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广东省佛山顺德区2026年中考一模数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各数中最小的是（　　）
A． B．- 3 C．0 D．1
【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-3＜-＜0＜1，
∴最小的数为-3.
故答案为：B.
【分析】比较几个数的大小即可得出答案。
2．国家知识产权局数据显示：截至 2025年，我国国内有效发明专利达5320000件，并连续多年位居全球第一.将数据“5320000”用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 5320000 =5.32×106.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范写法即可得出5320000 =5.32×106。
3．点（-3， 2)关于 y轴的对称点是（　　）
A．（-3， - 2) B．（3， 2)
C．（-3， 2) D．（3， - 2)
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点（-3， 2)关于 y轴的对称点是 （3，2）
故答案为：B.
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标之间的关系：横坐标相反，纵坐标相等，即可得出答案。
4．若实数 a、b满足aA．a-1【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜b，
∴ a-1当b＞0时：，当b＜0时：；
当a＜b＜0时：a2＞b2，
∴式子A成立；B，C，D均不成立
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质，逐项进行判断，即可得出答案。
5．下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y=5xy B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：左边不是同类项，不能合并，所以A计算不正确；
B ：，所以B计算不正确；
C ：，所以C计算不正确；
D： ，所以D计算正确
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则，可得出A不正确；根据同底数幂的乘法，可得出B不正确；根据积的乘方和幂的乘方可得出C不正确；根据完全平方公式可得出D正确。
6．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2)，即可得方程180（n﹣2)=1080，解此方程即可求得答案．
【解答】设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180（n﹣2)=1080，
解得：n=8．
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
7．在平行四边形ABCD中，AB=AD.添加一个条件，使得四边形ABCD为正方形，添加的条件可以为（　　）
A．AC=BD B．AC⊥BD C．AC平分BD D．AC平分∠BAD
【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：根据 在平行四边形ABCD中，AB=AD. 可得出四边形ABCD为菱形，
A： AC=BD 可得出四边形ABCD是矩形，故而四边形ABCD是正方形，所以A符合题意；
B： AC⊥BD可得出四边形ABCD是菱形，故而不能判定四边形ABCD是正方形，所以B不符合题意；
C： AC平分BD可得出四边形ABCD是平行四边形，故而仍不能判定四边形ABCD是正方形，所以C不符合题意；
D： AC平分∠BAD可得出四边形ABCD是菱形，故而不能判定四边形ABCD是正方形，所以D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的判定，逐项进行判断，即可得出答案。
8．若x1， x2是方程 的两个根，则 的值是（　　)
A．3 B．5 C．-15 D．15
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 若x1， x2是方程 的两个根，
∴，
∴=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
故答案为：D.
【分析】首先根据根与系数的关系可得出，进而即可得出=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
9．如图，点 A、B、C均在⊙O上，连接AO、BO、AC、BC.若∠AOB=70°， ∠A=50°，则∠OBC的度数为（　　)
A．15° B．20° C．25° D．35°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°，
∴∠C=35°，
∵∠A=50°，
∴∠OBC+∠AOB=∠A+∠C，
即∠OBC+70°=50°+35°，
∴∠OBC=15°。
故答案为：A.
【分析】首先根据圆周角定理可得出∠C=35°，进而根据三角形内角和及对顶角相等，可得出∠OBC+∠AOB=∠A+∠C，即可得出∠OBC的度数。
10．若二次函数 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数的图象可知：a＜0，，
∴b＞0，
∴ 一次函数y=ax+b图象经过第一，二，四象限。
A：一次函数y=ax+b图象经过第二，三，四象限，所以A不符合题意；
B：一次函数y=ax+b图象经过第一，二，三象限，所以B不符合题意；
C：一次函数y=ax+b图象经过第一，二，四象限，所以C符合题意；
D：一次函数y=ax+b图象经过第一，三，四象限，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】首先根据二次函数图象的开口方向及在平面直角坐标系中的位置，可得出a，b的符号，进而根据a，b的符号即可得出一次函数y=ax+b图象的大致位置。
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．因式分解： 　 　.
【答案】（x+2)（x-2)
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：x2-4=（x+2）（x-2）。
故答案为：（x+2）（x-2）.
【分析】根据平方差公式，即可得出x2-4=（x+2）（x-2）。
12．如图AB∥CD， ∠1=55°，则∠2的度数为　 　°.
【答案】125
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠1=∠3=55°，
∴∠2=180°-55°=125°。
故答案为：125.
【分析】首先根据平行线的性质可得出∠2+∠3=180°，进而根据对顶角相等，即可得出∠2的度数。
13．若-2x+y=4，则3+4x-2y=　 　.
【答案】-5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ -2x+y=4，
∴3+4x-2y =3-2（-2x+y）=3-2×4=-5
故答案为：-5.
