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侨中25-26学年九年级下第一次学业素质展示数学试题
一、选择题：（以下每小题均为A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请把正确选项的字母选入该题的括号内，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中：5，，0，，，，负数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的周长是（ ）．
A. B. C. D.
5. 同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能发生的事件是( )
A. 点数之和为12 B. 点数之和小于3 C. 点数之和大于4且小于8 D. 点数之和为13
6. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，已知，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
8. 二次函数（，为常数）的图象如图，有实数根的条件是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图直线ab，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，则∠2的度数为( )
A. 115° B. 125° C. 155° D. 165°
10. 如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题．请把下列各题的正确答案填写在横线上．（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：____________．
12. 若，，则的值为_________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，正方形的顶点B在y轴正半轴上，且顶点A的坐标为，，则的值为______．
14. 如图，与位似，点为位似中心，若与的面积比为，则为__________．
15. 如图，点在以为直径的半圆上，，若，则的弧长是_____．
三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16. 计算与证明：
（1）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上．
（2）如图，为中点，，，．求证：．
17. 安全教育是学校教育的重要环节，提高学生的安全意识，使其具备安全知识和自救能力，养成良好的安全行为习惯，对于保障学生的人身安全和营造平安和谐的校园环境有重要意义．某校为加强安全教育，开展了“防溺水”安全知识测试，现从中随机抽取50份测试卷，将测试成绩分成6组（得分用表示），如下表所示：
组别
分组
人数 5 7 10 a 10 6
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）_____；
（2）这50份测试成绩的中位数在_____组
（3）若测试的平均分不低于70分，则认为该校的安全教育比较成功，否则需要每周加一节安全教育课，将40，50，60，70，80，90分别作为这六组成绩的平均分，估计该校是否需要给全校学生每周加一节安全教育课．
18. 如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19. 如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点．
（1）求经过点A的反比例函数的表达式；
（2）若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形．
20. 随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．
（参考数据：）
（1）如图2，当三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度；
（2）调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到）
21. 综合与实践
【项目主题】配方法的应用．
【项目准备】
（1）利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____
【项目解决】
（2）当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____；
（3）如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____．
五、解答题（每小题12分，共24分）
22. 某校数学兴趣小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）．
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
竖直高度y/m 1.1 1.8 2.3 2.6 2.7 2.6 2.3 m 1.1 …
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分．
【建立模型】
（1）根据表格直接写出顶点坐标与m的值．
【应用模型】
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，发球点高度不变，改变发球位置，设解析式为发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求b的取值范围．
23. 在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第 1 步：如图 1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点 B 重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将边沿翻折得到；
第 3 步：延长交于点H，则点H为边的三等分点．
证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， ∵E是的中点，则， 在中，可列方程： ② ， 解得： ，即H是边的三等分点．
“破浪”小组进行如下操作：
第 1 步：如图 2 所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为；
第 2 步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，展开铺平，折痕与折痕交于点G； 第 3 步：过点G 折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ；
②处所列方程是 ；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）①如图 3，将矩形纸片对折，使点A和点D重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点G折叠矩形纸片，使折痕 ，若，求的值．
②在边长为6的正方形中，点E是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长．
参考答案
一、选择题：（以下每小题均为A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请把正确选项的字母选入该题的括号内，每小题3分，共30分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】B
二、填空题．请把下列各题的正确答案填写在横线上．（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
【11题答案】
【答案】##0.5
【12题答案】
【答案】9
【13题答案】
【答案】3
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
【16题答案】
【答案】（1）；解集表示在数轴上见解析 （2）见解析
【17题答案】
【答案】（1）12 （2）D
（3）该校需要给全校学生每周加一节安全教育课
【18题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
四、解答题（每小题9分，共27分）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）见解析
【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【21题答案】
【答案】（1）；；；
（2）
（3）
五、解答题（每小题12分，共24分）
【22题答案】
【答案】（1）顶点坐标为，
（2）b的取值范围为
【23题答案】
【答案】（1）①HL②（2）点M是边的三等分点，证明见解析
（3） ①3；②3或12

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