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湖南省常德市澧县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分）
1．下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．，，3 D．1.5，2，3
2．如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可能为（　　）
A． B．4 C．0 D．
5．如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，点，B是y轴上的任意一点，则线段的最小值是（　　）
A．5 B．7 C．12 D．17
7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（　　）
A．10 B．96 C．9.6 D．以上都不对
9．如图，在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．5 D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=8，则斜边AB的长是　 　
12．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有　 　（填序号）．
①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形．
13．在中，，，则　 　．
14．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是　 　．
15．冰裂纹是我国古典园林的铺装纹样之一，被广泛的应用于建筑装饰．图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是　 　．．
16．如图，等边的顶点与矩形的中心重合，若，则的长为　 　．
17．如图，在正方形中，点E是边的中点，分别交，边于点F，G．若，则的长为　 　．
18．窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则　 　．
三、解答题（共6小题，满分46分）
19．如图所示，已知，．求证：点C在的平分线上．
20．如图，在中，，是对角线上两点，且．求证：．
21．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若还满足，则四边形的形状为　 　．
22．由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在市的正西方向的处，以的速度正向南偏东的方向移动，距沙尘暴中心的范围内是受沙尘暴严重影响的区域．市是否会受到沙尘暴的影响，请说明理由；若受影响，求出受影响的时间．
23．放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
（1）求此时风筝的垂直高度的长；
（2）若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长．
24．如图，在平行四边形中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下：
甲方案 乙方案 我的方案
分别取的中点E，F 作于点E，于点F
请回答下列问题：
（1）你认为按照他们两人的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．如果哪种方案不可行，请说明理由．
（2）请你给出一种和他们不同的方案．并说明这三种方案有什么共同的特征．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】由勾股定理的逆定理，已知三角形三边的长，验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形，进行判断．
2．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，点在同一水平线上，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，
，
，
，
则需要添加的条件是，
故选：．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第三象限，
∴，
∴的值可能为；
故选A．
【分析】
根据点在第三象限可得，再逐项进行判断即可．
5．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质可得出OAB=ACD=80°，ADO=CBD=20°，进而得出OAD=55°，再根据三角形外角的性质求得COD的度数。
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：过点A作轴，此时的长度最小，即的最小值为5．
故选：A．
【分析】过点A作轴，此时的长度最小，然后根据点A的坐标即可解答．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】
本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
对于选项A：大正方形的边长为a，其面积为，大正方形又可以看作是由4个直角边a，b的直角三角形和一个边长为(b-a)的小正方形组成，4个直角三角形的面积为：，小正方形的面积为：，所以大正方形的面积，即可证得勾股定理，故选项A不符合题意；
对于选项B：该图形是用两个直角边分别为a、b的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形拼成的梯形，根据梯形的面积公式：代入数据可得：，同时梯形的面积又等于三个直角三角形面积之和，即，等量代换得：，化简得：，即可证得勾股定理，故选项B不符合题意；
对于选项C：大正方形的边长为a+b，其面积为，大正方形又可以看作是由4个直角边a，b的直角三角形和一个边长为c的小正方形组成，4个直角三角形的面积为：，小正方形的面积为：，等量代换得：，化简得：，即可证得勾股定理，故选项C不符合题意；
对于选项D：此图仅给出了两条线段a、b和两个长度为b的边，没有构建出与直角三角形三边相关的面积关系或其他能推导出的联系，不能证明勾股定理，故选项D符合题意；由此判断得出答案.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线交于点O，
∴，，
∴，
∵是菱形的高，
∴，即：，
∴；
故选C．
【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分以及勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可．
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
当时，的值最小，此时的值也最小，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
当点M与点B重合时，最大值8，最大值为4，
∵点M为边上的动点（不与点B重合），
∴．
故选D．
【分析】连接CM，由中位线定理可得DE总等于CM的一半，由垂线段最知短可得CM的最小值为AB上的高的值，此时可利用勾股定理结合等面积法求出AB上的高为；又当M、B重合时CM有最大值，故DE小于4且大于或等于．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，
故答案为：B．
【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求出答案.
