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广西柳州市柳城县中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题
一、单选题（每题5分）
1．已知复数z满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题可得.
故答案为：B
【分析】利用复数的除法运算法则，将分子分母同乘分母的共轭复数，化简后求出复数z。
2．已知，向量与的夹角为，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：或（舍）.
故答案为：B.
【分析】利用和数量积的运算律以及已知条件，从而求出的值.
3．在中，若，则是（　　）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由余弦定理可得，则.
故答案为：A.
【分析】将余弦定理代入已知等式，化简后得到边的关系，进而判断三角形的形状。
4．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：的面积为6，则的面积为.
故答案为：A.
【分析】根据直观图与原图面积关系求解即可.
5．设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，得到，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，
故答案为：C.
【分析】先通过复数除法运算化简z，再求其共轭复数z，最后根据复数的几何意义确定z在复平面内对应点的坐标。
6．某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（　　）
A．300 B．400 C．600 D．1200
【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可得，，
解得，
所以成绩在内的学生人数为．
故答案为：B．
【分析】先利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1可得，再结合题意即可求解．
7．小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：馒头的体积为，
火腿的体积为.
故答案为：B.
【分析】分别利用半球体积公式计算馒头的体积，将火腿肠拆解为圆柱和半圆柱两部分，结合圆柱体积公式计算火腿的体积。
8．在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；解三角形
【解析】【解答】解：连接、，由题可得，又，
则四边形为平行四边形，则，
即，所成角，即为与所成角或其补角，
又由题可得，，
则.
因此，异面直线，所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】利用长方体中棱的平行关系，将异面直线所成角转化为共面直线所成角，再通过余弦定理求解。
二、多选题（每题6分）
9．已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（　　）
A．复数的虚部为
B．
C．
D．若复数z满足，则最小值为
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A，由复数的定义可知复数的虚部为，故A正确；
B，因为两个复数不能比较大小，故B错误；
C，设，则，而，故只有当，即复数为实数时，成立，故C错误；
D，因为，所以复数所对应的点在以原点为圆心的单位圆上，
又因为，
所以表示点到单位圆上点的距离，
又因为点到原点的距离，
所以最小值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】结合复数的基本定义、复数不能比较大小的性质、复数模的运算及复数的几何意义，逐一分析选项正误。
10．已知，是空间中的两个不同的平面，，，是三条不同的直线．下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】B,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：A，若，，此时有可能在平面内，并不一定，故A错误；
B，若，，则，又，所以，故B正确；
C，若，，则或，又，则两平面相交或平行，故C错误；
D，因为，，根据一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，
那么它也垂直于另一个平面，可得.
又因为，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以，故D正确.
故答案为：BD
【分析】依据空间点、线、面的位置关系定理（线面平行、面面垂直、线面垂直的判定与性质），逐一分析命题的逻辑合理性。
11．（多选）为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图．已知该企业男员工占，则下列结论错误的是（　　）
A．男、女员工得分在A区间的占比相同
B．在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数
C．得分在C区间的员工最多
D．得分在D区间的员工占总人数的19%
【答案】B,C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】根据题意，设员工总人数为，因为女员工人数为（人），
所以，解得，所以男员工人数为（人），
A，女员工得分在区间的占比为，男员工得分在区间的占比为，故A正确；
B，由题图1可知，女员工在区间有20人，区间有60人，区间有70人，区间有50人，
男员工在区间有（人），区间有（人），区间有（人），区间有（人），所以区间男员工少于女员工，故B错误；
C，区间有（人），区间有（人），所以区间人数比C区间多，故C错误；
D，区间有（人），所以得分在区间的员工占总人数的，故D正确．
故答案为：BC．
【分析】先根据女员工人数和男员工占比求出总人数、男员工人数，再分别计算男女员工在各区间的人数，逐一验证选项结论的正误。
三、填空题（每题5分）
12．样本数据11，14，5，6，8，1，3，9的下四分位数是　 　．
【答案】4
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将样本数据从小到大排列得1，3，5，6，8，9，11，14，由，
得样本数据的下四分位数是排序后的第二个和第三个数据的平均数，为．
故答案为：4.