【分析】把原代数式变形为3+4x-2y =3-2（-2x+y），再根据整体代入的方法即可求得代数式的值。
14．随机抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子（各面上的点数分别为 1，2，3，4，5，6)两次.两次点数积为偶数的概率为　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：解：列表如下：
　 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) ((4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
所有36种等可能的情况，其中两次点数积为偶数的有27种，
则两次点数积为偶数的概率为：P==
故答案为：：
【分析】首先根据列表法进行分析，可得出36种机会均等的结果，其中两次点数积为偶数的有27种，进而根据概率计算公式即可得出答案。
15．如图，点 D、E、F是等边三角形ABC边上的点，满足 连接DE、EF、FD，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：　 　.
【答案】AF=BD=CE， △ADF≌△BED≌△CFE， △DEF 是等边三角形（答案不唯一)
【知识点】等式的基本性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，
∵
∴AB-AD=BC-BE=CA-CF，即BD=CE=AF；
∵∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形三个内角都是60°），
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（SAS）
∴DF=FE=ED，
∴△DEF 是等边三角形
故答案为：BD=CE=AF；△ADF≌△BED≌△CFE；△ADF≌△BED≌△CFE.（答案不唯一）
【分析】根据等边三角形的性质可得出AB=BC=CA，结合已知条件，利用等式的性质可得出BD=CE=AF；进而根据SAS可证得△ADF≌△BED≌△CFE，进而可得出DF=FE=ED，根据等边三角形的判定，可得出△DEF 是等边三角形。
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16．计算与解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
=1-2+3
=2
（2）解：
①+②得： 5x=40，
解得x=8，
将x=8代入①，得： 2×8-y=15，
解得y=1，
故
【知识点】解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）首先通分进行异分母分数的加法，并根据立方根的性质及平方的性质进行化简，然后再进行有理数的加减即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可。
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB的直角顶点 B在 x轴的正半轴上， 反比例函数 的图象经过点 A.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若线段OA所在直线与第三象限的双曲线交于点 C，求出点 C的坐标.
【答案】（1）解：∵△OAB为等腰直角三角形，
∴ AB=OB， ∠ABO=90°.
设AB=OB=x， （x>0) ，
由勾股定理得，
即
整理得，
解得，x=2 （负值已舍去)，
∴ AB=OB=2，
故点A的坐标为（2，2)，
将其代入 得，
解得， k=4，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：设线段OA所在直线的解析式为y=mx（m≠0)，
将A（2，2)代入y= mx得， 2=2m，
解得， m=1，
∴线段OA所在直线的解析式为y=x，
∴根据题意联立得，
解得， 或
即点 C的坐标为（-2，-2)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质，结合勾股定理，可得出点A的坐标为（2，2)，进而利用待定系数法即可得出反比例函数的表达式为
（2）设线段OA所在直线的解析式为y=mx（m≠0)，根据点A的坐标，利用待定系数法即可得出线段OA所在直线的解析式为y=x，进而联立方程组成方程组解得方程组的解为或 ，根据交点所在象限，即可得出答案。
18．某公园有一座古塔（如图 1)，数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度.图 2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形.
步骤一：在点 A 处，测得塔尖 C的仰角为37°；
步骤二：从点 A 出发，向前走 15m到达点 B 处.此时在 B处测得塔尖 C的仰角为45°.点 D是塔尖 C在地平线AB上的正投影.
（1）尺规作图：作出表示古塔高度的线段CD，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）根据测量数据，计算古塔的高度.（参考数据：
【答案】（1）解：如图所示：
线段CD即为所求
（2）解：设古塔的高度CD= xm（x>0)，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°.
由题意可知， ∠CBD=45°， ∠CAD=37°， AB=15m，
∴∠CBD=∠BCD=45°，
∴CD=BD= xm， AD=AB+BD=（15+x)m，
∴在Rt△ACD中，
解得，x=45，（经检验，x=45是分式方程的解，且符合题意)，即CD=45m.
答：古塔的高度为45m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）作图原理：
如图，连接CE， CF， NE， NF，
由作图可知， CE=CF， NE=NF，
∴CN垂直平分EF，
即CD⊥AB，满足正投影的定义.
【分析】（1）根据经过直线外一点作已知直线的垂线的作法即可完成作图；
（2）通过解直角三角形ACD，即可求得古塔的高度CD的值。
19．统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力.
现有三个小组，每组 20人.一道满分为 4分的题目，三个小组得分情况如下：
（1）根据以上信息，得到统计数据如下：
　 平均数 众数 中位数 方差 （保留两位小数)
第一组 a 4 3 1.99
第二组 2 b 2 C
第三组 2.85 4 d 1.61
求 a， b， c， d的值；
（2）观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是 1，2，3，6，8.因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化.重新排列这些“柱子”，在图 1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图 2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式.
