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广东省汕头市潮阳区潮实九年级数学2025—2026学年度第二学期第一次考试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，（ ）是负数
A． B． C． D．
2．2025年九三阅兵上大批无人与反无人装备首次集中亮相，彰显了我国建设世界一流强军的能力与信心．下列无人装备缩影图示中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．2025年是乙巳年，以“巳巳如意，生生不息”为主题的春节联欢晚会在除夕夜如约而至，春晚机器人、Deepseek、大量无人机等AI技术，向全球观众展现了中国人工智能与机器人技术的前沿突破，打造了一场科技与艺术的视觉盛宴．其中，春晚机器人使用的谐波减速器，采用了局部共轭啮合齿形设计，精度达到30弧秒，相当于0.0083度，将数据0.0083用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（ ）
A． B． C． D．
5．把多项式x2﹣5x﹣6分解因式，下列结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）（x+2）B．（x﹣2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x+3）D．（x﹣6）（x+1）
6．为了让学生深入了解福建的特色文化，学校组织研学活动，提供三个福建文化景点（福州三坊七巷、泉州开元寺、厦门鼓浪屿）供学生小明和小华各自随机选择一个景点参加研学，则两人恰好选择同一景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，下列结论中，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6
9．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．单项式的系数是a，次数是b，则_____________________．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
13．如图，元旦晚会上，小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角应为___________度
14．如图，，，是的中线，，则的面积=______．
15．如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为______．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．先化简，再求值：，其中．
17．2025年12月18日，海南全岛封关运作后，某免税店计划用7000元采购一批进口化妆品和进口食品，用于元旦促销．已知采购的化妆品件数比食品件数的2倍少10件．每件化妆品的进价与售价分别为80元、110元，每件食品的进价与售价分别为100元、120元．若这批商品全部售完，则利润率是否达到了封关后预期的？请说明理由．
18．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余实践进行测量活动．
问题解决：请你根据测量数据计算钢缆和的总长度（结果精确到）．
活动主题 测算观光缆车的钢缆长度
测量工具 无人机、测角仪、皮尺、计算器等
活动过程 模型抽象 如图，表示某景区一座比较险峻的山上的三个缆车站的位置，表示连接缆车站的钢缆．
测绘过程与数据信息 ①用无人机在三处测得海拔，； ②在处使用测角仪测得缆车站点的仰角； ③在处使用测角仪测得缆车站点的仰角； （参考数据：，）
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．某中学对名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
类别 频数 频率
不了解
了解很少
基本了解
很了解 4
合计 1
(1)根据以上信息可知：______，______，______，______；
(2)请补全条形统计图；
(3)请估计该校名学生中“基本了解”的人数；
(4)寒假文文和爸爸打算去北京看冰壶赛，要购买从福山到北京的高铁车票（如图所示，每排座位编号为，，，，）．旅客在网购火车票时，系统是随机分配座位的，假设系统已将两人的位置分配到同一排，在同一排分配各座位的机会均等．“系统分给文文和爸爸，座位”是______（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件；
(5)利用画树状图或列表格，求系统分配给文文和爸爸相邻座位（过道两侧座位，不算相邻）的概率．
20．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接，过点B作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
21．【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，以为直径作．若交x轴于点，则m，n为方程的两个实数根．
(1)由勾股定理得，，在中，，所以．化简得，同理可得： ，所以m，n为方程的两个实数根；
(2)已知一元二次方程，请在图2中画出，使得与x轴的交点横坐标刚好是方程的两个实数根（要求尺规作图，保留作图痕迹）；
(3)已知点，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由．
五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分）
22．综合实践
纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准某数学兴趣小组通过折叠纸来探究其中的数学奥秘．
【操作与发现】
如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到：
又因为，所以
于是我们得出如下结论：（1）纸的长与宽之比为_______．
【探究与计算】
矩形是一张标准的纸，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，B点的对应点为．
（2）如图2，若点在边上时，则的值为_______；
（3）如图3，若E为边的中点，连接，求的值．
【拓展与证明】
（4）如图4，矩形纸片中，，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，C点的对应点落在边上的点，然后把纸片展平，再以为轴，将进行翻折，点D的对应点落在直线上的处，折痕与相交于点O，与相交于点F，若．求的面积．
23．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴，顶点在轴正半轴，，点分别在上，且，反比例函数的图象经过两点，连接，四边形的面积为24．
(1)求反比例函数解析式；
(2)如图2，点、分别为、的中点，点在该反比例函数的图象上，且点的横坐标大于点的横坐标，连接并延长交反比例函数图象于点，过点作直线于点，过点作直线于点．
①请探究与的数量关系，并说明理由；
②若，试判断的值是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．
广东省汕头市潮阳区潮实九年级数学2025—2026学年度第二学期第一次考试参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B D D A B C A D
二、填空题（每小题3分，共15分）
11． 12． 13．144 14． 15．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．解：原式，
当时，
原式．
17．解：这批商品全部售完，利润率没有达到封关后预期的．理由如下：
(元)，
，
所以未达到封关后预期的的利润率．
18．解：由图知，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
答：钢缆和的总长度大约是米．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（1）解：，
，
，
；
故答案为：，，，；
（2）解：补全条形图如图：
（3）解：估计该校名初中学生中“基本了解”的人数约有（人），
答：该校名学生中“基本了解”的人数为人；
（4）解：一排中的座位编号为，，，，，不存在编号为的座位，
“系统分给这两个人，座位”是不可能事件；
（5）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种，则系统分配给文文和爸爸相邻座位（过道两侧座位，不算相邻）的概率是．
20．（1）∵，
∴．
∵E是的中点，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设，则，
∵四边形是菱形，
∴．，，
在中，，
则，
解得，
∴，，
∴菱形的面积为．
21．（1）解：如图，连接，根据勾股定理，得
，
在中，，所以，
化简得，
所以n为方程的一个实数根；
故答案为：；
（2）解：在平面直角坐标系中面积点，连接，以的中点为圆心画圆，交x轴于点M，N，则点M，N即为所求作；
（3）解：与x轴相切，理由如下：
由题意可知与x轴的两个交点的横坐标是方程的两个根，
可知，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
所以与x轴只有一个交点，
即与x轴相切．
五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分）
22．解：（1）依题意，
∴或（舍去），
即，
即纸的长与宽之比为；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵矩形是一张标准的纸，且由（1）得纸的长与宽之比为，
∴；
（3）过点作，交于点，垂足为点，
∵矩形是一张标准的纸，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∵点E为的中点，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
设，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴；
（4）∵四边形是矩形，
∴；
∵与关于直线对称，
∴，，，，
∴；
∵与关于直线对称，
∴，，，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，即，
∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，，，，
设，则，
∴，
，
∵四边形的面积为24，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，，
∴，
把代入得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：①∵四边形为矩形，
∴，，，，，
∴，
∵点、分别为、的中点，
∴，，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
过点H作，交于点K，过点G作于点J，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵点H在反比例函数图象上，K在直线上，
∴，，
即，，
则，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴，，，
∴
，
∴，
∴；
②过点I作轴，交于点M，过点I作于点N，如图所示：
则，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点I的坐标为，则，
∵点I在反比例函数图象上，K在直线上，
∴，，
即，，
则，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴
，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
，
∴．

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