资源简介

江苏省连云港市东海城北高级中学2024-2025学年高一下学期期中考前综合训练数学试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知复数z满足，则复数z对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
则复数在复平面内对应点，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数代数形式的除法运算法则，求得，再结合复数的几何意义判断即可.
2．已知为的三个内角，下列各式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A成立；
B、因为，所以，故B成立；
C、因为，所以，故C成立；
D、因为，所以，故D不成立．
故答案为：D.
【分析】利用三角形的内角和，结合三角函数诱导公式逐项判断即可．
3．已知向量，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由，，可得，
则，.
故答案为：B.
【分析】利用向量的坐标运算求得，以及的坐标，再根据向量模的坐标表示求解即可.
4．设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：由，，可得，
因为三点共线，所以存在实数使得，
则，即 ，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的向量表示求解即可.
5．已知，是方程的两个根，则的值为（　　）．
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意得，，，
则．
故答案为：B．
【分析】利用韦达定理，结合两角和的正切公式求解即可．
6．已知，都是锐角，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，，，，
所以，所以，，
则
.
故答案为：C.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合两角差的余弦公式求解即可.
7．设，，，则有（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
，
，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】分别利用正切的二倍角公式，两角和正弦公式以及余弦的二倍角公式化简，即可判断大小.
8．在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，，
则，即，
，解得，，
因为，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式求解即可.
二、多选题（每题6分，共18分）
9．在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若是锐角三角形，则
C．若，则
D．若，且，则内切圆半径为
【答案】A,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由，可得，由正弦定理可得，故A正确；
B、由为锐角三角形，可得，即，
，故B错误；
C、 若， 由正弦定理得，故C正确；
D、若，则，，可得，
所以，则，
设的内切圆半径为r，则，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正弦定理和三角形的面积公式，以及锐角三角形的性质逐项判断即可.
10．如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（　　）
A．观测点位于处的北偏东方向
B．当天10：00时，该船到观测点的距离为
C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D．该船在由行驶至的这内行驶了
【答案】A,C,D
【知识点】正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：A、，，
因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确；
B、在中，，，则，
因为，所以km，故B错误；
C、在中，，，则，
由正弦定理得AB=km，故C正确；
D、在中，由余弦定理得
，
即km，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】利用方位角的概念即可判断A；易知为等腰直角三角形，求斜边长即可判断B；在中，利用正弦定理求解即可判断C；在中，利用余弦定理求解即可判断D．
11．在中，已知，，，且为边上一点，则下列说法正确的是（　　）
A．的外接圆半径 B．若是边上的高，则
C．若是的平分线，则 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由余弦定理，
可得，由正弦定理的外接圆半径，故A正确；
B、若是边上的高，则，
即，故B错误；
C、若是的平分线，则，
则由得，
所以，故C正确；
D、因为，所以，
则，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先利用余弦定理求出，再利用由正弦定理求外接圆的半径即可判断A；利用等面积法求解即可判断B；若是的平分线，则，利用
求解即可判断C；由，可得，再两边平方，结合向量的数量积求解即可判断D.
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知向量，且，则向量与的夹角为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：将两边平方可得，
则，即，
则，因为，所以.
故答案为：.
【分析】将平方，结合已知条件求得，再利用向量夹角公式求解即可.
13．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是　 　．
【答案】2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
易知，，，，
由，解得，
即，，
则．
故答案为：2．
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求得相应点的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解即可.
14．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于　 　．
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在△ABC中，AB=AC=2，BC=，，
因为∠ADC=45°，所以，则.
故答案为：．【分析】利用已知条件得出的值，再结合∠ADC=45°和正弦定理得出AD的长.
四、解答题
15．已知复数，为虚数单位．
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值；
（3）若复数满足，求的最值．
【答案】（1）解：，则；
（2）解：方法一、因为复数是关于的方程的一个根，所以，
则，即，即，解得，；
方法二、若复数是关于的方程的一个根，则是该方程的另一个根，
由韦达定理得，解得；
（3）解：设，则，即，
即复数对应的点是以为圆心，为半径的圆，
表示复数对应的点与点间的距离，，
则，.
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的四则运算化简求得复数，再根据共轭复数的定义求解即可；
（2）法一：由（1）可得是方程的根，代入方程，结合复数相等求解即可；
法二：根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可；
（3）设，根据复数的模的计算公式求出复数对应的点的轨迹方程，据此求解即可.
（1），
所以；
（2）法一：因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
可得，即
所以，解得，；
法二：若复数是关于的方程的一个根，则是该方程的另一个根，
根据韦达定理得，，
解得；
（3）设，则，即，
所以复数对应的点是以为圆心，为半径的圆，
表示复数对应的点与点间的距离，
，
则，.