【答案】（1）解：
第二组中1分的人数最多，有8人，故b=1；
根据第三组数据，中位数在第10和11人处，故d=3；
则a=2.75； b=1； c = 1.3； d=3；
（2）解：要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分，
即将8人对应4分，6人对应3分，3人对应2分，2人对应1分，1人对应0分；
要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数，众数，中位数以及方差的定义，分别进行计算，即可得出答案；
（2）要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分；要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上.
20．如图，AB是⊙O的直径，点 C是半圆上的一点，过点 C作（ 垂足为 D，连接AC.
（1）若AB=10， CD=4，求OD的长；
（2）若直线MN经过点 C， AC平分∠DCM，求证： MN是⊙O的切线.
【答案】（1）解：连接OC，
∵ AB是⊙O的直径， AB=10，
∵CD⊥AB
∴∠ODC=90°，
在Rt△OCD中，
（2）解：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠OAC+∠ACD=90°，
∵AC平分∠DCM，
∴∠ACD=∠ACM，
∴∠OCA+∠ACM=∠OAC+∠ACD=90°，
即∠OCM=90°，
∴OC⊥MN，
∵OC是半径，
故 MN是⊙O的切线
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；切线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OC，在直角三角形OCD中，根据勾股定理，即可得出OD的长度；
（2）根据AC平分∠DCM，可得出∠ACD=∠ACM，进而得出∠OCA+∠ACM=∠OAC+∠ACD=90°，进一步根据切线的判定即可得出结论。
21．【项目主题】研学活动前期策划
【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期 5天的研学活动.研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下：（1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动；（2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动.
现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为 500元/人.为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下：
旅行社 优惠方案
甲旅行社 人均享 9折优惠.
乙旅行社 缴纳 1000元团游会员费后，人均可享 8折优惠.
丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数 （含半数)，人均可享 7折优惠；否则，人均享 95折优惠.
【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次 5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少 1500元.
（1）该班有几名同学
（2）为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息 又该如何根据这些信息做出选择
【答案】（1）解：设该班有 x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：500×0.9x=450x（元)乙旅行社的总费用为：1000+500×0.8x=1000+400x （元)
由题意得： 450x-（1000+400x)=1500
整理得： 50x=2500
解得： x=50
答：该班有 50名同学.
（2）解：当x=50时，甲旅行社总费用： 450×50=22500 （元) ；
乙旅行社总费用： 1000+400×50=21000 （元)
丙旅行社的优惠规则和该班参加非遗宣讲活动的人数有关，
因此首先需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数.
设参加非遗宣讲活动的人数为 m，该班总人数为 50，全班人数的半数为 25，
当m≥25时，丙旅行社总费用为： 500×0.7×50=17500 （元)
因为17500<21000<22500，此时丙旅行社总费用最低，选择丙旅行社；
当m<25时，丙旅行社总费用为： 500×0.95×50=23750 （元)
因为21000<22500<23750，此时乙旅行社总费用最低，选择乙旅行社.
答：需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为 m，当m≥25时，选择丙旅行社最优惠；当m<25时，选择乙旅行社最优惠.
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）设该班有 x名同学.根据 乙旅行社的总费用比甲旅行社少 1500元. 可得出方程： 450x-（1000+400x)=1500，解方程即可求解；
（2）因为丙旅行社的优惠规则和该班参加非遗宣讲活动的人数有关，因此首先需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数.设参加非遗宣讲活动的人数为 m，当m≥25时，选择丙旅行社最优惠；当m<25时，选择乙旅行社最优惠.
22．在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过（0，2)和（2，2)两点.
（1）补充一个条件，求抛物线的表达式；
（2）将抛物线 向左平移m（m>0)个单位得到新的抛物线y1.当x>-1时，y1随x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）当 时，判断y与 的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线 的图象经过（0，2)和（2，2)两点，
∴将（0，2)代入抛物线方程可得： 即c=2.
将（2，2)和c=2代入抛物线方程可得： 化简得4a+2b=0，即b=-2a，
所以抛物线的表达式为
补充条件：抛物线经过点（1，1)，
将（1，1)代入
可得： 即1=a-2a+2，
解得a=1，
把a=1代入b=-2a，可得b=-2，
∴抛物线的表达式为 （答案不唯一)；
（2）解：由（1）得：抛物线的表达式为
∴对称轴为：
∵向左平移m个单位，
∴新抛物线y1的对称轴为x=1-m，
∵因为a>0，抛物线开口向上，
∴当x>1-m时， y1随x增大而增大
∵题目要求当x>-1时，y1随x增大而增大，
∴1-m≤-1，
解得m≥2；
（3）解：
理由：由（1）得：抛物线的表达式为
对于一元二次方程
其判别式
=4a2-4a-3
=（2a-3)（2a+1)，
且a>0，
∴2a-3〈0，2a+1〉0，
∴△<0，
又∵a>0，
∴二次函数 的图象开口向上，且与x轴无交点，即对于任意x，
即
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）补充一个条件，即可根据待定系数法，求抛物线的表达式（答案不唯一）；
（2）首先根据原抛物线的对称轴得出新抛物线的对称轴为x=1-m，根据 当x>-1时，y1随x的增大而增大， 即可得出1-m≤-1，解不等式即可；
（3）由函数的性质，得出△<0，即可得出
23．平移、旋转、轴对称、相似变换等几何变换，为静态图形赋予动态生成的意义，让孤立图形在运动变化中建立关联，在变与不变中揭示图形的本质属性与内在规律.这既是从特殊到一般认识几何世界的基本思想，也是理解空间形式、发展几何直观与推理能力的重要路径.
