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广西壮族自治区柳州市第三中学2024-2025学年高一下学期2月开学考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】解：原不等式即为，即，解得，
故原不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】 先将一元二次不等式化为标准形式，再因式分解后根据 “小于取中间” 的原则求解解集。
2．已知函数，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，则，
则，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】有两种方法求解：换元法求解析式后代值，或直接凑出2x+1=3求x后代入，核心是利用复合函数的变量替换关系。
3．下列函数是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】A，在上单调递减，故A错误，
B，在和上单调递增，在定义域上不是单调递增函数，故B错误，
C，在上单调递减，在上单调递增，故C错误，
D，在上单调递增，故D正确。
故答案为：D.
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数、立方根函数的单调性定义，逐一分析各选项函数的单调区间，判断是否为定义域内的增函数。
4．设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为偶函数，则，，
又因为其在区间上单调递减，则，
即.
故答案为：A.
【分析】先利用偶函数的性质将负自变量转化为正自变量，再结合函数在[0，4]上的单调性比较函数值大小。
5．若，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意得，，，
所以.
故答案为：B
【分析】分别利用对数函数和指数（幂）函数的单调性，将a、b、c与1或同底数 或 同指数的量比较，进而确定三者大小关系。
6．已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得，得或，
因角的终边在第二象限，则.
故答案为：A
【分析】根据任意角的三角函数定义列出sinα的表达式，解方程求出m的可能值，再结合角α的终边在第二象限的符号特征确定m的最终值。
7．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】通过角的配凑将转化为，再利用三角函数的诱导公式求解。
8．若函数在上单调递减，在上单调递增，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得，函数的图象经过原点，且在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
又，，解得.
故答案为：B.
【分析】根据函数的单调性确定极值点位置，结合正弦函数的周期特征求出周期，再利用周期公式（）求解。
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分．
9．已知、都是正数，且满足，则下列说法正确的是（　　）
A．的最大值为1 B．的最小值为1
C．的最小值为2 D．的最大值为2
【答案】A,C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：、，且满足，
，解得，当且仅当时等号成立，故A正确，B错误；
，
当且仅当，即时等号成立，故C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断AB；利用基本不等式“1”的妙用求解即可判断CD.
10．下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】三角函数诱导公式二~六；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】A，因，故A正确；
B，因，因，函数在上单调递减，
故，故B正确；
C，因，
因，函数在上单调递增，则，
故，故C错误；
D，因，故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用诱导公式将三角函数化为同名、同单调区间的形式，再结合正、余弦函数的单调性，或直接计算函数值符号或大小，逐一判断不等式是否成立。
11．已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，，得，，
又，，
解得，，故A正确，B错误，
则，，故C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】先根据的符号和的范围确定、的符号，再结合同角三角函数的基本关系（、）求出和的具体值，最后验证各选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：.
故答案为：3.
【分析】将分式的分子、分母同时除以cosθ，把式子转化为仅含tanθ的形式，再代入已知值计算。
13．函数的最小正周期是，则　 　．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期是，
所以可得，解得，
故答案为：.
【分析】根据余弦型函数的周期公式（其中为的系数），代入已知周期求解的值。
14．若“”是真命题，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：是真命题，
当时，不等式为，即，不符合题意；
则，解得，故的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分和讨论，结合二次函数恒成立列式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共67分
15．（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
【答案】（1）解：因为函数是一次函数，则设.
由于，所以
所以.化简得：
这是一个恒等式，所以，且.
所以.
所以函数的解析式为.
（2）解：，
令，.
所以.
所以函数的解析式为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1) 设一次函数解析式，代入后根据恒等式性质列方程求参数；
(2) 先对解析式右边变形，再用换元法，结合换元后变量的取值范围确定函数解析式。
16．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：因为，所以，
解得，
（2）解：因为，所以，
所以，可得，，
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】(1) 利用诱导公式化简已知条件，直接求出的值；
(2) 先由的值求出，再对化简，代入求值。
（1）因为，所以，
解得，
（2）因为，所以，
所以，可得，，
17．已知函数．
（1）若，，求；
（2）求，的值域．
【答案】（1）解：由，得，
所以，
因为，所以；
（2）解：因为，
所以，
由，得，则，
所以，所以，
所以所求函数的值域为.
