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2025—2026学年九年级下学期数学第一次质量检测试题
一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.）
1．如图是简易高低柜示意图，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列说法中正确的有（　　）
①所有的圆都是形状相同的图形；
②所有的正方形都是形状相同的图形；
③所有的等腰三角形都是形状相同的图形；
④所有的矩形都是形状相同的图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，某一时刻两个建筑物AB和CD在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若CD＝8米，DE＝15米，BD＝30米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物AB的高度为（　　）
A．8米 B．16米 C．24米 D．32米
4．有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有x个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，共得到225个细胞，那么根据题目条件求x，可以列方程为（　　）
A．x2＝225 B．1+x+x2＝225
C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225
5．（3分）（2025 邯郸校级二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2）．将二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣2（m≠0）的图象先向左平移a（a＞0）个单位长度，再向上平移b（b＞0）个单位长度得到图象M，使得图象M的顶点落在线段AB上．关于a，b的取值，三人的说法如下：
甲：a＝1，b＝5；乙：；丙：a＝3，b＝4．
下列判断正确的是（　　）
A．只有甲和乙对 B．只有甲和丙对
C．只有乙和丙对 D．甲、乙、丙都对
6．如图，在直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2与反比例函数y2的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（　　）
A．当x＞3时，y1＜y2 B．当x＜﹣1时，y1＜y2
C．当0＜x＜3时，y1＞y2 D．当﹣1＜x＜0时，y1＜y2
7．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（　　）
A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
8．春日暖阳，小宇去爬山，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在下山路线有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900．若小宇走平路的速度为73米/分，走上坡路的速度为40米/分，走下坡路的速度为45米/分．小宇从C处出发到达坡顶A后，欣赏风景停留了40分钟，随后一路下坡到山脚另一边的B处，在整个行程中，小宇共耗时（　　）（参考值1.41，1.73，2.24）
A．83分钟 B．84分钟 C．123分钟 D．124分钟
二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若3a＝2b，则的值为 　 　 ．
10．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则　 　 ．
11．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则BP＝　 　 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，2），点C在x轴的负半轴上，点D在反比例函数的图象上，过点A作AE⊥x轴，交该反比例函数图象于点E，连接BE，则△ABE的面积为　 　 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接EO并延长，交AD于点F，EF与BC相交于点G，若∠ABC＝120°，则下列结论：①∠CAB＝30°；②S△OBG：S四边形ABOF＝1：6；③OD2＝BG BC；④；⑤CE：EF＝2：3．其中结论正确的是 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（8分）（1）计算：（）﹣1+（π﹣3.14）0cos45°；
（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣3）．
15．（8分）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查的学生人数为 　 　 人，并补全条形统计图；
（2）若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
16．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，使它与△ABC的相似比为1：2．
（1）请画出△A′B′C′；
（2）若点M（a，b）为AC边上一点，则点M的对应点M′的坐标是　 　 ；
（3）△A′B′C′的面积为　 　 ．
17．（9分）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如表：
每批粒数n 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700
发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b
（1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（2）估计这种油菜籽发芽的概率，请简要说明理由．
（3）若该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下，种10000粒该种油菜籽大约可得到油菜秧苗多少棵？
18．（8分）如图，△ABC中，BA＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，与外角∠ACD的平分线交于点E．
（1）求sinA的值；
（2）求点E到直线BD的距离．
19．（10分）有趣的“速叠杯”
“速叠杯”是一项好玩的手部运动．它的叠放方式如图：从下往上，最底层摆若干个杯子，每往上一层减少1个杯子，直到顶层只有1个杯子，形成一个“塔”形．
小丽在活动中记录了不同叠放情况下杯子的总数：
最底层杯子数 x 1 2 3 4 5
杯子总数 y 1 3 6 10 15
（1）观察表格，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是　 　 个．
（2）通过观察杯子的摆放规律，用an表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，…，表示图n的弹珠数，n＝1，2，3，…，小丽发现
当塔有1层时，杯子总数：个杯子
当塔有2层时，杯子总数：个杯子
当塔有3层时，杯子总数：个杯子
当塔有4层时，杯子总数：个杯子
…
根据以上规律：
①当塔有100层时，杯子总数是　 　 个；
②要摆一个n层的“速叠杯“塔，一共需要　 　 个杯子（用含n的式子表示）．
③若现有120个杯子，按照这种叠放方式，能恰好叠放成一个完整的“速叠杯”塔，n＝　 　 ．
（3）结合上面探究求值：．