【特例探究】
如图 1，在矩形ABCD中， BC=2AB，点 E是矩形内一动点，且∠DEC=90°.将CE绕点 C逆时针旋转90°，并放大为原来的 2倍后，点 E的对应点为点 F.连接BF，交DE的延长线于点 G，连接AE.
（1）按题意在图 1中画出符合题意的四边形CEGF ，判断其形状，并说明理由；
（2）当点 G为BF中点时，求 的值；
（3）求 的最小值；
（4）【类比探究】如图 2，四边形ABCD中， 连接BD，若AB=2BC，求BD的最大值.
【答案】（1）解：如图 1，四边形CEGF 即为所求；
四边形CEGF为矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°， AB=CD，AD=BC，由题意得， ∠ECF=90°，CF=2CE，
∴∠DCE=∠BCF=90°-∠BCE，
∵BC=2AB，
∴BC=2CD，即
∵CF=2CE，
∴△CDE∽△CBF，
∴∠BFC=∠DEC=90°，
∵∠DEC=90°，
∴∠GEC=180°-∠DEC=90°，
∴∠GEC=∠ECF=∠BFC=90°，
∴四边形CEGF为矩形；
（2）解：过点E作EH⊥AD于点 H，
由（1）得△CDE∽△CBF，
∵点 G为BF中点，
∴GF=DE，
∵四边形CEGF 是矩形，
∴CE=GF，
∴DE=CE，
∵∠DEC=90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∵在矩形ABCD中， ∠ADC=90°，
在等腰直角△DEC中，设DE=CE=2a，
则
∵EH⊥AD， ∠ADE=45°，
∴△EDII为等腰直角三角形，
（3）解：∵∠DEC=90°，
∴点E的轨迹为以CD的中点O为圆心，DO为半径的圆，延长AE交⊙O于点M ，连接DM ，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠EDC=∠ECD+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠ECD，
∴∠ECD=∠M，
∴∠ADE = ∠M，
∵∠DAE=∠MAD，
∴△DAE∽△MAD，
∵AD为定值，
∴当 取得最小值时，DM 取得最大值，
∵DM≤DC，
的最小值为2；
（4）解：过点B作BG⊥DB，且使得BG=2BD，连接AG，DG，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=∠GBA=90°-∠ABD，
∵AB=2BC，
∴△BDC∽△BGA，
∴当DG取得最大值时，BD取得最大值，
∴当点A，D，G三点共线时，DG取得最大值，为
∴BD的最大值为
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）四边形CEGF为矩形；首先根据矩形的性质，可得出∠BCD=90°， AB=CD，AD=BC，进一步可得出△CDE∽△CBF，进而得出∠GEC=∠ECF=∠BFC=90°，即可得出四边形CEGF为矩形；
（2）过点E作EH⊥AD于点 H，由（1）得△CDE∽△CBF，可得出进而可得出可得出GF=DE，进而根据矩形的性质可得出△DEC为等腰直角三角形，设DE=CE=2a，进而得出
（3）根据∠DEC=90°，可得出点E的轨迹为以CD的中点O为圆心，DO为半径的圆，延长AE交⊙O于点M ，连接DM ，当 取得最小值时，DM 取得最大值，根据DM≤DC，可得出即可得出的最小值为2；
（4）过点B作BG⊥DB，且使得BG=2BD，连接AG，DG，当DG取得最大值时，BD取得最大值，当点A，D，G三点共线时，DG取得最大值，为 BD的最大值为
1 / 1广东省佛山顺德区2026年中考一模数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各数中最小的是（　　）
A． B．- 3 C．0 D．1
2．国家知识产权局数据显示：截至 2025年，我国国内有效发明专利达5320000件，并连续多年位居全球第一.将数据“5320000”用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
3．点（-3， 2)关于 y轴的对称点是（　　）
A．（-3， - 2) B．（3， 2)
C．（-3， 2) D．（3， - 2)
4．若实数 a、b满足aA．a-15．下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y=5xy B．
C． D．
6．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．在平行四边形ABCD中，AB=AD.添加一个条件，使得四边形ABCD为正方形，添加的条件可以为（　　）
A．AC=BD B．AC⊥BD C．AC平分BD D．AC平分∠BAD
8．若x1， x2是方程 的两个根，则 的值是（　　)
A．3 B．5 C．-15 D．15
9．如图，点 A、B、C均在⊙O上，连接AO、BO、AC、BC.若∠AOB=70°， ∠A=50°，则∠OBC的度数为（　　)
A．15° B．20° C．25° D．35°
10．若二次函数 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．因式分解： 　 　.
