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浙江省兰溪市第二中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（共10题，30分）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
5．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 2 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（　　）
A．1.65、1.70 B．1.65、1.75 C．1.70、1.75 D．1.70、1.70
6．如图，在周长为的，相交于点O，交于E，则的周长为(　　)
A． B． C． D．
7．为促进消费，杭州市政府开展发放政府补贴消费的“消费券”活动，一超市的月销售额逐步增加.据统计，2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元.若3，4月平均每月的增长率为x，则（　　）
A．200(1＋x)＝500
B．200(1＋x)＋200＋(1＋x)2＝500
C．200(1＋x)2＝500
D．200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝500
8．用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，6）.若直线l经过点（2，0），且直线l将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是（ ）
A．y＝x－2 B．y＝3x－6 C． D．
10．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共6题，18分）
11．当 时，二次根式 的值为 　 　．
12．若a、b都为实数，且，　 　．
13．m是方程的根，则式子的值为　 　．
14．已知样本数据的平均数为4，方差为5，则样本数据的平均数为　 　．方差为　 　．
15．如图，在中，为边中点，为边中点，为上一点且，连接，取中点并连接，取中点，延长与边交于点，若，则　 　．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点A（0，-2），点B（m，m+1），点C（6，2）．
（1）线段AC的中点E的坐标为　 　；
（2）对角线BD长的最小值为　 　．
三、解答题（共8题,72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解下列方程：
（1）；
（2）．
19．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
（1）这个“多加的锐角”是 °．
（2）小明求的是几边形的内角和？
20．在学校组织的数学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中二班成绩在70分及其以上的人数有　 　人；
（2）补全下表中空缺的三个统计量：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 77.6 80 　 　
二班 　 　 　 　 90
（3）请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析，写出一个结论．
21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．
22．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是32.4元，求这两次降价的平均降价率是多少？
（2）经调查，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元？
23．如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．
（1）若的面积为4，则四边形的面积为　 　．
（2）求证：四边形是平行四边形．
（3）判断线段之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．
（1）当点在第四象限时（如图1），求证：．
（2）当点落在矩形的某条边上时，求的长．
（3）是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A．，故该选项运算错误；不符合题意；
B．，故该选项运算正确；符合题意；
C．，故该选项运算错误；不符合题意；
D．与不是同类二次根式，不能合并，故该选项运算错误；不符合题意．
故选：B．
【分析】根据二次根式的性质，二次根式的乘法法则，二次根式的加法运算法则，逐一判断选项，即可得到答案．注意．
3．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=360°×4，解得：n=10.
故答案为：D.
【分析】利用n边形的内角和定理（n-2）×180°，再根据一个多边形的内角和=其外角和的4倍，由此建立关于n的方程，解方程求出n的值。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
B、 ，方程没有实数根，故本选项正确；
C、 ，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；
D、 ，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；
故答案为B.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70；
跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；
故答案为：C．
【分析】求中位数须将数据大小依次排列，15个数据最中间的是第8个，即1.70，1.75出现4次，最多，因此众数是1.75.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形ABCD
∵
∵平行四边形ABCD的周长是18cm
∴的周长是
故选：B
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得出，再根据平行四边形的性质求出，通过等量代换可知的周长等于AB+AD，代入求出即可．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设3，4月平均每月的增长率为 ，
又知：2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元，
所以，可列方程为： ；
故答案为：C.
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率)n（n为增长次数），如果设3，4月平均每月的增长率为 ，根据“2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元”，可得出方程.
8．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题，首先应假设命题不成立，即提出与结论相反的假设，原命题的结论为∠A≠∠C，所以用反证法证明命题首先应假设∠A＝∠C.
故答案为：D.
【分析】在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.本题根据反证法的定义即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵顶点B的坐标为（8，6），
∴ ，即，
∵直线l将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，即过OB的中点，
设直线l的解析式为，
把点（2，0）， 代入，得：
，解得：，
∴直线l的解析式为，
故选：C．
【分析】先根据中点公式可得OB的中点为，根据直线l将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，可得直线l过OB的中点，然后根据待定系数法，即可求解．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故答案为：C
【分析】过点D作交的延长线于点F，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，即可求出答案.
11．【答案】4
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：把x=-3代入二次根式，得：
==4.
故答案为：4.
【分析】把x=-3代入二次根式中计算，化为最简即可.