16． 设的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，角的平分线交边于，求的值.
【答案】（1）已知，由正弦定理得：，
整理可得，所以，
由于，所以.
（2）由得，
角的平分线交边于，得，
且，
，
，又，
联立解得或，
因为，
由角平分线定理可得，.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先用正弦定理角化边，再用余弦定理求解即可；
（2）由，可得，然后与联立，用角平分线定理即可得解
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）已知，若且，求的面积.
【答案】解：（1），由正弦定理得，
即，即，
因为在中，，所以，
又因为，所以；
（2）将两边平方得，
因为，，所以，解得，
则的面积为.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解即可；
（2）将两边平方的，求得，再根据三角形的面积公式求解即可.
18．已知函数．
（1）求函数的最小正周期及区间上的最大值和最小值；
（2）在中，若，角B为锐角，点D为线段BC延长线上一点，，，，求AD的长．
【答案】（1）解：函数，
最小正周期；
当时，，，则，
即函数在区间上的最大值为2，最小值为；
（2）解：在中，，角为锐角，则，因为，所以，
因为点为线段延长线上一点，，，所以，
在中，，，，
由余弦定理，解得．
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦、余弦的二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求解即可；
（2）由题意求出，根据为锐角三角形求出及，再在中，利用余弦定理求解即可．
（1）因为，
故，当时，，
所以，
所以，
即函数在区间上的最大值为2，最小值为；
（2）因为在中，，角为锐角，
所以，因为，所以，
因为点为线段延长线上一点，，，
所以，
中，，，，
由余弦定理得，，
故．
19．在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的值；
（2）若，判断的形状；
（3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，即，即，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：，由正弦定理以及商关系可得：，
则，即，
故为等边三角形；
（3）解：，
由正弦定理得，
则
因为为锐角三角形，则，所以，所以.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简判断即可；
（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式求解面积的取值范围即可.
（1）∵，
∴由正弦定理得，
即，
即，
即，
由余弦定理得，
∵，
∴；
（2）∵
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形.
（3）因为，
由正弦定理，得
所以
因为为锐角三角形，则，
从而，
所以.
1 / 1江苏省连云港市东海城北高级中学2024-2025学年高一下学期期中考前综合训练数学试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知复数z满足，则复数z对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知为的三个内角，下列各式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知向量，，则（　　）
A． B． C． D．
4．设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知，是方程的两个根，则的值为（　　）．
A． B． C． D．2
6．已知，都是锐角，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．设，，，则有（　　）．
A． B． C． D．
8．在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若是锐角三角形，则
C．若，则
D．若，且，则内切圆半径为
10．如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（　　）
A．观测点位于处的北偏东方向
B．当天10：00时，该船到观测点的距离为
C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D．该船在由行驶至的这内行驶了
11．在中，已知，，，且为边上一点，则下列说法正确的是（　　）
A．的外接圆半径 B．若是边上的高，则
C．若是的平分线，则 D．若，则
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知向量，且，则向量与的夹角为　 　．
13．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是　 　．
14．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于　 　．
四、解答题
15．已知复数，为虚数单位．
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值；
（3）若复数满足，求的最值．
16． 设的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，角的平分线交边于，求的值.
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）已知，若且，求的面积.
18．已知函数．
（1）求函数的最小正周期及区间上的最大值和最小值；
（2）在中，若，角B为锐角，点D为线段BC延长线上一点，，，，求AD的长．
19．在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的值；
（2）若，判断的形状；
（3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
则复数在复平面内对应点，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】先根据复数代数形式的除法运算法则，求得，再结合复数的几何意义判断即可.
2．【答案】D
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A成立；
B、因为，所以，故B成立；
C、因为，所以，故C成立；
D、因为，所以，故D不成立．
故答案为：D.
【分析】利用三角形的内角和，结合三角函数诱导公式逐项判断即可．
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由，，可得，
则，.
故答案为：B.
【分析】利用向量的坐标运算求得，以及的坐标，再根据向量模的坐标表示求解即可.
4．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：由，，可得，
因为三点共线，所以存在实数使得，
则，即 ，解得.
故答案为：A.
【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的向量表示求解即可.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意得，，，
则．
故答案为：B．
【分析】利用韦达定理，结合两角和的正切公式求解即可．
6．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，，，，
所以，所以，，
则
.
故答案为：C.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合两角差的余弦公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
，
，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】分别利用正切的二倍角公式，两角和正弦公式以及余弦的二倍角公式化简，即可判断大小.