12．如图AB∥CD， ∠1=55°，则∠2的度数为　 　°.
13．若-2x+y=4，则3+4x-2y=　 　.
14．随机抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子（各面上的点数分别为 1，2，3，4，5，6)两次.两次点数积为偶数的概率为　 　.
15．如图，点 D、E、F是等边三角形ABC边上的点，满足 连接DE、EF、FD，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：　 　.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16．计算与解方程组
（1）
（2）
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB的直角顶点 B在 x轴的正半轴上， 反比例函数 的图象经过点 A.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若线段OA所在直线与第三象限的双曲线交于点 C，求出点 C的坐标.
18．某公园有一座古塔（如图 1)，数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度.图 2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形.
步骤一：在点 A 处，测得塔尖 C的仰角为37°；
步骤二：从点 A 出发，向前走 15m到达点 B 处.此时在 B处测得塔尖 C的仰角为45°.点 D是塔尖 C在地平线AB上的正投影.
（1）尺规作图：作出表示古塔高度的线段CD，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）根据测量数据，计算古塔的高度.（参考数据：
19．统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力.
现有三个小组，每组 20人.一道满分为 4分的题目，三个小组得分情况如下：
（1）根据以上信息，得到统计数据如下：
　 平均数 众数 中位数 方差 （保留两位小数)
第一组 a 4 3 1.99
第二组 2 b 2 C
第三组 2.85 4 d 1.61
求 a， b， c， d的值；
（2）观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是 1，2，3，6，8.因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化.重新排列这些“柱子”，在图 1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图 2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式.
20．如图，AB是⊙O的直径，点 C是半圆上的一点，过点 C作（ 垂足为 D，连接AC.
（1）若AB=10， CD=4，求OD的长；
（2）若直线MN经过点 C， AC平分∠DCM，求证： MN是⊙O的切线.
21．【项目主题】研学活动前期策划
【项目背景】为深化实践育人，某班计划利用小长假开展为期 5天的研学活动.研学主题为“探工业智造，品非遗匠心”，具体研学活动内容包括如下：（1）①参观工业设计城；②游览智能制造科技园；③参加机器人操作体验活动；（2）①观看民俗表演；②参观非遗文化展览馆；③研学后参加非遗宣讲活动.
现有甲、乙、丙三家旅行社，收费标准均为 500元/人.为更大程度地帮助同学降低研学费用，项目小组与三个旅行社沟通后，得到的优惠方案如下：
旅行社 优惠方案
甲旅行社 人均享 9折优惠.
乙旅行社 缴纳 1000元团游会员费后，人均可享 8折优惠.
丙旅行社 为弘扬非遗文化，参加研学后非遗宣讲活动的人数若能超过半数 （含半数)，人均可享 7折优惠；否则，人均享 95折优惠.
【项目任务】项目小组通过初步计算发现：若全班同学都报名参加此次 5天研学活动，选择乙旅行社的总费用比甲旅行社少 1500元.
（1）该班有几名同学
（2）为选择一家最优惠的旅行社进行报名，项目小组前期需要收集哪些信息 又该如何根据这些信息做出选择
22．在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过（0，2)和（2，2)两点.
（1）补充一个条件，求抛物线的表达式；
（2）将抛物线 向左平移m（m>0)个单位得到新的抛物线y1.当x>-1时，y1随x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）当 时，判断y与 的大小，并说明理由.
23．平移、旋转、轴对称、相似变换等几何变换，为静态图形赋予动态生成的意义，让孤立图形在运动变化中建立关联，在变与不变中揭示图形的本质属性与内在规律.这既是从特殊到一般认识几何世界的基本思想，也是理解空间形式、发展几何直观与推理能力的重要路径.
【特例探究】
如图 1，在矩形ABCD中， BC=2AB，点 E是矩形内一动点，且∠DEC=90°.将CE绕点 C逆时针旋转90°，并放大为原来的 2倍后，点 E的对应点为点 F.连接BF，交DE的延长线于点 G，连接AE.
（1）按题意在图 1中画出符合题意的四边形CEGF ，判断其形状，并说明理由；
（2）当点 G为BF中点时，求 的值；
（3）求 的最小值；
（4）【类比探究】如图 2，四边形ABCD中， 连接BD，若AB=2BC，求BD的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵-3＜-＜0＜1，
∴最小的数为-3.
故答案为：B.
【分析】比较几个数的大小即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 5320000 =5.32×106.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范写法即可得出5320000 =5.32×106。
3．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点（-3， 2)关于 y轴的对称点是 （3，2）
故答案为：B.