12．【答案】1
【知识点】零指数幂；二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，解得：，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据二次根式的非负性，可得，的值，然后代入中即可求出本题答案．
13．【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是方程的根，
∴，即，
∴原式，
故答案为：2026．
【分析】根据题意可得，整体代入要求的代数式，继而得到本题答案．
14．【答案】9；20
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵样本数据的平均数为4，方差为5，
∴样本数据的平均数为，方差为：；
故答案为：9，20．
【分析】若已知样本数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为：，方差为：，据此进行求解即可．
15．【答案】1
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接．
为边中点，，，
，，，
为边中点，取中点并连接，
，，
是的中位线，
，，
，
取中点，
，
又，
，
，，
，
故答案为：1．
【分析】连接．可得是的中位线，从而得，进而求出，即可解决问题．注意添加常用辅助线，构造三角形中位线．
16．【答案】（3，0）；4
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）∵点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，-2），
∴线段AC的中点E的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）；
（2）∵点B（m，m+1）在直线y=x+1上运动
∴直线y=x+1与x轴的交点F的坐标为（-1，0）且∠BFO=45°
当BE⊥直线y=x+1时，BE有最小值，即BD有最小值，此时EF=3-（-1）=4
∵∠BFE=45°，∠EBF=90°
∴∠BFE=∠BEF
∴BE=BF，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，E是AC的中点
∴E是BD的中点
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可；
（2）先求出点B的运动轨迹，根据垂线段最短可得到BE⊥直线y=x+1时，BE有最小值，即BD有最小值，根据等腰直角三角形的三边关系，求出，进而即可得到答案
17．【答案】（1）解：原式
；
（2） 解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把二次根式化简，再进行加法运算即可求解；
（2）先将化简，再用平方差公式展开，最后进行加减法运算即可．
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
18．【答案】（1） 解：，
，
，
或，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再提公因式分解因式，继而解出；
（2）先移项，再配方，然后解出方程即可．
（1）解：，
移项：，
提公因式：，
即：或，
解得：；
（2）解：，
移项：，
配方得：，
整理得：，
直接开方：，
解得：．
19．【答案】（1）30
（2）解：设这个多边形n为边形，由题意得：，
解得：；
答：小明求的是12边形的内角和；
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（1）解：12边形的内角和为，
而13边形的内角和为，
由于小红说：“多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角”，
所以这个“多加的锐角是，
所以答案为：30；
【分析】
（1）由于恰好是12边形的内角和，而13边形的内角和为，因此小红说法正确，小明确实多算了一个度数为的锐角；
（2）利用多边形的内角和为列式计算即可求出多边形的边数．
20．【答案】（1）21
（2）80；77.6；70
（3）解：平均数相同的情况下，二班成绩较好，因为二班的A级的人数多，D级的人数少，
结论：平均数相同的情况下，二班的成绩更好一些．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：一班参赛人数为：（人），
∵两班参赛人数相同，
∴二班成绩在70分以上（包括70分）的人数为（人），
故答案为：21；
（2）解：二班的平均数为：（分），
∵二班：A级有11人，B级1人，C级9人，D级4人，
∴二班的中位数：70（分），
∵一班B级人数最多，
∴一班的众数：80（分），
填表如下：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 77.6 80 80
二班 77.6 70 90
【分析】（1）根据条形统计图求出一班的总人数，然后根据扇形统计图求出二班成绩在70分以上的人数；
（2）由上题中求得的总人数分别得出两个班各个成绩段的人数，然后可以求平均数、中位数、众数；
（3）根据两个班的成绩，作出合理的分析即可．
（1）解：一班参赛人数为：（人），
∵两班参赛人数相同，
∴二班成绩在70分以上（包括70分）的人数为（人），
故答案为：21；
（2）解：二班的平均数为：（分），
二班的中位数：70（分），
一班的众数：80（分），
填表如下：
　 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 77.6 80 80
二班 77.6 70 90
（3）解：平均数相同的情况下，二班成绩较好，因为二班的A级的人数多，D级的人数少，
结论：平均数相同的情况下，二班的成绩更好一些．
21．【答案】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
的取值范围为：且；
（2）由（1）得的取值范围为：且，
∴取得最大整数为，
∴方程化为，
解得：，.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程二次项系数不等于0以及根的判别式即可求出的取值范围；
（2）结合（1）的范围得到的值，代入解方程即可.