8．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，，
则，即，
，解得，，
因为，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由，可得，由正弦定理可得，故A正确；
B、由为锐角三角形，可得，即，
，故B错误；
C、 若， 由正弦定理得，故C正确；
D、若，则，，可得，
所以，则，
设的内切圆半径为r，则，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正弦定理和三角形的面积公式，以及锐角三角形的性质逐项判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：A、，，
因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确；
B、在中，，，则，
因为，所以km，故B错误；
C、在中，，，则，
由正弦定理得AB=km，故C正确；
D、在中，由余弦定理得
，
即km，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】利用方位角的概念即可判断A；易知为等腰直角三角形，求斜边长即可判断B；在中，利用正弦定理求解即可判断C；在中，利用余弦定理求解即可判断D．
11．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由余弦定理，
可得，由正弦定理的外接圆半径，故A正确；
B、若是边上的高，则，
即，故B错误；
C、若是的平分线，则，
则由得，
所以，故C正确；
D、因为，所以，
则，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先利用余弦定理求出，再利用由正弦定理求外接圆的半径即可判断A；利用等面积法求解即可判断B；若是的平分线，则，利用
求解即可判断C；由，可得，再两边平方，结合向量的数量积求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：将两边平方可得，
则，即，
则，因为，所以.
故答案为：.
【分析】将平方，结合已知条件求得，再利用向量夹角公式求解即可.
13．【答案】2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
易知，，，，
由，解得，
即，，
则．
故答案为：2．
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求得相应点的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解即可.
14．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在△ABC中，AB=AC=2，BC=，，
因为∠ADC=45°，所以，则.
故答案为：．【分析】利用已知条件得出的值，再结合∠ADC=45°和正弦定理得出AD的长.
15．【答案】（1）解：，则；
（2）解：方法一、因为复数是关于的方程的一个根，所以，
则，即，即，解得，；
方法二、若复数是关于的方程的一个根，则是该方程的另一个根，
由韦达定理得，解得；
（3）解：设，则，即，
即复数对应的点是以为圆心，为半径的圆，
表示复数对应的点与点间的距离，，
则，.
【知识点】复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的四则运算化简求得复数，再根据共轭复数的定义求解即可；
（2）法一：由（1）可得是方程的根，代入方程，结合复数相等求解即可；
法二：根据实系数一元二次方程虚根成对原理，结合韦达定理求解即可；
（3）设，根据复数的模的计算公式求出复数对应的点的轨迹方程，据此求解即可.
（1），
所以；
（2）法一：因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
可得，即
所以，解得，；
法二：若复数是关于的方程的一个根，则是该方程的另一个根，
根据韦达定理得，，
解得；
（3）设，则，即，
所以复数对应的点是以为圆心，为半径的圆，
表示复数对应的点与点间的距离，
，
则，.
16．【答案】（1）已知，由正弦定理得：，
整理可得，所以，
由于，所以.
（2）由得，
角的平分线交边于，得，
且，
，
，又，
联立解得或，
因为，
由角平分线定理可得，.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先用正弦定理角化边，再用余弦定理求解即可；
（2）由，可得，然后与联立，用角平分线定理即可得解
17．【答案】解：（1），由正弦定理得，
即，即，
因为在中，，所以，
又因为，所以；
（2）将两边平方得，
因为，，所以，解得，
则的面积为.
【知识点】平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解即可；
（2）将两边平方的，求得，再根据三角形的面积公式求解即可.
18．【答案】（1）解：函数，
最小正周期；
当时，，，则，
即函数在区间上的最大值为2，最小值为；
（2）解：在中，，角为锐角，则，因为，所以，
因为点为线段延长线上一点，，，所以，
在中，，，，
由余弦定理，解得．
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦、余弦的二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求解即可；
（2）由题意求出，根据为锐角三角形求出及，再在中，利用余弦定理求解即可．
（1）因为，
故，当时，，
所以，
所以，
即函数在区间上的最大值为2，最小值为；
（2）因为在中，，角为锐角，
所以，因为，所以，
因为点为线段延长线上一点，，，
所以，
中，，，，
由余弦定理得，，
故．
19．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，即，即，
由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：，由正弦定理以及商关系可得：，
则，即，
故为等边三角形；
（3）解：，
由正弦定理得，
则
因为为锐角三角形，则，所以，所以.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简判断即可；
（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式求解面积的取值范围即可.
（1）∵，
∴由正弦定理得，
即，
即，
即，
由余弦定理得，
∵，
∴；
（2）∵
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形.
（3）因为，
由正弦定理，得
所以
因为为锐角三角形，则，
从而，
所以.
1 / 1

展开更多......

收起↑