11．【答案】16
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 斜边上的中线CD=8，
∴AB=2CD=16，
故答案为：16.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于写变得一半解题即可.
12．【答案】②④⑤
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
②矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
③等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
④线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
⑤菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故答案为：②④⑤．
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，即，
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和等于180度，可得，结合条件即可求解．注意三角形的内角和等于180度．
14．【答案】30
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在BC上截取BE=BA，连接DE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AB=EB=6，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴S△ABD＝S△EBD.
∴四边形ABCD的面积：，
故答案为：30．
【分析】在BC上截取BE=BA=6，连接DE，证明△ABD≌△EBD，可得S△ABD＝S△EBD.再根据三角形的面积公式求出即可．
15．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个多边形为六边形，它的内角和为：．
故答案为：720°．
【分析】n边形内角和为，据此先确定该多边形的边数，再代入公式进行计算即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
等边的顶点与矩形的中心重合，
，，，
，即，
，
故答案为：．
【分析】连接，可由矩形的性质结合等腰边三角形的性质证明，再利用勾股定理即可．
17．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：过点B作交于点N，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点B作交于点N，根据正方形性质可得，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据线段中点可得DE，再根据勾股定理即可求出答案.
18．【答案】336
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图
∵，
∴，
∵，，，
∴．
故答案为：336．
【分析】如图，先由多边形外角和可得，再由邻补角的概念求出即可．
19．【答案】解：如图，作，的延长线，垂足分别为E，F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C在的平分线上
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由于到角两边距离相等的点在角的平分线上，则可过点C分别作AB、AD的垂线段CE、CF，再由同角的补角相等、垂直线概念及已知CD＝CB可利用AAS证明，即可得CE＝CF，则结论成立．
20．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，据此可证明，进而得到结论．
21．【答案】（1）证明：∵边形是平行四边形，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）正方形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（2）解：四边形是正方形，理由如下：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
故答案为：正方形
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再利用等腰三角形三线合一可证，进而即可证明结论；
（2）先说明是等腰直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而可得到四边形是正方形．
（1）证明：∵边形是平行四边形，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）四边形是正方形，理由如下：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
22．【答案】解：受影响，理由如下：
如图，过点作于，由题意得，，
∴，
∵，
∴市受沙尘暴影响；
以点为圆心，为半径作圆，交于点，，当沙尘暴在线段上移动，都对市有影响，
∴，
∵，
∴DE=2CD，
∵，
∴，
∴受影响的时间为．
答：市会受到沙尘暴的影响，市受沙尘暴影响的时间为．
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】过点作于，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=150km，由于150＜200，故可得出结论：A市受沙尘暴影响；以点A为圆心，200km为半径作圆，交BF于点D，E，当沙尘暴在DE线段上移动，都对A市有影响；由等腰三角形的三线合一得出DE=2CD，用勾股定理解出DC，从而得到DE的长，再根据速度公式，求出移动时间即可．
23．【答案】（1）解：∵米，米，∴米
∵米
∴米
∴米；
（2）解：∵风筝线又放出了8米，
∴米，
∴米，
∴米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）先由勾股定理得出米，再得到米，进而即可求解；
（2）先由题意得到米，然后结合勾股定理求出米，进而求解即可．
（1）∵米，米，
∴米
∵米
∴米
∴米；
（2）∵风筝线又放出了8米，
∴米，
∴米，
∴米．
24．【答案】（1）解：甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形；证明：甲方案：如图，连接，
∵在中，点是对角线的中点，
∴，，
∵，分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
乙方案：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）在上取，即可得到四边形为平行四边形，证明：如图，连接，
∵在中，点是对角线的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
三种方案都有．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）结合平行四边形的判定和全等三角形的性质与判定证明即可，甲方案：两条对角线相互平分的四边形为平行四边形；乙方案：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；
（2）在上取，结合，，即可得到四边形为平行四边形．
（1）解：甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形；
证明：甲方案：如图，连接，
∵在中，点是对角线的中点，
∴，，
∵，分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
乙方案：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）在上取，即可得到四边形为平行四边形，
证明：如图，连接，
∵在中，点是对角线的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
三种方案都有．