22．【答案】（1）解：(1)设平均降价率为x，则由题意可得
40(1-x)2=32.4
解得：x1=0.1，x2=1.1(舍去)
故降价率为10%.
（2）(2)设每件商品降价a元，则由题意得
(40-a)(20+2a)=1232
解得：a1=12，a2=18
当a=18时，盈利40-18=22元<24元，故a=18不符合题意；
故每件商品应降价12元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设降价率为x，列出方程并求解即可；
(2)设降价a元可得销量为20+2a，列出方程即可得a的值，排除一个结果即可.
23．【答案】（1）8
（2）解：延长交于点，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点D是边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】（1）解：过点作，
，
∵点D是的中点，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积：，
故答案为：8；
【分析】（1）过点作，由三角形面积公式即可得出，结合平行四边形面积公式即可得出本题答案；
（2）延长交于点，用ASA证明，可得到为的中位线，继而得到本题结论；
（3）由平行四边形性质得，进而得，再利用ASA证明全等三角形，进而可得，继而得到本题的结论．
（1）解：过点作，
，
∵点D是边的中点，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形的面积：，
故答案为：8；
（2）解：延长交于点，
，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：判断：，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点D是边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．【答案】（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
（2）解：①当时，如图所示：
，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
②当点与点重合时，如图所示：
，，
在中，，即，解得，
；
综上所述：的长为4或
（3）解：在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
是的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
由折叠性质可得，则四边形为菱形，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
；
综上所述：点或或或
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据折叠和三角形的外角得到，，即可得到，再根据内错角相等，两直线平行得到结论解题；
（2）①当时，此时点与点重合，根据三线合一解题即可；②当点与点重合时，在中，运用勾股定理求出BE长即可解题；
（3）分为三种情况画图：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；根据平行四边形的性质解答即可．
（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①当时，如图所示：
，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
②当点与点重合时，如图所示：
，，
在中，，即，解得，
；
综上所述：的长为4或；
（3）解：在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
是的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
由折叠性质可得，则四边形为菱形，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
；
综上所述：点或或或．
1 / 1浙江省兰溪市第二中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（共10题，30分）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A．，故该选项运算错误；不符合题意；
B．，故该选项运算正确；符合题意；
C．，故该选项运算错误；不符合题意；
D．与不是同类二次根式，不能合并，故该选项运算错误；不符合题意．
故选：B．
【分析】根据二次根式的性质，二次根式的乘法法则，二次根式的加法运算法则，逐一判断选项，即可得到答案．注意．
3．若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为n，则（n-2）×180°=360°×4，解得：n=10.
故答案为：D.
【分析】利用n边形的内角和定理（n-2）×180°，再根据一个多边形的内角和=其外角和的4倍，由此建立关于n的方程，解方程求出n的值。
4．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、 ，方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
B、 ，方程没有实数根，故本选项正确；
C、 ，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；
D、 ，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；
故答案为B.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此逐一判断即可.
5．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 2 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（　　）
A．1.65、1.70 B．1.65、1.75 C．1.70、1.75 D．1.70、1.70
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70；
跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75；
故答案为：C．
【分析】求中位数须将数据大小依次排列，15个数据最中间的是第8个，即1.70，1.75出现4次，最多，因此众数是1.75.
6．如图，在周长为的，相交于点O，交于E，则的周长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形ABCD
∵
∵平行四边形ABCD的周长是18cm
∴的周长是
故选：B
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得出，再根据平行四边形的性质求出，通过等量代换可知的周长等于AB+AD，代入求出即可．
7．为促进消费，杭州市政府开展发放政府补贴消费的“消费券”活动，一超市的月销售额逐步增加.据统计，2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元.若3，4月平均每月的增长率为x，则（　　）
A．200(1＋x)＝500
B．200(1＋x)＋200＋(1＋x)2＝500
C．200(1＋x)2＝500
D．200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝500
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】设3，4月平均每月的增长率为 ，
又知：2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元，
所以，可列方程为： ；
故答案为：C.
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率)n（n为增长次数），如果设3，4月平均每月的增长率为 ，根据“2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元”，可得出方程.
8．用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题，首先应假设命题不成立，即提出与结论相反的假设，原命题的结论为∠A≠∠C，所以用反证法证明命题首先应假设∠A＝∠C.