【知识点】余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】(1) 利用诱导公式将转化为余弦形式，结合的取值范围求解；
(2) 先确定的取值范围，再根据余弦函数的单调性求值域。
（1）由，得，
所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
由，得，则，
所以，所以，
所以所求函数的值域为.
18．某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%．
（1）写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？
（参考数据：，，，，）
【答案】（1）解：第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（万元），
则，其定义域为；
（2）解：由（1）得，即，
所以，即，
所以，又，
故该企业从第9年开始投入的研发资金将超过600万元.
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】(1) 根据每年研发资金的增长规律，建立等比数列模型，写出函数关系式并确定定义域；
(2) 列出不等式，利用对数运算求解不等式，结合正整数的取值确定年份。
（1）第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（万元），
则，其定义域为；
（2）由（1）得，即，
所以，即，
所以，又，
故该企业从第9年开始投入的研发资金将超过600万元.
19．已知函数．
（1）求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域．
【答案】（1）解：因为，
所以最小正周期为；振幅为；初相为；
对称轴方程为，解得.
（2）解：由题意知，.
因为，所以，所以.
所以.
故函数的值域为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 根据正弦型函数的性质，分别求最小正周期、振幅、初相，再通过解方程求对称轴方程；
(2) 先由图象平移规律得解析式，再根据的范围确定内层函数的取值，结合余弦函数单调性求值域。
（1）因为，
所以最小正周期为；振幅为；初相为；
对称轴方程为，解得.
（2）由题意知，.
因为，所以，所以.
所以.
故函数的值域为.
1 / 1广西壮族自治区柳州市第三中学2024-2025学年高一下学期2月开学考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列函数是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（　　）
A． B．
C． D．
5．若，，，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（　　）
A． B． C．2 D．
7．若，则（　　）
A． B． C． D．
8．若函数在上单调递减，在上单调递增，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分．
9．已知、都是正数，且满足，则下列说法正确的是（　　）
A．的最大值为1 B．的最小值为1
C．的最小值为2 D．的最大值为2
10．下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则的值为　 　．
13．函数的最小正周期是，则　 　．
14．若“”是真命题，则的取值范围是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共67分
15．（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
16．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．已知函数．
（1）若，，求；
（2）求，的值域．
18．某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%．
（1）写出第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（单位：万元）与的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？
（参考数据：，，，，）
19．已知函数．
（1）求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】解：原不等式即为，即，解得，
故原不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】 先将一元二次不等式化为标准形式，再因式分解后根据 “小于取中间” 的原则求解解集。
2．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，则，
则，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】有两种方法求解：换元法求解析式后代值，或直接凑出2x+1=3求x后代入，核心是利用复合函数的变量替换关系。
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】A，在上单调递减，故A错误，
B，在和上单调递增，在定义域上不是单调递增函数，故B错误，
C，在上单调递减，在上单调递增，故C错误，
D，在上单调递增，故D正确。
故答案为：D.
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数、立方根函数的单调性定义，逐一分析各选项函数的单调区间，判断是否为定义域内的增函数。
4．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为偶函数，则，，
又因为其在区间上单调递减，则，
即.
故答案为：A.
【分析】先利用偶函数的性质将负自变量转化为正自变量，再结合函数在[0，4]上的单调性比较函数值大小。
5．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意得，，，
所以.
故答案为：B
【分析】分别利用对数函数和指数（幂）函数的单调性，将a、b、c与1或同底数 或 同指数的量比较，进而确定三者大小关系。
6．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得，得或，
因角的终边在第二象限，则.
故答案为：A
【分析】根据任意角的三角函数定义列出sinα的表达式，解方程求出m的可能值，再结合角α的终边在第二象限的符号特征确定m的最终值。
7．【答案】A
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】通过角的配凑将转化为，再利用三角函数的诱导公式求解。
8．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得，函数的图象经过原点，且在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
又，，解得.