【分析】先将样本数据排序，再根据四分位数的计算方法（下四分位数为第 25 百分位数）确定位置，计算对应数值。
13．已知向量，为单位向量，且，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
又向量，为单位向量，则．
故答案为：．
【分析】利用向量数量积的运算律展开式子，结合单位向量和向量垂直的数量积性质代入计算。
14．已知二面角是直二面角，P是棱AB上一点，PE，PF分别在平面，内，，那么的大小是　 　．
【答案】
【知识点】二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：取，作，垂足为点，连结，，
因为，
所以，所以
因为二面角是直二面角，所以，，所以，
所以是等边三角形，
故答案为：
【分析】通过作辅助线将二面角的垂直关系转化为线线垂直，结合三角函数求出线段长度，再利用等边三角形的判定求角的大小。
四、解答题
15．已知复数，（，为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）解：复数，，
则，
因为复数为纯虚数，所以，解得；
（2）解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得；
所以实数的取值范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）先根据复数的加法运算求得，再根据复数为纯虚数，列出方程组，求解即可；
（2）根据复数代数形式的乘除运算化简得到，再根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，求解即可.
（1）解：由复数，，
可得，
因为复数为纯虚数，所以，解得．
（2）解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得
所以实数的取值范围为．
16．已知向量．
（1）求证：三点共线．
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：∵，故三点共线；
（2）解：，，
则有，即，解得
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】(1) 通过向量加法求出，证明其与共线，结合公共点证三点共线；
(2) 分别表示出和，根据向量相等列方程组求解。
（1）证明：∵，故三点共线；
（2），，
则有，即，解得
17．已知的内角所对的边分别为，，.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的周长.
【答案】（1）解：，，，
所以可化为，
由正弦定理得，由余弦定理得，
，
（2）解：因为，所以为的中点，
所以，
所以，
即，
由余弦定理，即，
所以，，所以，
所以的周长为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用三角恒等变换化简条件，结合正弦定理、余弦定理求角B；
(2) 由向量关系得D为AC中点，对BD平方后结合余弦定理求ac和a+c，进而求周长。
（1），，，
所以可化为，
由正弦定理得，由余弦定理得，
，
（2）因为，所以为的中点，
所以，
所以，
即，
由余弦定理，即，
所以，，所以，
所以的周长为.
18．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．
（1）求证：、、、四点共面；
（2）设与交于点，求证：、、三点共线．
【答案】（1）证明：因为、分别是、的中点，所以，
又因为、分别在、上，且，所以，，
所以、、、四点共面；
（2）证明：因为与交于点，所以在面内，
同理在面内，
又因为面面，所以在直线上，所以三点共线．
【知识点】三点共线；空间点、线、面的位置
【解析】【分析】（1）利用中位线定理、平行线的性质，结合基本事实证明 、、、四点共面即可 ；
（2）由与交于点，可得在面内，同理在面内，根据面面交成线进行证明即可.
（1）因为、分别是、的中点，
所以，
又因为、分别在、上，且．
所以，于是有，
所以、、、四点共面；
（2）∵EG与HF交于点P，
∴P在面ABC内，
同理P在面DAC内.
又∵面面，
∴P在直线AC上，∴P、A、C三点共线．
19．如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2.
（1）求四棱锥的体积；
（2）证明：
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）解：∵是边长为2的正三角形，为中点，∴，
又∵平面平面，平面平面
∴平面
又平面，∴
∴为二面角的平面角，
∴
又，∴∴底面为正方形.
∴四棱的体积.
（2）证明：因为，，，所以平面，
又因为平面，∴
在正方形中，易知
∴
而，
∴∴
∵，∴平面
∵平面，
∴.
（3）设，连接，.
∵平面. 所以PO是PM在平面内射影，
∴为直线与平面所成的角
∵，∴，
∴
又，
∴
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先根据面面垂直、线面垂直性质，证明为二面角的平面角，根据正切值可得底面为正方形边长，利用锥体的体积公式计算即可求解；
（2）利用线面垂直的判定、性质定理证明平面，利用线面垂直性质即可证明；
（3）由平面可得为直线与平面所成的角，解直角三角形，计算其正弦值即可.
（1）解：∵是边长为2的正三角形，为中点，∴，
又∵平面平面，平面平面
∴平面
又平面，∴
∴为二面角的平面角，
∴
又，∴∴底面为正方形.
∴四棱的体积.
（2）证明：由（1）知，平面，平面，
∴
在正方形中，易知
∴
而，
∴∴
∵，∴平面
∵平面，
∴.
（3）设，连接，.
∵平面.
∴为直线与平面所成的角
∵，∴，
∴
又，
∴
∴直线与平面所成角的正弦值为.