（4）小丽想用这种杯子摆出一个高大的“速叠杯”塔．已知每个杯子的侧面展开图如图2所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径，MN＝20cm，弧AB的长为12π cm，将这样足够数量的杯子摆成“速叠杯”塔，但受桌面长度限制，最底层摆放杯子的总长度不超过96cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．（提示：杯子下底面圆周长与弧AB的长度相等）
20．（12分）综合与实践
在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一动点（不与点B重合），，BE⊥DE，DE交AB于点F．猜想线段BE，DF之间的数量关系并说明理由．
小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解．张老师给出提示：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路．”两人茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小聪：已知点D是动点，因此可以将点D移动到一个特殊的位置．当点D与点C重合时， 如图2所示．此时可以分别延长BE，CA交于点H，如图3所示，可知△CBH是等腰三角形，证明△ABH≌△ACF，从而得出线段BE，DF之间的数量关系． 小明：对于图2，我有不同的证明方法，过点F分别作BE，AC的平行线，交边BC于点M， N，如图4所示，可知△BEF∽△CFM，且FN＝MN＝CN，又∵FN＝FB，可得△BEF与△CFM的相似比为1：2，从而得出线段BE，DF之间的数量关系．
任务一：如图2，猜想线段BE，DF之间的数量关系为 　 　 ；
任务二：通过阅读上述讨论，请在小聪与小明的方法中选择一种，就图1中的情形判断线段BE，DF之间的数量关系，并给出证明；
任务三：若AB＝4，其他条件不变，当△ADF是直角三角形时，直接写出BD的长．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C A D B D C
二．填空题
9．．
10．．
11．．
12．3．
13．①③⑤．
三．解答题
14．解：（1）原式＝2+1﹣2
＝3﹣2
＝1；
（2）原式＝1﹣a2+a2﹣3a＝1﹣3a．
15．解：（1）18÷30%＝60（人），
60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），补全条形统计图如图所示：
故答案为：60；
（2）1200300（人），
答：该校七年级1200名学生中选择“厨艺”劳动课程的大约有300人；
（3）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
第1项 第2项 园艺 电工 木工 编织
园艺 ﹣ 电工 园艺 木工 园艺 编织 园艺
电工 园艺 电工 ﹣ 木工 电工 编织 电工
木工 园艺 木工 电工 木工 ﹣ 编织 木工
编织 园艺 编织 电工 编织 木工 编织 ﹣
共有12种可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有2种，
∴P（园艺、编织）．
16．解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）∵点M（a，b）为AC边上一点，△A′B′C′与△ABC的相似比为1：2．
∴点M′的坐标为，
故答案为：；
（3）△A′B′C′的面积为，
故答案为：1．
17．解：（1）a0.70，b0.70，
故答案为：0.70，0.70；
（2）这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70，
∴10000×0.70×90%＝6300（棵），
答：10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵．
18．解：（1）∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AFAC＝5．
在Rt△ABF中，
BF12．
∴sinA．
（2）过点E作EG⊥BD，垂足为G．
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，
∴EF＝EG．
在Rt△ABF中，
∵sin∠ABF，
在Rt△EBG中，
∵sin∠EBC＝sin∠ABF，
∴13EF＝5×12+5EF．
∴8EF＝60．
∴EF．
答：点E到直线BD的距离是．
19．解：（1）当最底层有6个杯子时，杯子的总数是：6+5+4+3+2+1＝21（个），
故答案为：21；
（2）当塔有1层时，杯子总数：个杯子
当塔有2层时，杯子总数：个杯子
当塔有3层时，杯子总数：个杯子
当塔有4层时，杯子总数：个杯子
…
根据以上规律：
①当塔有100层时，杯子总数是a100＝1+2+3+4+...+1005050（个）；
②要摆一个n层的“速叠杯“塔，一共需要；
③令120，
整理得：n2+n﹣240＝0，
解得：n1＝15，n2＝﹣16（舍去），
∴n＝15．
故答案为：①5050；②；③15；
（3）
...
＝2×（...）
＝2×（1...）
＝2×（1）
＝2
；
（4）根据题意得：12π＝2π×MA，
解得：MA＝6cm；
∵第一层摆放杯子的总长度不超过96cm，
设第一层杯子的个数为x个，则6×2x≤96，
解得：x≤8，
∴x取最大值为8，
∴第一层摆放杯子8个，
∴杯子的总数为32（个）；
∵MN＝20cm，
∴最大高度为：8MN＝8×20＝160（cm）．
20．解：任务一：如图3，分别延长BE，CA交于点H，
∵，BE⊥DE，
∴∠ACF＝∠BCF，∠BEF＝∠CEH＝90°，
∵CE＝CE，
∴△CBE≌△CHE（ASA），
∴BE＝HE，
∴BH＝2BE；
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF＝∠BEF，
∵∠BFE＝∠AFC，
∴∠ABH＝∠ACF，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACF（ASA），
∴BH＝CF，
∴2BE＝DF；
故答案为：2BE＝DF；
任务二：选择小明的方法：2BE＝DF．
证明：如图4，过点F分别作BE，AC的平行线，交BC于点 M，N，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵FN∥AC，∠BFN＝∠BAC＝90°，∠BNF＝∠C＝45°，
∴BF＝FN．
∵∠BNF＝∠NFD+∠EDB，，
∴．
∴FN＝DN．
∵FM∥BE．
∴∠EBF＝∠BFM，∠DFM＝∠DEB．
∵BE⊥DE，
∴∠DEB＝∠DFM＝∠EFM＝90°．
∴∠BFN＝∠DFM＝90°，
即∠BFM+∠MFN＝∠MFN+∠NFD＝90°，
∴∠EBF＝∠BFM＝∠NFD＝∠EDB．
∴△EBF∽△FDM．
∴，∠BFE＝∠DMF．
∵∠EFM＝∠BFN＝90°，
即∠BFE+∠BFM＝∠BFM+∠MFN＝90°，
∴∠BFE＝∠MFN＝∠DMF．
∴BF＝FN＝MN＝DN．
∴，
∴2BE＝DF．
任务三： 或 ，
由题意，可分以下两种情况 进行讨论．
①如图5，当∠DAF＝90° 时，点D与点C重合，
∴BDAB＝4；
②如图6，当∠ADF＝90° 时，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵，∠ADF＝90°，
∴∠ADC＝67.5°，
∴∠CAD＝180°﹣67 5°﹣45°＝67.5°，
∴∠CAD＝∠ADC．
∴AC＝CD． ，
综上所述，BD的长为 或 ．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/27 23:10:36；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353

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