资源简介

湖南省怀化市溆浦县2024-2025学年八年级下学期期中质量检测数学试题
一、选择题本题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（　　）
A． B． C． D．
2．正六边形的一个外角为（　　）
A． B． C． D．
3．四边形的对角线相交于点，．添加下列条件，能判定四边形为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
4．顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．正方形
5．下列交通标志中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．若长度为3、4、m的三条线段能组成一个钝角三角形，则m的值可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a＝7，b＝25，c＝24 B．a＝11，b＝41，c＝40
C．a＝12，b＝13，c＝5 D．a＝8，b＝17，c＝15
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE、BF交于点O．若BF＝13，AO＝5，则四边形ABEF的面积为（　　）
A．60 B．65 C．120 D．130
9．如图，港口在观测站的正西方向，，某船从港口出发，沿北偏西方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏西的方向，则该船航行的距离（即的长）为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形对角线上截取，连接并延长交于点F，连接，过B作于点G，交于点H，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共8个小题，每小题3分，共24分。
11．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了　 　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．
12．如图，在中，是斜边的中线，，则的长为　 　．
13．如图，若AB∥CD，AB⊥AF，E是AF的中点，AF＝14，BD＝50，CD＝30，则CF＝　 　．
14．如图是一个五角星图案，中间部分的五边形是一个正五边形，则图中的度数是　 　度．
15．在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则AO的长等于　 　．
16．如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是　 　．
17．如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是　 　cm．
18．如图，在中，，于点，延长于点，，交于，延长与的延长线交于点.下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤线段与互相平分.其中正确的结论有　 　个.
三、解答题：本题共8个小题，共66分。
19．如图，直线AE//BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，求∠EAC的度数．
20．如图，D、 E 、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H.求证：DF=EH.
21．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，，点F在边AB上，EF//BC．求证：
（1）四边形BDEF是平行四边形；
（2）．
22．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
23．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，使点G与点D重合．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求GF的长．
24．如图，在中，，，，．
（1）求的长；
（2）求证：．
25．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（0＜t≤10）．过点作于点，连接，．
（1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
（2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
26．如图，已知菱形，点是线段上的动点，以为边向右侧作等边，连结．
（1）求证：；
（2）设，求证：；
（3）设，当时，求的长（用含的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n，
由题意得，
解得，
故选：C．
【分析】多边形的内角和可以表示成，多边形的每个内角均相等，又可表示成，列方程可求解．此题还可以求出正多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
2．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵任意一个多边形的外角和都是，
∴正六边形的外角和为，
∴正六边形的一个外角为，
故选：C．
【分析】由任何多边形的外角和是，可得正六边形的任一个外角为即可．
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
添加，
∴四边形为菱形，故A不符合题意；
添加当时，
不能判定四边形是矩形；故B不符合题意；
添加，如图，
∵四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；故C不符合题意；
添加，
∴四边形是矩形；故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】由于对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由一个角是直角的平行四边形或对角线相等的平行四边形是矩形逐项进行判断即可．
4．【答案】A
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接AC、BD，
∵E是AD的中点，H是CD的中点，
∴EH＝ AC，
同理FG＝ AC，
∴EH＝FG，
同理EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：A.