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标之间的关系：横坐标相反，纵坐标相等，即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＜b，
∴ a-1当b＞0时：，当b＜0时：；
当a＜b＜0时：a2＞b2，
∴式子A成立；B，C，D均不成立
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质，逐项进行判断，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：左边不是同类项，不能合并，所以A计算不正确；
B ：，所以B计算不正确；
C ：，所以C计算不正确；
D： ，所以D计算正确
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则，可得出A不正确；根据同底数幂的乘法，可得出B不正确；根据积的乘方和幂的乘方可得出C不正确；根据完全平方公式可得出D正确。
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2)，即可得方程180（n﹣2)=1080，解此方程即可求得答案．
【解答】设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180（n﹣2)=1080，
解得：n=8．
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
7．【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：根据 在平行四边形ABCD中，AB=AD. 可得出四边形ABCD为菱形，
A： AC=BD 可得出四边形ABCD是矩形，故而四边形ABCD是正方形，所以A符合题意；
B： AC⊥BD可得出四边形ABCD是菱形，故而不能判定四边形ABCD是正方形，所以B不符合题意；
C： AC平分BD可得出四边形ABCD是平行四边形，故而仍不能判定四边形ABCD是正方形，所以C不符合题意；
D： AC平分∠BAD可得出四边形ABCD是菱形，故而不能判定四边形ABCD是正方形，所以D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据正方形的判定，逐项进行判断，即可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 若x1， x2是方程 的两个根，
∴，
∴=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
故答案为：D.
【分析】首先根据根与系数的关系可得出，进而即可得出=x1x2（x1+x2）=3×5=15.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°，
∴∠C=35°，
∵∠A=50°，
∴∠OBC+∠AOB=∠A+∠C，
即∠OBC+70°=50°+35°，
∴∠OBC=15°。
故答案为：A.
【分析】首先根据圆周角定理可得出∠C=35°，进而根据三角形内角和及对顶角相等，可得出∠OBC+∠AOB=∠A+∠C，即可得出∠OBC的度数。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数的图象可知：a＜0，，
∴b＞0，
∴ 一次函数y=ax+b图象经过第一，二，四象限。
A：一次函数y=ax+b图象经过第二，三，四象限，所以A不符合题意；
B：一次函数y=ax+b图象经过第一，二，三象限，所以B不符合题意；
C：一次函数y=ax+b图象经过第一，二，四象限，所以C符合题意；
D：一次函数y=ax+b图象经过第一，三，四象限，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】首先根据二次函数图象的开口方向及在平面直角坐标系中的位置，可得出a，b的符号，进而根据a，b的符号即可得出一次函数y=ax+b图象的大致位置。
11．【答案】（x+2)（x-2)
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：x2-4=（x+2）（x-2）。
故答案为：（x+2）（x-2）.
【分析】根据平方差公式，即可得出x2-4=（x+2）（x-2）。
12．【答案】125
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠1=∠3=55°，
∴∠2=180°-55°=125°。
故答案为：125.
【分析】首先根据平行线的性质可得出∠2+∠3=180°，进而根据对顶角相等，即可得出∠2的度数。
13．【答案】-5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ -2x+y=4，
∴3+4x-2y =3-2（-2x+y）=3-2×4=-5
故答案为：-5.
【分析】把原代数式变形为3+4x-2y =3-2（-2x+y），再根据整体代入的方法即可求得代数式的值。
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：解：列表如下：
　 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) (5，1) (6，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) (5，2) (6，2)
3 (1，3) (2，3) (3，3) (4，3) (5，3) (6，3)
4 (1，4) (2，4) (3，4) ((4，4) (5，4) (6，4)
5 (1，5) (2，5) (3，5) (4，5) (5，5) (6，5)
6 (1，6) (2，6) (3，6) (4，6) (5，6) (6，6)
所有36种等可能的情况，其中两次点数积为偶数的有27种，
则两次点数积为偶数的概率为：P==
故答案为：：
【分析】首先根据列表法进行分析，可得出36种机会均等的结果，其中两次点数积为偶数的有27种，进而根据概率计算公式即可得出答案。
15．【答案】AF=BD=CE， △ADF≌△BED≌△CFE， △DEF 是等边三角形（答案不唯一)
【知识点】等式的基本性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，
∵
∴AB-AD=BC-BE=CA-CF，即BD=CE=AF；
∵∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形三个内角都是60°），
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（SAS）
∴DF=FE=ED，
∴△DEF 是等边三角形
故答案为：BD=CE=AF；△ADF≌△BED≌△CFE；△ADF≌△BED≌△CFE.（答案不唯一）
【分析】根据等边三角形的性质可得出AB=BC=CA，结合已知条件，利用等式的性质可得出BD=CE=AF；进而根据SAS可证得△ADF≌△BED≌△CFE，进而可得出DF=FE=ED，根据等边三角形的判定，可得出△DEF 是等边三角形。
16．【答案】（1）解：原式
=1-2+3
=2
（2）解：
①+②得： 5x=40，
解得x=8，
将x=8代入①，得： 2×8-y=15，
解得y=1，
故
【知识点】解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）首先通分进行异分母分数的加法，并根据立方根的性质及平方的性质进行化简，然后再进行有理数的加减即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可。
17．【答案】（1）解：∵△OAB为等腰直角三角形，
∴ AB=OB， ∠ABO=90°.