故答案为：D.
【分析】在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.本题根据反证法的定义即可得出答案.
9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，6）.若直线l经过点（2，0），且直线l将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是（ ）
A．y＝x－2 B．y＝3x－6 C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵顶点B的坐标为（8，6），
∴ ，即，
∵直线l将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，即过OB的中点，
设直线l的解析式为，
把点（2，0）， 代入，得：
，解得：，
∴直线l的解析式为，
故选：C．
【分析】先根据中点公式可得OB的中点为，根据直线l将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，可得直线l过OB的中点，然后根据待定系数法，即可求解．
10．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故答案为：C
【分析】过点D作交的延长线于点F，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，即可求出答案.
二、填空题（共6题，18分）
11．当 时，二次根式 的值为 　 　．
【答案】4
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：把x=-3代入二次根式，得：
==4.
故答案为：4.
【分析】把x=-3代入二次根式中计算，化为最简即可.
12．若a、b都为实数，且，　 　．
【答案】1
【知识点】零指数幂；二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，解得：，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据二次根式的非负性，可得，的值，然后代入中即可求出本题答案．
13．m是方程的根，则式子的值为　 　．
【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是方程的根，
∴，即，
∴原式，
故答案为：2026．
【分析】根据题意可得，整体代入要求的代数式，继而得到本题答案．
14．已知样本数据的平均数为4，方差为5，则样本数据的平均数为　 　．方差为　 　．
【答案】9；20
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵样本数据的平均数为4，方差为5，
∴样本数据的平均数为，方差为：；
故答案为：9，20．
【分析】若已知样本数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为：，方差为：，据此进行求解即可．
15．如图，在中，为边中点，为边中点，为上一点且，连接，取中点并连接，取中点，延长与边交于点，若，则　 　．
【答案】1
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接．
为边中点，，，
，，，
为边中点，取中点并连接，
，，
是的中位线，
，，
，
取中点，
，
又，
，
，，
，
故答案为：1．
【分析】连接．可得是的中位线，从而得，进而求出，即可解决问题．注意添加常用辅助线，构造三角形中位线．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，且点A（0，-2），点B（m，m+1），点C（6，2）．
（1）线段AC的中点E的坐标为　 　；
（2）对角线BD长的最小值为　 　．
【答案】（3，0）；4
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）∵点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，-2），
∴线段AC的中点E的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）；
（2）∵点B（m，m+1）在直线y=x+1上运动
∴直线y=x+1与x轴的交点F的坐标为（-1，0）且∠BFO=45°
当BE⊥直线y=x+1时，BE有最小值，即BD有最小值，此时EF=3-（-1）=4
∵∠BFE=45°，∠EBF=90°
∴∠BFE=∠BEF
∴BE=BF，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，E是AC的中点
∴E是BD的中点
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可；
（2）先求出点B的运动轨迹，根据垂线段最短可得到BE⊥直线y=x+1时，BE有最小值，即BD有最小值，根据等腰直角三角形的三边关系，求出，进而即可得到答案
三、解答题（共8题,72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2） 解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把二次根式化简，再进行加法运算即可求解；
（2）先将化简，再用平方差公式展开，最后进行加减法运算即可．
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
18．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1） 解：，
，
，
或，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再提公因式分解因式，继而解出；
（2）先移项，再配方，然后解出方程即可．
（1）解：，
移项：，
提公因式：，
即：或，
解得：；
（2）解：，
移项：，
配方得：，
整理得：，
直接开方：，
解得：．
19．阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
（1）这个“多加的锐角”是 °．
（2）小明求的是几边形的内角和？
【答案】（1）30
（2）解：设这个多边形n为边形，由题意得：，
解得：；
答：小明求的是12边形的内角和；
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】（1）解：12边形的内角和为，
而13边形的内角和为，
由于小红说：“多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角”，
所以这个“多加的锐角是，
所以答案为：30；
【分析】
（1）由于恰好是12边形的内角和，而13边形的内角和为，因此小红说法正确，小明确实多算了一个度数为的锐角；
（2）利用多边形的内角和为列式计算即可求出多边形的边数．
20．在学校组织的数学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中二班成绩在70分及其以上的人数有　 　人；
（2）补全下表中空缺的三个统计量：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 77.6 80 　 　
二班 　 　 　 　 90
（3）请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析，写出一个结论．
【答案】（1）21
（2）80；77.6；70