1 / 1湖南省常德市澧县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分）
1．下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．，，3 D．1.5，2，3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】由勾股定理的逆定理，已知三角形三边的长，验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形，进行判断．
2．如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，点在同一水平线上，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．
3．如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，
，
，
，
则需要添加的条件是，
故选：．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
4．在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可能为（　　）
A． B．4 C．0 D．
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第三象限，
∴，
∴的值可能为；
故选A．
【分析】
根据点在第三象限可得，再逐项进行判断即可．
5．如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行线的性质可得出OAB=ACD=80°，ADO=CBD=20°，进而得出OAD=55°，再根据三角形外角的性质求得COD的度数。
6．在平面直角坐标系中，点，B是y轴上的任意一点，则线段的最小值是（　　）
A．5 B．7 C．12 D．17
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：过点A作轴，此时的长度最小，即的最小值为5．
故选：A．
【分析】过点A作轴，此时的长度最小，然后根据点A的坐标即可解答．
7．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】
本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
对于选项A：大正方形的边长为a，其面积为，大正方形又可以看作是由4个直角边a，b的直角三角形和一个边长为(b-a)的小正方形组成，4个直角三角形的面积为：，小正方形的面积为：，所以大正方形的面积，即可证得勾股定理，故选项A不符合题意；
对于选项B：该图形是用两个直角边分别为a、b的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形拼成的梯形，根据梯形的面积公式：代入数据可得：，同时梯形的面积又等于三个直角三角形面积之和，即，等量代换得：，化简得：，即可证得勾股定理，故选项B不符合题意；
对于选项C：大正方形的边长为a+b，其面积为，大正方形又可以看作是由4个直角边a，b的直角三角形和一个边长为c的小正方形组成，4个直角三角形的面积为：，小正方形的面积为：，等量代换得：，化简得：，即可证得勾股定理，故选项C不符合题意；
对于选项D：此图仅给出了两条线段a、b和两个长度为b的边，没有构建出与直角三角形三边相关的面积关系或其他能推导出的联系，不能证明勾股定理，故选项D符合题意；由此判断得出答案.
8．如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（　　）
A．10 B．96 C．9.6 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线交于点O，
∴，，
∴，
∵是菱形的高，
∴，即：，
∴；
故选C．
【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分以及勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可．
9．如图，在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
当时，的值最小，此时的值也最小，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
当点M与点B重合时，最大值8，最大值为4，
∵点M为边上的动点（不与点B重合），
∴．
故选D．
【分析】连接CM，由中位线定理可得DE总等于CM的一半，由垂线段最知短可得CM的最小值为AB上的高的值，此时可利用勾股定理结合等面积法求出AB上的高为；又当M、B重合时CM有最大值，故DE小于4且大于或等于．
10．如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
阴影部分的面积为，
故答案为：B．
【分析】由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求出答案.
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=8，则斜边AB的长是　 　
【答案】16
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 斜边上的中线CD=8，
∴AB=2CD=16，
故答案为：16.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于写变得一半解题即可.
12．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有　 　（填序号）．
①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形．
【答案】②④⑤
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
②矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
③等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
④线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
⑤菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故答案为：②④⑤．
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
13．在中，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，即，
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和等于180度，可得，结合条件即可求解．注意三角形的内角和等于180度．
14．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是　 　．
【答案】30
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在BC上截取BE=BA，连接DE，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AB=EB=6，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴S△ABD＝S△EBD.
∴四边形ABCD的面积：，
故答案为：30．
【分析】在BC上截取BE=BA=6，连接DE，证明△ABD≌△EBD，可得S△ABD＝S△EBD.再根据三角形的面积公式求出即可．
15．冰裂纹是我国古典园林的铺装纹样之一，被广泛的应用于建筑装饰．图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是　 　．．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个多边形为六边形，它的内角和为：．
故答案为：720°．
【分析】n边形内角和为，据此先确定该多边形的边数，再代入公式进行计算即可.
