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(共18张PPT)
23.4 实际问题与一次函数
课时3 设计方案
灵活运用变量关系建立一次函数模型，并设计最佳方案解决相关实际问题．
①学校组织研学旅行，要在总预算内租车，既要保证所有师生都有座位，还要让租车总费用最少；
②工厂采购原材料，要在满足生产需求的前提下，让采购成本最低.
同学们在生活中一定遇到过这样的问题：
面对这些多重约束条件，我们该怎样设计出最佳方案？
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
探究 某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师. 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
（1）共需租多少辆客车？
（2）给出最节省费用的租车方案.
问题1：题干中有哪些影响租车方案的条件？
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
①总人数要求：234 名学生 + 6 名教师，合计240 名师生；
②教师数量要求：共 6 名教师，每辆车上至少要有 1 名教师；
③费用要求：租车总费用不超过 2300.
问题2：如何由乘车人数确定客车总数呢？
①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于240÷45辆，即6辆．
②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6．
综合起来可知客车总数为6辆．
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题3：我们的目标是让租车总费用最少，如果租用甲种客车 x 辆，那总费用y和甲种客车数量x之间有什么关系？
甲种客车总租金：元；
乙种客车总租金：元；
租车总费用：
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题4：如何确定y=120x+1680中x的取值？
总载客量≥240 人
总费用≤2300 元
整合得到一元一次不等式组：
解得 4 ≤ x ≤ .
综合起来可知x的取值为4或5.
问题5：在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪种方案？试说明理由．
方案一：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆；
方案二：租用甲种客车5辆，乙种客车1辆；
对于y=120x+1680，因为120＞0，所以y随x的增大而增大，反映到实际即为尽可能少地租用甲种客车可以节省费用．
所以为节省费用应选择方案一，即租用甲种客车4辆，乙种客车2辆，此时的租车费用为400×4+280×2=2160 (元)．
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量. 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲品牌酸奶的进价为8元/罐；乙品牌酸奶的进货总金额 y (单位：元) 与进货量 x (单位：罐)之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐．某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙品牌酸奶的销售量不低于150罐，且不高于400罐．
（1）根据图象求出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为 w 元，求出 w (单位：元)与乙品牌酸奶的进货量 x 之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案．
（1）根据图象求出 y 与 x 之间的函数关系式；
解：设y与x之间的函数关系式为 y=kx ( k ≠ 0 )，
把 (50，500) 代入 y=kx ( k ≠ 0 )，
得 k=10，所以 y =10x．
（2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为 w 元，求出 w (单位：元)与乙品牌酸奶的进货量 x 之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案．
甲：进价_____；售价_____；利润：_______________
乙：进价_____；售价_____；利润：_______________
8
12
销量×(12－8)
10
15
销量×(15－10)
w = 甲利润+乙利润
= (12－8)(800－x)+(15－10)x
= 4(800－x)+5x
解：设乙品牌酸奶的进货量为 x 罐．由题意，可得 150 ≤ x ≤ 400．
由（1）得乙品牌酸奶的进价为10元/罐，
则 w=(12－8)(800－x) + (15－10)x，
即 w=x + 3200．
因为 k=1＞0，所以 w 随 x 的增大而增大，
因为 150 ≤ x ≤ 400，所以当 x=400 时，w 最大，
最大值为 400 + 3200=3600，800－400=400 (罐)，
即当甲品牌酸奶的进货量为 400 罐，乙品牌酸奶的进货量为 400 罐时，该超市获得最大利润．
方案设计型问题的解题策略：
方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题，一般步骤如下：
①根据题意求出函数解析式；
②由图象、题设信息列不等式（组）求得自变量的取值范围；
③利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值，从而设计出符合要求的方案.
实际问题
(多个)
函数模型
设计方案
限制条件
函数增减性
抽象
构造
1.某班级计划购买笔笔记本和钢笔作为期末奖品，预算不超过 200 元.已知笔记本每本 5 元，钢笔每支 15 元，需要购买的奖品总数为 20 件，且钢笔数量不少于笔记本数量的一半.
(1) 设购买钢笔 支，写出总费用 关于 的函数解析式；
(2) 求出自变量 的取值范围；
(3) 如何购买能让总费用最少？最少费用是多少？
解：(1)设购买钢笔x支，则笔记本数量为本.
总费用由钢笔和笔记本费用组成：
因此，总费用关于的函数解析式为：.
(2)钢笔数量不少于笔记本数量的一半：
解得：，即（为整数）
总费用不超过200元：
解得：.
综合以上条件，自变量的取值范围为： .
(3)函数中，，因此随的增大而单调递增.
要使总费用最少，需取的最小值
购买钢笔7支，笔记本本.
最少总费用：
2.某书店推出“传承红色基因，弘扬爱国精神”图书销售方案，现需购进，两种类型的图书共套，这两种类型图书的进价、售价如下表所示：
图书类型 进价/（元/套） 售价/（元/套）
设购进型图书x套，书店销售这两种类型图书的总利润为元．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若购进两种图书的总费用不超过元，应该怎样进货才能使书店在销售完这批图书时获利最多 并求出最大利润．
解：(1)设购进型图书套，则购进型图书套，
则型图书利润为元，型图书利润为
元，
总利润为；
(2)解：由题意得：，
解得：
，
．
一次函数中，，
当时，利润最大，
购进型图书套，型图书50套，最大利润为元．

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