【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥AC，EH＝ AC，同理FG∥AC，FG＝ AC，进一步推出EH＝FG，EH∥FG，即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此进行判断即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由三角形三边的关系可得，
4-3＜m＜4+3
即1＜m＜7
∵=，
∴1＜m＜，1＜m＜7
∴m的值可能为 6.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边的关系和勾股定理即可求解。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、72+242＝52，能构成直角三角形，不符合题意；
B、112+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；
D、82+152＝172，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【分析】如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形．据此逐一判断各个选项即可．
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
∵BF＝13，AO＝5，
∴四边形ABEF＝2××13×5＝65，
故选：B．
【分析】首先说明四边形是平行四边形，再结合邻边相等，即可得出四边形是菱形，然后利用菱形的面积公式计算即可．菱形的面积=对角线之积的一半
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；方位角
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，
∵∠ADO=90°，∠AOD=90°-60°=30°，OA=4n，
∴AD=OA=2n．
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，∠B=180°-（90°+30°）﹣30°=30°，
∴AB=2AD=4n．
即该船航行的距离（即AB的长）为．
故选：B．
【分析】过点A作AD⊥OB于D，先在Rt△AOD，求出AD=OA=2．再在Rt△ABD求出AB的长即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：在正方形中，
∴，，
∵
∴
∵，
∴是线段的垂直平分线，，
在中，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，故A，C，D正确；
如图，连接，
∵是垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵不垂直，
∴，
∴，
∴，故B错误，
故选B．
【分析】先根据正方形的性质和，得出与全等，，，再证明与全等，即可判断A、C、D三个选项是否符合题意；连接，判断与的面积关系，即可判断B选项是否符合题意．关键是判断出，作辅助线HE是突破口．
11．【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依据题意可得：，
，
少走了，
2步为1米，
，
故答案为：4．
【分析】先根据勾股定理求出斜边AB的长，与直角边之和作差可得答案．
12．【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，是斜边的中线，，
，
故答案为：．
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13．【答案】6
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AF＝14，E是AF的中点，
∴EF=AE=AF=7，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠DFE=90°，
在△ABE和△FDE中，
，
∴△AEB≌△FED（ASA），
∴BE=DE=BD=25，
∴DF==24，
∴CF=CD-DF=6，
故答案为：6．
【分析】根据“ASA”可证△AEB≌△FED，从而得BE=DE=25，根据勾股定理可求DF=24，进而即可求解．
14．【答案】108
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴．
故答案为：108．
【分析】由多边形内角和公式和正多边形的性质，列出算式即可求解．注意n边形内角和公式为．
15．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CA=6，
∴AO=CA=×6=3．
故答案为3．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线互相平分即可求解．
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设，交于点，
四边形为菱形，
，．
，，
，．
四边形是平行四边形．
．即阴影部分的面积等于的面积．
的面积等于菱形的面积的一半，菱形的面积，
图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
【分析】
根据已知条件可得，四边形是平行四边形．则，阴影部分的面积等于的面积．根据菱形的性质即可求解．
17．【答案】45
【知识点】“引葭赴岸”模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
设水深h厘米，由题意得：中，，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得．
故答案为：45．
【分析】勾股定理的应用，可设水深h厘米，则，，，再利用勾股定理计算即可．
18．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，故②正确；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确，
在和中，只有三个角相等，没有边相等，
∴与不全等，故④错误．
若点是的中点，
∵，，
∴，
则，
∴，
∵点不一定是的中点，
则不一定成立
则线段与互相平分，不一定成立，故⑤错误，
故答案为：3．
【分析】①根据等腰直角三角形的性质可求；②根据余角的性质和平行四边形的性质可求；③根据“”可证，进而可得；④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则和不全等，⑤假设是的中点，进而由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，而没有这个条件，故⑤不正确．
19．【答案】解：∵AC⊥BA，
∴∠CAB=90°，
∵∠ABC=54°，
∴∠C=90°-54°=36°，
∵AE//BC，
∴∠CAE=∠C=36°．
【知识点】直角三角形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】根据直角三角形的两个锐角互余和平行线的性质求解即可．
20．【答案】证明：∵D、F分别是△ABC三边的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=AC，
∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，
∴EH=AC，
∴DF=EH．
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由三角形的中位线的性质可得DF=AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=AC，从而得证．
21．【答案】（1）证明：如图，延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG=∠AEC=90°
