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(共27张PPT)
23.3 一次函数与方程（组）、不等式
1. 理解并掌握一次函数与方程（组）、不等式的转化关系及其本质联系.
2. 能运用函数的图象解释方程（组）的解、不等式的解集，并能通过图象求解或解集，利用一次函数图象的性质，解决实际问题.
　　 今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”.
二元一次方程
一次函数
到我这里来
到我这里来
这是怎么回事？
x + y = 5 应该坐在哪里呢？
探究1 如图，一次函数 y = 2x－1 的图象与 x 轴交点的横坐标是 0.5 . 当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是多少？ 由此可以得出一元一次方程 2x－1 = 0 的解吗？
y
O
－1
1
x
1
－1
y = 2x－1
y
O
－1
1
x
1
－1
y = 2x－1
1.从“数”的角度看：
一次函数问题 方程的解
2x－1=0 可以看作函数y=2x－1，当y=0时，求x的值 x=0.5
2.从“形”的角度看：
一次函数问题
2x－1=0 在直线y=2x－1上取纵坐标为0的点，求其横坐标
(0.5,0)
求ax+b=0（a，b 是常数，a≠0）的解
一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标
数形结合
1.如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵直线经过点，
∴关于x的方程的解为，
B
探究2 如图，利用一次函数 y=2x–1 的图象，你能得出函数值大于 0 时 x 的取值范围吗？函数值小于 0 时呢？
y
O
－1
1
x
1
－1
y = 2x－1
1.从“数”的角度看：
一次函数问题 不等式的解
2x－1>0 可以看作函数y=2x－1，当y>0时，求x的取值范围 x>0.5
2x－1<0 可以看作函数y=2x－1，当y<0时，求x的取值范围 x<0.5
y
O
－1
1
x
1
－1
y = 2x－1
2.从“形”的角度看：
一次函数问题
2x－1>0 在直线y=2x－1上取纵坐标大于0的点，求其横坐标的范围
2x－1<0 在直线y=2x－1上取纵坐标小于0的点，求其横坐标的范围
从“数”的角度看
求ax+b>0(或ax+b <0)
(a, b是常数，a≠0)的解集
求一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)，求自变量x的取值范围
求直线y=ax+b在x轴上方(或下方)部分的自变量x的取值范围
从“形”的角度看
数形结合
2.在平面直角坐标系中，一次函数y=kx和y=mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式(k-m)x-n>0的解集是________．
kx>mx+n
x>1
探究3 我们知道，方程2x－y=1可以转化为y=2x－1，它们有相同的解. y=2x－1对应一次函数y=2x－1. 类似地，对于二元一次方程2x－y=3，可以将其写成一次函数___________的形式．
y=2x－3
问题1：画出一次函数y=2x－3的图象；
问题2：找出一次函数y=2x－3的几组解；
问题3：将问题2中找出的几组解在平面直角坐标系中描出，你发现了什么
y=2x－3
找出的几组解在平面直角坐标系中描出后，均在直线y=2x－3上．
x=﹣1，y=﹣5
x=0，y=﹣3
x=1，y=﹣1
x=2，y=1
x=3，y=3
x=4，y=5
问题4：在一次函数y=2x－3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x－y=3的解吗
y=2x－3
找出的几组解在平面直角坐标系中描出后，均在直线y=2x－3上．
由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x, y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x, y)为坐标的点都在这条直线上．
二元一次方程
二元一次方程的解
一次函数
一条直线
一次函数
两变量的值
直线上
点的坐标
对应
对应
对应
对应
3.直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y=2的解的是( )
C
探究4 （1）求一次函数 y=2x－1 与 y=－+的图象的交点坐标，你有哪些方法？
y
O
－1
2
1
3
x
2
－2
－1
1
3
y = 2x － 1
P (1,1)
y=－+
解：从函数值考虑，两条直线相交时，交点处自变量相等，函数值也相等，所以所以2x－1=－+，解得x=1，代入y=2x－1，得y=1，所以交点坐标为(1, 1).
2x－y=1，
3x+5y=8，
（2）解方程组 并结合（1）中的交点坐标，说说你的发现.
解方程组 得
2x－y=1，
3x+5y=8，
x=1，
y=1.
发现：（1）中两条直线交点的坐标(x, y)的值即为方程组的解．
y
O
－1
2
1
3
x
2
－2
－1
1
3
y = 2x － 1
P (1,1)
y=－+
从数的角度看：
解这样的方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是何值；
由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从形的角度看：
解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
例 同时释放两个探测气球，1 号气球从距离地面 5 m 高处出发，以 1 m/s 的速度上升；2 号气球从距离地面 15 m 高处出发，以 0.5 m/s 的速度上升. 两个气球都上升了 1 min.
（1）分别写出表示两个气球所在位置的高度 y（单位：m）关于上升时间 x（单位：s）的函数解析式；
= 起始高度+上升高度.
解：气球上升时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5.
对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.
（2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
从“数”的角度看：就是对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.
由此可列二元一次方程组
y = x + 5，
y = 0.5x + 15.
解这个方程组，得
x = 20，
y = 25.
这就是说，当气球上升 20 s时，两个气球都距离地面 25 m.
从“形”的角度看：同一坐标系中，这两条直线的交点坐标为(20, 25)，这说明气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.
y/m
O
10
5
15
20
25
x/s
10
5
15
20
y = x + 5
y = 0.5x + 15
P (20,25)
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值，即一次函数与__________的横坐标.
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大(小)于 0 时，求自变量的取值范围，即在_________________的图象所对应的 x 取值范围.
解二元一次方程组 求对应两条直线____________
x 轴交点
x 轴上方 (或下方)
交点的坐标
1.已知直线y=ax-b的图象如图所示，则关于x的方程ax-b=0的解为x=_____，当x=0时，y=_____.
2
-1
2.一次函数y=ax+b的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥0的解集是( ).
A.x≥2 B.x≤2 C.x≥4 D.x≤4
B
（1）求每种付酬方案中y关于x的函数解析式；
方案一：y=40x.
方案二：y=20x+600.
3.某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是每月推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬.公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：
（2）当推销产品多少件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同？报酬是多少？
根据题意列方程组，得
y=40x，
y=20x+600.
x=30，
y=1200.
解得
答：当推销产品30件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同，报酬是1200元．
（3）若推销员某月推销产品35件，则他选择哪种方案所得报酬更高？
结合（2）中的答案和函数图象可得，当月推销产品35件时，选择方案一所得报酬更高．

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