连接一条线段，颜色相同的两点之间不连接线段，直接写出连接线段条数的最大值；
(2)若3n个点中任意三点都不共线，在所有互异的点之间连线，端点颜色相同的线段赋值1，端点颜色不同的线段赋值2.
（ⅰ）记每条线段的赋值为随机变量X，在所有线段中任取一条线段，按两个端点的颜色进行分类（端点无序），求X 的分布列及数学期望；
（ⅱ）从3n个点中任取三个点构成三角形，记构成的三角形三边的赋值之和的数学期望为，证明：.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，
(1)证明：；
(2)若点在底面内的正投影为的中点．
（i）当为何值时，平面与平面夹角的余弦值最大？
（ii）设平面与交于点；在平面内，过作的平行线交于点，设平面与交于点：在平面内，过作的平行线交于点，设平面与交于点；依次类推，…，设平面与交于点，求．
参考答案
1．C
2．A
3．C
4．C
5．A
6．C
7．C
8．D
9．AC
10．ACD
11．BCD
12．
13．
14．
【详解】显然直线与椭圆不能相交（否则的面积可能为0），
15．（1）由，知
，
所以当时，有，，
故曲线在处的切线经过，且斜率为，
所以其方程为，即．
（2）当时，对有，
对，有，故在和上递增，在（）上递减；
当时，对，有，故在上递增；
当时，对，有，
对，有，故在和上递增，在上递减．
综上，当时，在和上递增，在上递减；
当时，在上递增；
当时，在和上递增，在上递减．
16（1）解：因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
当时，，满足，
故的通项公式为．
（2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为，
所以，即，，
所以①
②
①－②得：，
所以．
17．（1）设，依题意，得，
，，，
所以，即得直线的方程为：①
由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上，所以令代入①，
可得，由（*）得，
所以，得，
所以直线恒过定点．
（2）由（1）可知直线恒过定点，
所以，
将代入得，
设，则．
因为，所以，所以．
18．（1）红蓝、蓝黄、黄红三对里，每对中两种颜色均有个点，则当个点中任意三点都不共线时，连接线段条数取最大值.
（2）（ⅰ）端点颜色的所有可能情况为红蓝、蓝黄、黄红、红红、蓝蓝、黄黄，
端点颜色相同的线段有条，端点颜色不同的线段有条，线段总条数为，
则，，
的分布列为：
1 2
所以数学期望.
（ⅱ）共有三种可能，当三个同色点构成三角形时，赋值和为3，有种可能，
当两个同色点和一个异色点构成三角形时，赋值和为5，有种可能，
当三个异色点构成三角形时，赋值和为6，有种可能，
从个点中任取三个点，共有种可能，
则，
所以，
因为，所以，，即.
19．（1）连接与交于点，连接．
因为四边形为菱形，所以，
在中，，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，又平面，所以.
（2）（i）因为点在底面投影为，由题意两两垂直．
因为，所以，
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，因为，所以．
因为，即，所以.
因为，
设平面的法向量为，所以，
令，所以，
而平面的法向量为．
设平面与平面夹角的大小为，
则.
令，则，
当时，在单调递增；
当时，在单调递减；
所以，当时，取最大值.
（ii）因为共面，故存在实数使得，
因此，
设，则，则，
由坐标分量对应相等，化简整理得.
在平面内，因为，设，则．
类比前面推导过程，可得，将上式取倒数可得，
所以为以为首项、1为公差的等差数列．
所以，所以.

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