设AB=OB=x， （x>0) ，
由勾股定理得，
即
整理得，
解得，x=2 （负值已舍去)，
∴ AB=OB=2，
故点A的坐标为（2，2)，
将其代入 得，
解得， k=4，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：设线段OA所在直线的解析式为y=mx（m≠0)，
将A（2，2)代入y= mx得， 2=2m，
解得， m=1，
∴线段OA所在直线的解析式为y=x，
∴根据题意联立得，
解得， 或
即点 C的坐标为（-2，-2)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质，结合勾股定理，可得出点A的坐标为（2，2)，进而利用待定系数法即可得出反比例函数的表达式为
（2）设线段OA所在直线的解析式为y=mx（m≠0)，根据点A的坐标，利用待定系数法即可得出线段OA所在直线的解析式为y=x，进而联立方程组成方程组解得方程组的解为或 ，根据交点所在象限，即可得出答案。
18．【答案】（1）解：如图所示：
线段CD即为所求
（2）解：设古塔的高度CD= xm（x>0)，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°.
由题意可知， ∠CBD=45°， ∠CAD=37°， AB=15m，
∴∠CBD=∠BCD=45°，
∴CD=BD= xm， AD=AB+BD=（15+x)m，
∴在Rt△ACD中，
解得，x=45，（经检验，x=45是分式方程的解，且符合题意)，即CD=45m.
答：古塔的高度为45m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）作图原理：
如图，连接CE， CF， NE， NF，
由作图可知， CE=CF， NE=NF，
∴CN垂直平分EF，
即CD⊥AB，满足正投影的定义.
【分析】（1）根据经过直线外一点作已知直线的垂线的作法即可完成作图；
（2）通过解直角三角形ACD，即可求得古塔的高度CD的值。
19．【答案】（1）解：
第二组中1分的人数最多，有8人，故b=1；
根据第三组数据，中位数在第10和11人处，故d=3；
则a=2.75； b=1； c = 1.3； d=3；
（2）解：要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分，
即将8人对应4分，6人对应3分，3人对应2分，2人对应1分，1人对应0分；
要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）根据平均数，众数，中位数以及方差的定义，分别进行计算，即可得出答案；
（2）要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分；要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上.
20．【答案】（1）解：连接OC，
∵ AB是⊙O的直径， AB=10，
∵CD⊥AB
∴∠ODC=90°，
在Rt△OCD中，
（2）解：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠OAC+∠ACD=90°，
∵AC平分∠DCM，
∴∠ACD=∠ACM，
∴∠OCA+∠ACM=∠OAC+∠ACD=90°，
即∠OCM=90°，
∴OC⊥MN，
∵OC是半径，
故 MN是⊙O的切线
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；切线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）连接OC，在直角三角形OCD中，根据勾股定理，即可得出OD的长度；
（2）根据AC平分∠DCM，可得出∠ACD=∠ACM，进而得出∠OCA+∠ACM=∠OAC+∠ACD=90°，进一步根据切线的判定即可得出结论。
21．【答案】（1）解：设该班有 x名同学.，由题意得，甲旅行社的总费用为：500×0.9x=450x（元)乙旅行社的总费用为：1000+500×0.8x=1000+400x （元)
由题意得： 450x-（1000+400x)=1500
整理得： 50x=2500
解得： x=50
答：该班有 50名同学.
（2）解：当x=50时，甲旅行社总费用： 450×50=22500 （元) ；
乙旅行社总费用： 1000+400×50=21000 （元)
丙旅行社的优惠规则和该班参加非遗宣讲活动的人数有关，
因此首先需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数.
设参加非遗宣讲活动的人数为 m，该班总人数为 50，全班人数的半数为 25，
当m≥25时，丙旅行社总费用为： 500×0.7×50=17500 （元)
因为17500<21000<22500，此时丙旅行社总费用最低，选择丙旅行社；
当m<25时，丙旅行社总费用为： 500×0.95×50=23750 （元)
因为21000<22500<23750，此时乙旅行社总费用最低，选择乙旅行社.
答：需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数，设参加非遗宣讲活动的人数为 m，当m≥25时，选择丙旅行社最优惠；当m<25时，选择乙旅行社最优惠.