1 / 1广西柳州市柳城县中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题
一、单选题（每题5分）
1．已知复数z满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知，向量与的夹角为，则（　　）
A．1 B． C． D．
3．在中，若，则是（　　）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
4．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（　　）
A．300 B．400 C．600 D．1200
7．小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分）
9．已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（　　）
A．复数的虚部为
B．
C．
D．若复数z满足，则最小值为
10．已知，是空间中的两个不同的平面，，，是三条不同的直线．下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
11．（多选）为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图．已知该企业男员工占，则下列结论错误的是（　　）
A．男、女员工得分在A区间的占比相同
B．在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数
C．得分在C区间的员工最多
D．得分在D区间的员工占总人数的19%
三、填空题（每题5分）
12．样本数据11，14，5，6，8，1，3，9的下四分位数是　 　．
13．已知向量，为单位向量，且，则　 　．
14．已知二面角是直二面角，P是棱AB上一点，PE，PF分别在平面，内，，那么的大小是　 　．
四、解答题
15．已知复数，（，为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
16．已知向量．
（1）求证：三点共线．
（2）若，求的值．
17．已知的内角所对的边分别为，，.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的周长.
18．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且．
（1）求证：、、、四点共面；
（2）设与交于点，求证：、、三点共线．
19．如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2.
（1）求四棱锥的体积；
（2）证明：
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题可得.
故答案为：B
【分析】利用复数的除法运算法则，将分子分母同乘分母的共轭复数，化简后求出复数z。
2．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：或（舍）.
故答案为：B.
【分析】利用和数量积的运算律以及已知条件，从而求出的值.
3．【答案】A
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由余弦定理可得，则.
故答案为：A.
【分析】将余弦定理代入已知等式，化简后得到边的关系，进而判断三角形的形状。
4．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：的面积为6，则的面积为.
故答案为：A.
【分析】根据直观图与原图面积关系求解即可.
5．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，得到，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，
故答案为：C.
【分析】先通过复数除法运算化简z，再求其共轭复数z，最后根据复数的几何意义确定z在复平面内对应点的坐标。
6．【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可得，，
解得，
所以成绩在内的学生人数为．
故答案为：B．
【分析】先利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1可得，再结合题意即可求解．
7．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：馒头的体积为，
火腿的体积为.
故答案为：B.
【分析】分别利用半球体积公式计算馒头的体积，将火腿肠拆解为圆柱和半圆柱两部分，结合圆柱体积公式计算火腿的体积。
8．【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；解三角形
【解析】【解答】解：连接、，由题可得，又，
则四边形为平行四边形，则，
即，所成角，即为与所成角或其补角，
又由题可得，，
则.
因此，异面直线，所成角的余弦值为.
故答案为：B.
【分析】利用长方体中棱的平行关系，将异面直线所成角转化为共面直线所成角，再通过余弦定理求解。
9．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：A，由复数的定义可知复数的虚部为，故A正确；
B，因为两个复数不能比较大小，故B错误；
C，设，则，而，故只有当，即复数为实数时，成立，故C错误；
D，因为，所以复数所对应的点在以原点为圆心的单位圆上，
又因为，
所以表示点到单位圆上点的距离，
又因为点到原点的距离，
所以最小值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】结合复数的基本定义、复数不能比较大小的性质、复数模的运算及复数的几何意义，逐一分析选项正误。
10．【答案】B,D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：A，若，，此时有可能在平面内，并不一定，故A错误；
B，若，，则，又，所以，故B正确；
C，若，，则或，又，则两平面相交或平行，故C错误；
D，因为，，根据一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，
那么它也垂直于另一个平面，可得.
又因为，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以，故D正确.
故答案为：BD
【分析】依据空间点、线、面的位置关系定理（线面平行、面面垂直、线面垂直的判定与性质），逐一分析命题的逻辑合理性。
11．【答案】B,C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】根据题意，设员工总人数为，因为女员工人数为（人），
所以，解得，所以男员工人数为（人），
A，女员工得分在区间的占比为，男员工得分在区间的占比为，故A正确；
B，由题图1可知，女员工在区间有20人，区间有60人，区间有70人，区间有50人，
男员工在区间有（人），区间有（人），区间有（人），区间有（人），所以区间男员工少于女员工，故B错误；
C，区间有（人），区间有（人），所以区间人数比C区间多，故C错误；
D，区间有（人），所以得分在区间的员工占总人数的，故D正确．
故答案为：BC．
【分析】先根据女员工人数和男员工占比求出总人数、男员工人数，再分别计算男女员工在各区间的人数，逐一验证选项结论的正误。
12．【答案】4
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将样本数据从小到大排列得1，3，5，6，8，9，11，14，由，
得样本数据的下四分位数是排序后的第二个和第三个数据的平均数，为．
故答案为：4.