16．如图，等边的顶点与矩形的中心重合，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
等边的顶点与矩形的中心重合，
，，，
，即，
，
故答案为：．
【分析】连接，可由矩形的性质结合等腰边三角形的性质证明，再利用勾股定理即可．
17．如图，在正方形中，点E是边的中点，分别交，边于点F，G．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：过点B作交于点N，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】过点B作交于点N，根据正方形性质可得，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据线段中点可得DE，再根据勾股定理即可求出答案.
18．窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则　 　．
【答案】336
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：如图
∵，
∴，
∵，，，
∴．
故答案为：336．
【分析】如图，先由多边形外角和可得，再由邻补角的概念求出即可．
三、解答题（共6小题，满分46分）
19．如图所示，已知，．求证：点C在的平分线上．
【答案】解：如图，作，的延长线，垂足分别为E，F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C在的平分线上
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由于到角两边距离相等的点在角的平分线上，则可过点C分别作AB、AD的垂线段CE、CF，再由同角的补角相等、垂直线概念及已知CD＝CB可利用AAS证明，即可得CE＝CF，则结论成立．
20．如图，在中，，是对角线上两点，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，据此可证明，进而得到结论．
21．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若还满足，则四边形的形状为　 　．
【答案】（1）证明：∵边形是平行四边形，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）正方形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（2）解：四边形是正方形，理由如下：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
故答案为：正方形
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再利用等腰三角形三线合一可证，进而即可证明结论；
（2）先说明是等腰直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而可得到四边形是正方形．
（1）证明：∵边形是平行四边形，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等腰三角形，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）四边形是正方形，理由如下：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
22．由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在市的正西方向的处，以的速度正向南偏东的方向移动，距沙尘暴中心的范围内是受沙尘暴严重影响的区域．市是否会受到沙尘暴的影响，请说明理由；若受影响，求出受影响的时间．
【答案】解：受影响，理由如下：
如图，过点作于，由题意得，，
∴，
∵，
∴市受沙尘暴影响；
以点为圆心，为半径作圆，交于点，，当沙尘暴在线段上移动，都对市有影响，
∴，
∵，
∴DE=2CD，
∵，
∴，
∴受影响的时间为．
答：市会受到沙尘暴的影响，市受沙尘暴影响的时间为．
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一；勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】过点作于，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=150km，由于150＜200，故可得出结论：A市受沙尘暴影响；以点A为圆心，200km为半径作圆，交BF于点D，E，当沙尘暴在DE线段上移动，都对A市有影响；由等腰三角形的三线合一得出DE=2CD，用勾股定理解出DC，从而得到DE的长，再根据速度公式，求出移动时间即可．
23．放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
（1）求此时风筝的垂直高度的长；
（2）若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长．
【答案】（1）解：∵米，米，∴米
∵米
∴米
∴米；
（2）解：∵风筝线又放出了8米，
∴米，
∴米，
∴米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）先由勾股定理得出米，再得到米，进而即可求解；
（2）先由题意得到米，然后结合勾股定理求出米，进而求解即可．
（1）∵米，米，
∴米
∵米
∴米
∴米；
（2）∵风筝线又放出了8米，
∴米，
∴米，
∴米．
24．如图，在平行四边形中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下：
甲方案 乙方案 我的方案
分别取的中点E，F 作于点E，于点F
请回答下列问题：
（1）你认为按照他们两人的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．如果哪种方案不可行，请说明理由．
（2）请你给出一种和他们不同的方案．并说明这三种方案有什么共同的特征．
【答案】（1）解：甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形；证明：甲方案：如图，连接，
∵在中，点是对角线的中点，
∴，，
∵，分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
乙方案：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）在上取，即可得到四边形为平行四边形，证明：如图，连接，
∵在中，点是对角线的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
三种方案都有．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）结合平行四边形的判定和全等三角形的性质与判定证明即可，甲方案：两条对角线相互平分的四边形为平行四边形；乙方案：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；
（2）在上取，结合，，即可得到四边形为平行四边形．
（1）解：甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形；
证明：甲方案：如图，连接，
∵在中，点是对角线的中点，
∴，，
∵，分别为，的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
乙方案：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）在上取，即可得到四边形为平行四边形，
证明：如图，连接，
∵在中，点是对角线的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
三种方案都有．
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