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAE=∠CAE
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA），
∴GE=CE
∵BD=CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE//AB
∵EF//BC，
∴四边形BDEF是平行四边形
（2）证明：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE，
∵D，E分别是BC，GC的中点，
∴
∵△AGE≌△ACE，
∴AG=AC
∴．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证明△AGE≌△ACE，从而得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理得到DE∥AB，再结合条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB AC）．
22．【答案】解：（1）证明：∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．
又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°．
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；三角形的外角和
【解析】【分析】本题综合考查直角三角形全等的HL判定方法，以及直角三角形的性质、全等三角形的性质和三角形外角性质，需熟练掌握这些知识点的综合运用.（1）由AE＝DB推出AB＝DE，利用HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，再根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，最后利用三角形外角的性质求出∠BOF=78°．
23．【答案】（1）解：由翻折的性质得，，
矩形的对边，
，
，
；
（2）解：由翻折的性质得，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
又由（1）可知，，
，
由翻折的性质得，．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）由翻折的性质可得，由两直线平行，内错角相等可得，然后得出，进而可得；
（2）由翻折的性质可得，设，则，再根据勾股定理列出方程，于是有，进而得到．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴的长为1
（2）证明：∵，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理即可；
（2）先利用（1）的结论可得，然后在中利用勾股定理求出的长，从而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可．
（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴的长为1；
（2）证明：∵，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
25．【答案】（1）证明：能．理由如下：
在中，，，，
，
又，
，
，，
∴AE∥DF，
又，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，即，
解得．
当秒时，四边形为菱形．
（2）①当时，由（1）知四边形为平行四边形，
∴EF∥AD，
，
，
，
，
又，即，
解得；
②当时，四边形为矩形，
在中，
∴，
，即，
解得．
③若，则与重合，与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当或5秒时，为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）先说明四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，列出方程，即可解决问题；
（2）分三种情形讨论：①当∠DEF=90°时，②当∠EDF=90°时．③当∠EFD=90°，分别求解即可；注意分类讨论的思想和方程思想的应用．
26．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，点在线段上，∴由菱形的对称性可得，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：当在线段上时，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；含60°角的菱形
【解析】【分析】（1）由菱形的对称性可得，由等边三角形的性质得，进而得；
（2）利用三角形的外角的性质可得，进而可得结论；
（3）过作于，由，得，由，可得是等腰直角三角形，设，则，可得，进而即可求解．
（1）证明：∵四边形是菱形，点在线段上，
∴由菱形的对称性可得，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：如图1中，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：当在线段上时，过作于，如图：
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1湖南省怀化市溆浦县2024-2025学年八年级下学期期中质量检测数学试题
一、选择题本题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n，
由题意得，
解得，
故选：C．
【分析】多边形的内角和可以表示成，多边形的每个内角均相等，又可表示成，列方程可求解．此题还可以求出正多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
2．正六边形的一个外角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵任意一个多边形的外角和都是，
∴正六边形的外角和为，
∴正六边形的一个外角为，
故选：C．
【分析】由任何多边形的外角和是，可得正六边形的任一个外角为即可．
3．四边形的对角线相交于点，．添加下列条件，能判定四边形为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
添加，
∴四边形为菱形，故A不符合题意；
添加当时，
不能判定四边形是矩形；故B不符合题意；
添加，如图，
∵四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；故C不符合题意；
添加，
∴四边形是矩形；故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】由于对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由一个角是直角的平行四边形或对角线相等的平行四边形是矩形逐项进行判断即可．
4．顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．正方形
【答案】A
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接AC、BD，
∵E是AD的中点，H是CD的中点，
∴EH＝ AC，
同理FG＝ AC，
∴EH＝FG，
同理EF＝HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：A.
【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥AC，EH＝ AC，同理FG∥AC，FG＝ AC，进一步推出EH＝FG，EH∥FG，即可得到答案.