故答案为：B.
【分析】根据函数的单调性确定极值点位置，结合正弦函数的周期特征求出周期，再利用周期公式（）求解。
9．【答案】A,C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：、，且满足，
，解得，当且仅当时等号成立，故A正确，B错误；
，
当且仅当，即时等号成立，故C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断AB；利用基本不等式“1”的妙用求解即可判断CD.
10．【答案】A,B,D
【知识点】三角函数诱导公式二~六；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】A，因，故A正确；
B，因，因，函数在上单调递减，
故，故B正确；
C，因，
因，函数在上单调递增，则，
故，故C错误；
D，因，故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用诱导公式将三角函数化为同名、同单调区间的形式，再结合正、余弦函数的单调性，或直接计算函数值符号或大小，逐一判断不等式是否成立。
11．【答案】A,C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，，得，，
又，，
解得，，故A正确，B错误，
则，，故C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】先根据的符号和的范围确定、的符号，再结合同角三角函数的基本关系（、）求出和的具体值，最后验证各选项。
12．【答案】3
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：.
故答案为：3.
【分析】将分式的分子、分母同时除以cosθ，把式子转化为仅含tanθ的形式，再代入已知值计算。
13．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期是，
所以可得，解得，
故答案为：.
【分析】根据余弦型函数的周期公式（其中为的系数），代入已知周期求解的值。
14．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：是真命题，
当时，不等式为，即，不符合题意；
则，解得，故的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分和讨论，结合二次函数恒成立列式求解即可.
15．【答案】（1）解：因为函数是一次函数，则设.
由于，所以
所以.化简得：
这是一个恒等式，所以，且.
所以.
所以函数的解析式为.
（2）解：，
令，.
所以.
所以函数的解析式为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1) 设一次函数解析式，代入后根据恒等式性质列方程求参数；
(2) 先对解析式右边变形，再用换元法，结合换元后变量的取值范围确定函数解析式。
16．【答案】（1）解：因为，所以，
解得，
（2）解：因为，所以，
所以，可得，，
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】(1) 利用诱导公式化简已知条件，直接求出的值；
(2) 先由的值求出，再对化简，代入求值。
（1）因为，所以，
解得，
（2）因为，所以，
所以，可得，，
17．【答案】（1）解：由，得，
所以，
因为，所以；
（2）解：因为，
所以，
由，得，则，
所以，所以，
所以所求函数的值域为.
【知识点】余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】(1) 利用诱导公式将转化为余弦形式，结合的取值范围求解；
(2) 先确定的取值范围，再根据余弦函数的单调性求值域。
（1）由，得，
所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
由，得，则，
所以，所以，
所以所求函数的值域为.
18．【答案】（1）解：第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（万元），
则，其定义域为；
（2）解：由（1）得，即，
所以，即，
所以，又，
故该企业从第9年开始投入的研发资金将超过600万元.
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】(1) 根据每年研发资金的增长规律，建立等比数列模型，写出函数关系式并确定定义域；
(2) 列出不等式，利用对数运算求解不等式，结合正整数的取值确定年份。
（1）第年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金（万元），
则，其定义域为；
（2）由（1）得，即，
所以，即，
所以，又，
故该企业从第9年开始投入的研发资金将超过600万元.
19．【答案】（1）解：因为，
所以最小正周期为；振幅为；初相为；
对称轴方程为，解得.
（2）解：由题意知，.
因为，所以，所以.
所以.
故函数的值域为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 根据正弦型函数的性质，分别求最小正周期、振幅、初相，再通过解方程求对称轴方程；
(2) 先由图象平移规律得解析式，再根据的范围确定内层函数的取值，结合余弦函数单调性求值域。
（1）因为，
所以最小正周期为；振幅为；初相为；
对称轴方程为，解得.
（2）由题意知，.
因为，所以，所以.
所以.
故函数的值域为.
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