（3）解：平均数相同的情况下，二班成绩较好，因为二班的A级的人数多，D级的人数少，
结论：平均数相同的情况下，二班的成绩更好一些．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：一班参赛人数为：（人），
∵两班参赛人数相同，
∴二班成绩在70分以上（包括70分）的人数为（人），
故答案为：21；
（2）解：二班的平均数为：（分），
∵二班：A级有11人，B级1人，C级9人，D级4人，
∴二班的中位数：70（分），
∵一班B级人数最多，
∴一班的众数：80（分），
填表如下：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 77.6 80 80
二班 77.6 70 90
【分析】（1）根据条形统计图求出一班的总人数，然后根据扇形统计图求出二班成绩在70分以上的人数；
（2）由上题中求得的总人数分别得出两个班各个成绩段的人数，然后可以求平均数、中位数、众数；
（3）根据两个班的成绩，作出合理的分析即可．
（1）解：一班参赛人数为：（人），
∵两班参赛人数相同，
∴二班成绩在70分以上（包括70分）的人数为（人），
故答案为：21；
（2）解：二班的平均数为：（分），
二班的中位数：70（分），
一班的众数：80（分），
填表如下：
　 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 77.6 80 80
二班 77.6 70 90
（3）解：平均数相同的情况下，二班成绩较好，因为二班的A级的人数多，D级的人数少，
结论：平均数相同的情况下，二班的成绩更好一些．
21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【答案】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
的取值范围为：且；
（2）由（1）得的取值范围为：且，
∴取得最大整数为，
∴方程化为，
解得：，.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程二次项系数不等于0以及根的判别式即可求出的取值范围；
（2）结合（1）的范围得到的值，代入解方程即可.
22．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情滞销该店采取了降价措施，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若该商品经过两次降价后，每件可以获得的利润是32.4元，求这两次降价的平均降价率是多少？
（2）经调查，在每件盈利不少于24元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．若该商店每天预期销售利润为1232元，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）解：(1)设平均降价率为x，则由题意可得
40(1-x)2=32.4
解得：x1=0.1，x2=1.1(舍去)
故降价率为10%.
（2）(2)设每件商品降价a元，则由题意得
(40-a)(20+2a)=1232
解得：a1=12，a2=18
当a=18时，盈利40-18=22元<24元，故a=18不符合题意；
故每件商品应降价12元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设降价率为x，列出方程并求解即可；
(2)设降价a元可得销量为20+2a，列出方程即可得a的值，排除一个结果即可.
23．如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．
（1）若的面积为4，则四边形的面积为　 　．
（2）求证：四边形是平行四边形．
（3）判断线段之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论．
【答案】（1）8
（2）解：延长交于点，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点D是边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】（1）解：过点作，
，
∵点D是的中点，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积：，
故答案为：8；
【分析】（1）过点作，由三角形面积公式即可得出，结合平行四边形面积公式即可得出本题答案；
（2）延长交于点，用ASA证明，可得到为的中位线，继而得到本题结论；
（3）由平行四边形性质得，进而得，再利用ASA证明全等三角形，进而可得，继而得到本题的结论．
（1）解：过点作，
，
∵点D是边的中点，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∴
∵，
∴，
∴四边形的面积：，
故答案为：8；
（2）解：延长交于点，
，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：判断：，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点D是边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．
（1）当点在第四象限时（如图1），求证：．
（2）当点落在矩形的某条边上时，求的长．
（3）是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
（2）解：①当时，如图所示：
，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
②当点与点重合时，如图所示：
，，
在中，，即，解得，
；
综上所述：的长为4或
（3）解：在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
是的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
由折叠性质可得，则四边形为菱形，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
；
综上所述：点或或或
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据折叠和三角形的外角得到，，即可得到，再根据内错角相等，两直线平行得到结论解题；
（2）①当时，此时点与点重合，根据三线合一解题即可；②当点与点重合时，在中，运用勾股定理求出BE长即可解题；
（3）分为三种情况画图：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；根据平行四边形的性质解答即可．
（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①当时，如图所示：
，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
②当点与点重合时，如图所示：
，，
在中，，即，解得，
；
综上所述：的长为4或；
（3）解：在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
是的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
由折叠性质可得，则四边形为菱形，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
；
综上所述：点或或或．
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