5．下列交通标志中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此进行判断即可．
6．若长度为3、4、m的三条线段能组成一个钝角三角形，则m的值可能为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由三角形三边的关系可得，
4-3＜m＜4+3
即1＜m＜7
∵=，
∴1＜m＜，1＜m＜7
∴m的值可能为 6.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边的关系和勾股定理即可求解。
7．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a＝7，b＝25，c＝24 B．a＝11，b＝41，c＝40
C．a＝12，b＝13，c＝5 D．a＝8，b＝17，c＝15
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、72+242＝52，能构成直角三角形，不符合题意；
B、112+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；
D、82+152＝172，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【分析】如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形．据此逐一判断各个选项即可．
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE、BF交于点O．若BF＝13，AO＝5，则四边形ABEF的面积为（　　）
A．60 B．65 C．120 D．130
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
∵BF＝13，AO＝5，
∴四边形ABEF＝2××13×5＝65，
故选：B．
【分析】首先说明四边形是平行四边形，再结合邻边相等，即可得出四边形是菱形，然后利用菱形的面积公式计算即可．菱形的面积=对角线之积的一半
9．如图，港口在观测站的正西方向，，某船从港口出发，沿北偏西方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏西的方向，则该船航行的距离（即的长）为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；方位角
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，
∵∠ADO=90°，∠AOD=90°-60°=30°，OA=4n，
∴AD=OA=2n．
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，∠B=180°-（90°+30°）﹣30°=30°，
∴AB=2AD=4n．
即该船航行的距离（即AB的长）为．
故选：B．
【分析】过点A作AD⊥OB于D，先在Rt△AOD，求出AD=OA=2．再在Rt△ABD求出AB的长即可.
10．如图，在正方形对角线上截取，连接并延长交于点F，连接，过B作于点G，交于点H，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：在正方形中，
∴，，
∵
∴
∵，
∴是线段的垂直平分线，，
在中，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，故A，C，D正确；
如图，连接，
∵是垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵不垂直，
∴，
∴，
∴，故B错误，
故选B．
【分析】先根据正方形的性质和，得出与全等，，，再证明与全等，即可判断A、C、D三个选项是否符合题意；连接，判断与的面积关系，即可判断B选项是否符合题意．关键是判断出，作辅助线HE是突破口．
二、填空题：本题共8个小题，每小题3分，共24分。
11．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了　 　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．
【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依据题意可得：，
，
少走了，
2步为1米，
，
故答案为：4．
【分析】先根据勾股定理求出斜边AB的长，与直角边之和作差可得答案．
12．如图，在中，是斜边的中线，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，是斜边的中线，，
，
故答案为：．
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13．如图，若AB∥CD，AB⊥AF，E是AF的中点，AF＝14，BD＝50，CD＝30，则CF＝　 　．
【答案】6
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AF＝14，E是AF的中点，
∴EF=AE=AF=7，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠DFE=90°，
在△ABE和△FDE中，
，
∴△AEB≌△FED（ASA），
∴BE=DE=BD=25，
∴DF==24，
∴CF=CD-DF=6，
故答案为：6．
【分析】根据“ASA”可证△AEB≌△FED，从而得BE=DE=25，根据勾股定理可求DF=24，进而即可求解．
14．如图是一个五角星图案，中间部分的五边形是一个正五边形，则图中的度数是　 　度．
【答案】108
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴．
故答案为：108．
【分析】由多边形内角和公式和正多边形的性质，列出算式即可求解．注意n边形内角和公式为．
15．在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则AO的长等于　 　．
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CA=6，
∴AO=CA=×6=3．
故答案为3．
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线互相平分即可求解．
16．如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设，交于点，
四边形为菱形，
，．
，，
，．
四边形是平行四边形．
．即阴影部分的面积等于的面积．
的面积等于菱形的面积的一半，菱形的面积，
图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
【分析】
根据已知条件可得，四边形是平行四边形．则，阴影部分的面积等于的面积．根据菱形的性质即可求解．
17．如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是　 　cm．
【答案】45
【知识点】“引葭赴岸”模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
设水深h厘米，由题意得：中，，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得．
故答案为：45．
【分析】勾股定理的应用，可设水深h厘米，则，，，再利用勾股定理计算即可．
18．如图，在中，，于点，延长于点，，交于，延长与的延长线交于点.下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤线段与互相平分.其中正确的结论有　 　个.
