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23.4 实际问题与一次函数
课时1 建立一次函数模型
1. 在经历应用一次函数解决实际问题的过程中，体会函数模型思想．
2. 了解分段函数的特点，能根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象．
在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画.
实际问题
一次函数
抽 象
解析式
根据条件
再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题.
问题1：在弹性限度内，弹簧的长度 y (单位：cm) 与所挂物体的质量 x (单位：kg) 之间是一次函数关系，其图象如图所示，则 y 关于 x 的函数解析式为___________，弹簧不挂物体时的长度为_____cm．
y=0.5x+10
10
问题2：某玉米种子的价格为 40 元/kg. 若一次购买不超过 2 kg 的种子，其价格不变；若一次购买超过 2 kg 的种子，超过部分的种子价格打六折.
（1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
付款金额、种子价格、购买量三者有怎样的关系
付款金额=种子价格×购买量
分析：通过题意我们可知，种子价格不是固定不变的，它与______有关，设购买 x kg种子，付款金额为 y 元．则有：
购买量
购买量/kg 种子价格/（元/kg） 付款金额/元
0≤x≤2 40 40x
x>2 2kg种子价格+超过2kg部分的种子价格 24x+32
+
40×2
40×0.6×(x－2)
因此，写函数解析式与画函数图象时，应分______和_______讨论.
0≤x≤2
x>2
解：（1）设购买量为 x kg，付款金额为 y 元.
当 0 ≤ x ≤ 2时，种子价格为 40元/kg，函数解析式为 y = 40x；
当 x > 2 时，购买的种子中有 2 kg 按 40元/kg 计价，其余的(x－2)kg
(即超出 2 kg 部分) 按 24元/kg(即六折)计价.
函数解析式为 y=80+24(x – 2)=24x+32.
函数解析式也可以合起来表示为
分段函数
y/元
O
40
20
60
80
100
x/kg
2
1
3
y = 40x
y = 24x + 32
函数图象如图所示.
（2）一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元？
因为 4 > 2，
所以 y = 24 × 4 + 32 = 128.
因此，一次购买 4 kg 种子，需付款 128 元.
y =
40x，0 ≤ x ≤ 2，
24x + 32，x > 2 .
y/元
O
40
20
60
80
100
x/kg
2
1
3
y = 40x
y = 24x + 32
一次函数应用的两种类型：
(1) 题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解.
(2) 题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格和图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质求解.
①计费标准随用水量 / 里程的变化而变化；
②有明确的临界值（分段点），临界值处计费规则发生改变.
分段计费是生活中最常见的分段函数应用场景，比如下面这两种.
这些计费方式有什么共同的特点
根据分段计费的共同特点，可以总结出分段计费问题的3个核心解题要素.
①分段点：
计费规则发生变化的临界值，是分类讨论的分界依据；
②计费区间：
以分段点为界，划分自变量的取值范围，必须做到不重不漏；
③区间计费规则：
每个区间内的单价、计价方式，核心是区分 “标准内全额计价” 和 “超标部分单独计价”.
某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度.按照新标准，用户每月缴纳的水费 y ( 单位:元 ) 与每月用水量 x ( 单位:m3 ) 存在如图所示的函数关系．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）若某用户某月缴纳水费 63 元，
则该用户当月的用水量是多少立方米？
解:（1）当 0 ≤ x ≤ 15 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y ＝ mx ( m ≠ 0 ).
由题意，得 15m ＝ 27，解得 m ＝ 1.8，所以 y ＝ 1.8x．
当 x＞15 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y ＝ kx + b ( k ≠ 0 )．
15k + b = 27，
20k + b = 39，
由题意，得
k = 2.4，
b = －9，
解方程组，得
所以 y = 2.4x－9.
综上，y 关于 x 的函数解析式为 y =
1.8x，0 ≤ x ≤ 15，
2.4x－9，x > 15.
（2）因为 63＞27，
所以将 y ＝ 63 代入 y ＝ 2.4x－9，
得 2.4x－9 ＝ 63，解得 x ＝30，
则该用户当月的用水量是 30 m3 ．
（2）若某用户某月缴纳水费 63 元，则该用户当月的用水量是多少立方米？
y =
1.8x，0 ≤ x ≤ 15，
2.4x－9，x > 15.
一次函数的应用
函数的形式
确定解析式
单一函数
直接根据题意
分段函数
待定系数法
1.小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学，该厂的日薪计算方式：一天内组装玩具不超过80个时，固定工资120元，组装超过80个玩具时，除了固定工资120元，超过的部分，每个再另给2元. 下列能表示该厂日薪y(元)与一天内组装的玩具数量x(个)之间的函数图象大致是(　　)
C
2.某品牌笔记本单价为5 000元/台，若一次购买不超过3台，价格不变；若一次购买超过 3台，超过部分的笔记本价格打七折．则付款金额y(元)关于购买台数x(台)的函数解析式为
________________________．
3.某日，王爷爷准备了80kg苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用．他按市场价售出50kg苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完．已知王爷爷电子钱包中的零钱总额y(单位：元)(含原有零钱)与售出水果的千克数x的关系如图所示，请结合图象回答问题：
（1）王爷爷的电子钱包中原有零钱____元；
（2）苹果降价前每千克____元，降价后每千克____元；
80
12
10
（3）请求出 y 关于 x 的函数解析式．
解：由图象和（1）（2）可得，
当0 ≤ x ≤ 50时，y=12x+80；
当50 < x ≤ 80时，y=10(x－50)+680，即y=10x+180.
综上，y关于x的函数解析式为y=
12x+80，0 ≤ x ≤ 50，
10x+180，50 < x ≤ 80 .

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