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）设该班有 x名同学.根据 乙旅行社的总费用比甲旅行社少 1500元. 可得出方程： 450x-（1000+400x)=1500，解方程即可求解；
（2）因为丙旅行社的优惠规则和该班参加非遗宣讲活动的人数有关，因此首先需要收集该班参加非遗宣讲活动的人数.设参加非遗宣讲活动的人数为 m，当m≥25时，选择丙旅行社最优惠；当m<25时，选择乙旅行社最优惠.
22．【答案】（1）解：∵抛物线 的图象经过（0，2)和（2，2)两点，
∴将（0，2)代入抛物线方程可得： 即c=2.
将（2，2)和c=2代入抛物线方程可得： 化简得4a+2b=0，即b=-2a，
所以抛物线的表达式为
补充条件：抛物线经过点（1，1)，
将（1，1)代入
可得： 即1=a-2a+2，
解得a=1，
把a=1代入b=-2a，可得b=-2，
∴抛物线的表达式为 （答案不唯一)；
（2）解：由（1）得：抛物线的表达式为
∴对称轴为：
∵向左平移m个单位，
∴新抛物线y1的对称轴为x=1-m，
∵因为a>0，抛物线开口向上，
∴当x>1-m时， y1随x增大而增大
∵题目要求当x>-1时，y1随x增大而增大，
∴1-m≤-1，
解得m≥2；
（3）解：
理由：由（1）得：抛物线的表达式为
对于一元二次方程
其判别式
=4a2-4a-3
=（2a-3)（2a+1)，
且a>0，
∴2a-3〈0，2a+1〉0，
∴△<0，
又∵a>0，
∴二次函数 的图象开口向上，且与x轴无交点，即对于任意x，
即
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）补充一个条件，即可根据待定系数法，求抛物线的表达式（答案不唯一）；
（2）首先根据原抛物线的对称轴得出新抛物线的对称轴为x=1-m，根据 当x>-1时，y1随x的增大而增大， 即可得出1-m≤-1，解不等式即可；
（3）由函数的性质，得出△<0，即可得出
23．【答案】（1）解：如图 1，四边形CEGF 即为所求；
四边形CEGF为矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°， AB=CD，AD=BC，由题意得， ∠ECF=90°，CF=2CE，
∴∠DCE=∠BCF=90°-∠BCE，
∵BC=2AB，
∴BC=2CD，即
∵CF=2CE，
∴△CDE∽△CBF，
∴∠BFC=∠DEC=90°，
∵∠DEC=90°，
∴∠GEC=180°-∠DEC=90°，
∴∠GEC=∠ECF=∠BFC=90°，
∴四边形CEGF为矩形；
（2）解：过点E作EH⊥AD于点 H，
由（1）得△CDE∽△CBF，
∵点 G为BF中点，
∴GF=DE，
∵四边形CEGF 是矩形，
∴CE=GF，
∴DE=CE，
∵∠DEC=90°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∵在矩形ABCD中， ∠ADC=90°，
在等腰直角△DEC中，设DE=CE=2a，
则
∵EH⊥AD， ∠ADE=45°，
∴△EDII为等腰直角三角形，
（3）解：∵∠DEC=90°，
∴点E的轨迹为以CD的中点O为圆心，DO为半径的圆，延长AE交⊙O于点M ，连接DM ，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠EDC=∠ECD+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠ECD，
∴∠ECD=∠M，
∴∠ADE = ∠M，
∵∠DAE=∠MAD，
∴△DAE∽△MAD，
∵AD为定值，
∴当 取得最小值时，DM 取得最大值，
∵DM≤DC，
的最小值为2；
（4）解：过点B作BG⊥DB，且使得BG=2BD，连接AG，DG，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=∠GBA=90°-∠ABD，
∵AB=2BC，
∴△BDC∽△BGA，
∴当DG取得最大值时，BD取得最大值，
∴当点A，D，G三点共线时，DG取得最大值，为
∴BD的最大值为
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）四边形CEGF为矩形；首先根据矩形的性质，可得出∠BCD=90°， AB=CD，AD=BC，进一步可得出△CDE∽△CBF，进而得出∠GEC=∠ECF=∠BFC=90°，即可得出四边形CEGF为矩形；
（2）过点E作EH⊥AD于点 H，由（1）得△CDE∽△CBF，可得出进而可得出可得出GF=DE，进而根据矩形的性质可得出△DEC为等腰直角三角形，设DE=CE=2a，进而得出
（3）根据∠DEC=90°，可得出点E的轨迹为以CD的中点O为圆心，DO为半径的圆，延长AE交⊙O于点M ，连接DM ，当 取得最小值时，DM 取得最大值，根据DM≤DC，可得出即可得出的最小值为2；
（4）过点B作BG⊥DB，且使得BG=2BD，连接AG，DG，当DG取得最大值时，BD取得最大值，当点A，D，G三点共线时，DG取得最大值，为 BD的最大值为
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