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，故②正确；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确，
在和中，只有三个角相等，没有边相等，
∴与不全等，故④错误．
若点是的中点，
∵，，
∴，
则，
∴，
∵点不一定是的中点，
则不一定成立
则线段与互相平分，不一定成立，故⑤错误，
故答案为：3．
【分析】①根据等腰直角三角形的性质可求；②根据余角的性质和平行四边形的性质可求；③根据“”可证，进而可得；④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则和不全等，⑤假设是的中点，进而由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，而没有这个条件，故⑤不正确．
三、解答题：本题共8个小题，共66分。
19．如图，直线AE//BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，求∠EAC的度数．
【答案】解：∵AC⊥BA，
∴∠CAB=90°，
∵∠ABC=54°，
∴∠C=90°-54°=36°，
∵AE//BC，
∴∠CAE=∠C=36°．
【知识点】直角三角形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】根据直角三角形的两个锐角互余和平行线的性质求解即可．
20．如图，D、 E 、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H.求证：DF=EH.
【答案】证明：∵D、F分别是△ABC三边的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=AC，
∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，
∴EH=AC，
∴DF=EH．
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由三角形的中位线的性质可得DF=AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=AC，从而得证．
21．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，，点F在边AB上，EF//BC．求证：
（1）四边形BDEF是平行四边形；
（2）．
【答案】（1）证明：如图，延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG=∠AEC=90°
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAE=∠CAE
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA），
∴GE=CE
∵BD=CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE//AB
∵EF//BC，
∴四边形BDEF是平行四边形
（2）证明：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE，
∵D，E分别是BC，GC的中点，
∴
∵△AGE≌△ACE，
∴AG=AC
∴．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证明△AGE≌△ACE，从而得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理得到DE∥AB，再结合条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB AC）．
22．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
【答案】解：（1）证明：∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．
又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°．
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；三角形的外角和
【解析】【分析】本题综合考查直角三角形全等的HL判定方法，以及直角三角形的性质、全等三角形的性质和三角形外角性质，需熟练掌握这些知识点的综合运用.（1）由AE＝DB推出AB＝DE，利用HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，再根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，最后利用三角形外角的性质求出∠BOF=78°．
23．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，使点G与点D重合．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求GF的长．
【答案】（1）解：由翻折的性质得，，
矩形的对边，
，
，
；
（2）解：由翻折的性质得，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
又由（1）可知，，
，
由翻折的性质得，．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）由翻折的性质可得，由两直线平行，内错角相等可得，然后得出，进而可得；
（2）由翻折的性质可得，设，则，再根据勾股定理列出方程，于是有，进而得到．
24．如图，在中，，，，．
（1）求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴的长为1
（2）证明：∵，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理即可；
（2）先利用（1）的结论可得，然后在中利用勾股定理求出的长，从而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可．
（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴的长为1；
（2）证明：∵，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
25．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（0＜t≤10）．过点作于点，连接，．
（1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
（2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明：能．理由如下：
在中，，，，
，
又，
，
，，
∴AE∥DF，
又，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，即，
解得．
当秒时，四边形为菱形．
（2）①当时，由（1）知四边形为平行四边形，
∴EF∥AD，
，
，
，
，
又，即，
解得；
②当时，四边形为矩形，
在中，
∴，
，即，
解得．
③若，则与重合，与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当或5秒时，为直角三角形．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）先说明四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，列出方程，即可解决问题；
（2）分三种情形讨论：①当∠DEF=90°时，②当∠EDF=90°时．③当∠EFD=90°，分别求解即可；注意分类讨论的思想和方程思想的应用．
26．如图，已知菱形，点是线段上的动点，以为边向右侧作等边，连结．
（1）求证：；
（2）设，求证：；
（3）设，当时，求的长（用含的代数式表示）
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，点在线段上，∴由菱形的对称性可得，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：当在线段上时，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；含60°角的菱形
【解析】【分析】（1）由菱形的对称性可得，由等边三角形的性质得，进而得；
（2）利用三角形的外角的性质可得，进而可得结论；
（3）过作于，由，得，由，可得是等腰直角三角形，设，则，可得，进而即可求解．
（1）证明：∵四边形是菱形，点在线段上，
∴由菱形的对称性可得，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：如图1中，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴与关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：当在线段上时，过作于，如图：
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