【分析】先将样本数据排序，再根据四分位数的计算方法（下四分位数为第 25 百分位数）确定位置，计算对应数值。
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
又向量，为单位向量，则．
故答案为：．
【分析】利用向量数量积的运算律展开式子，结合单位向量和向量垂直的数量积性质代入计算。
14．【答案】
【知识点】二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：取，作，垂足为点，连结，，
因为，
所以，所以
因为二面角是直二面角，所以，，所以，
所以是等边三角形，
故答案为：
【分析】通过作辅助线将二面角的垂直关系转化为线线垂直，结合三角函数求出线段长度，再利用等边三角形的判定求角的大小。
15．【答案】（1）解：复数，，
则，
因为复数为纯虚数，所以，解得；
（2）解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得；
所以实数的取值范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）先根据复数的加法运算求得，再根据复数为纯虚数，列出方程组，求解即可；
（2）根据复数代数形式的乘除运算化简得到，再根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，求解即可.
（1）解：由复数，，
可得，
因为复数为纯虚数，所以，解得．
（2）解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得
所以实数的取值范围为．
16．【答案】（1）证明：∵，故三点共线；
（2）解：，，
则有，即，解得
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】(1) 通过向量加法求出，证明其与共线，结合公共点证三点共线；
(2) 分别表示出和，根据向量相等列方程组求解。
（1）证明：∵，故三点共线；
（2），，
则有，即，解得
17．【答案】（1）解：，，，
所以可化为，
由正弦定理得，由余弦定理得，
，
（2）解：因为，所以为的中点，
所以，
所以，
即，
由余弦定理，即，
所以，，所以，
所以的周长为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用三角恒等变换化简条件，结合正弦定理、余弦定理求角B；
(2) 由向量关系得D为AC中点，对BD平方后结合余弦定理求ac和a+c，进而求周长。
（1），，，
所以可化为，
由正弦定理得，由余弦定理得，
，
（2）因为，所以为的中点，
所以，
所以，
即，
由余弦定理，即，
所以，，所以，
所以的周长为.
18．【答案】（1）证明：因为、分别是、的中点，所以，
又因为、分别在、上，且，所以，，
所以、、、四点共面；
（2）证明：因为与交于点，所以在面内，
同理在面内，
又因为面面，所以在直线上，所以三点共线．
【知识点】三点共线；空间点、线、面的位置
【解析】【分析】（1）利用中位线定理、平行线的性质，结合基本事实证明 、、、四点共面即可 ；
（2）由与交于点，可得在面内，同理在面内，根据面面交成线进行证明即可.
（1）因为、分别是、的中点，
所以，
又因为、分别在、上，且．
所以，于是有，
所以、、、四点共面；
（2）∵EG与HF交于点P，
∴P在面ABC内，
同理P在面DAC内.
又∵面面，
∴P在直线AC上，∴P、A、C三点共线．
19．【答案】（1）解：∵是边长为2的正三角形，为中点，∴，
又∵平面平面，平面平面
∴平面
又平面，∴
∴为二面角的平面角，
∴
又，∴∴底面为正方形.
∴四棱的体积.
（2）证明：因为，，，所以平面，
又因为平面，∴
在正方形中，易知
∴
而，
∴∴
∵，∴平面
∵平面，
∴.
（3）设，连接，.
∵平面. 所以PO是PM在平面内射影，
∴为直线与平面所成的角
∵，∴，
∴
又，
∴
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先根据面面垂直、线面垂直性质，证明为二面角的平面角，根据正切值可得底面为正方形边长，利用锥体的体积公式计算即可求解；
（2）利用线面垂直的判定、性质定理证明平面，利用线面垂直性质即可证明；
（3）由平面可得为直线与平面所成的角，解直角三角形，计算其正弦值即可.
（1）解：∵是边长为2的正三角形，为中点，∴，
又∵平面平面，平面平面
∴平面
又平面，∴
∴为二面角的平面角，
∴
又，∴∴底面为正方形.
∴四棱的体积.
（2）证明：由（1）知，平面，平面，
∴
在正方形中，易知
∴
而，
∴∴
∵，∴平面
∵平面，
∴.
（3）设，连接，.
∵平面.
∴为直线与平面所成的角
∵，∴，
∴
又，
∴
∴直线与平面所成角的正弦值为.
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