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广东鹤山市昆仑学校2025-2026学年度第二学期综合训练一
九年级数学
2026.4
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列各数中为负数的是（ ）
A. B. C. D.
2. （深度求索）是由中国某公司开发的通用人工智能系统，以搜索增强架构和混合专家模型为核心技术，具备跨领域推理、实时信息处理与创造性输出能力．截至2025年3月，的全球日活跃用户总量达到亿，将数据亿用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数中自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，的平分线交直线a于点P，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　）
A. B.
C. D.
8. 我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
9. 规定：对于任意实数、、，有，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
10. 抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：_____．
12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为______．
13. 若代数式的值为2，则代数式的值为__．
14. 根据如图所示的程序计算函数的值．若输入的值为4，则输出的值为7．若输出的值为13，则输入的值为________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____．
三、解答题（一）（每小题7分，共3小题，共21分）
16. 计算：
17. 解分式方程：．
解：方程两边同乘以，得，……第一步
去括号，得，……第二步
移项 合并同类项，得，……第三步
方程两边同除以2，得，……第四步
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________；
②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________；
任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程．
18. 先化简，再求值：，其中．
四、解答题（二）（每小题9分，共3小题，共27分）
19. 如图，点在直线上（点之间的线段被一块污渍遮住），点在直线的异侧，连接，且，，测得．
（1）求证：
（2）若，求的长度．
20. 2025年春晚名为《秧》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； 型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买A、两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
21. 某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
（1）求所在抛物线的函数表达式；
（2）现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
五、解答题（二）（22题13分，23题14分，共2小题，共27分)
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上．
（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长；
（3）是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“平衡”点．例如：点，，，…都是“平衡”点．
（1）判断函数的图象上是否存在“平衡”点，若存在，求出其“平衡”点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个“平衡”点．
①求a，c的值；
②若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】C
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】11
【14题答案】
【答案】或7##或
【15题答案】
【答案】
三、解答题（一）（每小题7分，共3小题，共21分）
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析
【18题答案】
【答案】，
四、解答题（二）（每小题9分，共3小题，共27分）
【19题答案】
【答案】（1）见解析 （2）的长度为80
【20题答案】
【答案】（1）型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元
（2）购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
五、解答题（二）（22题13分，23题14分，共2小题，共27分)
【22题答案】
【答案】（1），
（2）
（3）存在满足条件的点，其坐标为或
【23题答案】
【答案】（1）存在，
（2）①；②

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