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23.2 一次函数的图象和性质
课时3 用待定系数法求一次函数的解析式
1.学会用待定系数法确定一次函数的解析式．
2.能利用一次函数的解析式、图象和性质综合解决实际问题．
问题1：确定正比例函数解析式 y=kx(k≠0)，需要求出几个值？需要知道几个条件？
正比例函数解析式 y=kx(k≠0)中 x， y 分别代表自变量和函数值，只要求出 k 的值即可确定正比例函数的解析式，所以知道 1 个条件即可.
问题2：确定一次函数解析式 y=kx+b(k≠0)，需要求出几个值？需要知道几个条件？
一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中只要求出k ，b的值即可确定一次函数的解析式，所以知道 2 个条件即可.
问题3：已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
探究 已知一次函数的图象过点（2，－4）与（－3，11），求这个一次函数的解析式.
分析：求一次函数 y=kx+b 的解析式，关键是求出 k，b 的值（即待定系数）. 从已知条件可以列出关于 k，b 的二元一次方程组，进而求出 k，b.
y
O
－2
2
－4
4
6
8
10
12
x
－2
2
4
－4
（2,－4）
（－3,11）
解：设这个一次函数的解析式为y = kx + b（k ≠ 0）.
因为 y = kx + b 的图象过点（2，－4）与（－3，11），
k = －3，
b = 2.
解这个方程组，得
因此，这个一次函数的解析式为 y = －3x + 2.
2k + b = －4，
－3k + b = 11.
所以
设
列
解
代
待定系数法
y
O
－2
2
－4
4
6
8
10
12
x
－2
2
4
－4
（2,－4）
（－3,11）
步骤 核心要求
一设
二代 将已知点的坐标代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）
三解 解方程（组），求出待定系数的值
四写 将求出的系数代回所设的解析式，写出最终的函数解析式
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法.
1.一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
∴，∴.
∵点在上，
∴，
即. ∴.
A
解析：∵点在上，
函数解析式
y = kx+b
满足条件的两定点
(x1, y1)与(x2, y2)
一次函数的图象直线 l
选取
解出
画出
选取
从数到形
从形到数
待定系数法的核心，是利用 “形（函数图像上的点）” 定 “数（解析式中的系数）”，是数形结合思想的重要应用
例 一位记者乘坐汽车赴 360 km 外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路. 汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程 y（单位：km）与时间 x（单位：h）之间的关系如图所示.
（1）求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式；
当 0 ≤ x ≤ 2 时，汽车行驶的速度较快；
当 x > 2 时，汽车行驶的速度较慢.
分析：
对 0 ≤ x ≤ 2和 x > 2 两个时段分别讨论
解：当 0 ≤ x ≤ 2 时，函数图象是经过原点和点 A 的直线的一部分，
设函数的解析式为 y = k1x.
因为它的图象过点 A（2，180），
所以 180 = 2k1，解得 k1 = 90.
因此，当0 ≤ x ≤ 2 时，函数的解析式为 y = 90x .
（1）求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式；
当 x > 2 时，函数图象是经过 A，B 两点的直线的一部分.
设这个一次函数的解析式为 y = k2x + b2，
把点 A，B 的坐标分别代入 y = k2x + b2，得
k2 = 60，
b2 = 60.
解得
2k2 + b2 = 180，
3.5k2 + b2 = 270.
因此，当 x > 2 时，函数的解析式为 y = 60x + 60.
综上，当 0 ≤ x ≤ 2 时，y = 90x；当 x > 2 时，y = 60x + 60.
分段函数
（1）求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式；
（2）记者出发后多长时间到达采访地？
解：由图象可知，当 y = 360时，x > 2.
由 360 = 60x + 60，解得 x = 5.
因此，记者在出发 5 h 后到达采访地.
当 0 ≤ x ≤ 2 时，y = 90x；
当 x > 2 时，y = 60x + 60.
①若某一段图像是过原点的直线段，或题意为正比例关系，设为 ;
②若某一段图像是普通直线段，或题意为一次线性关系，设为
③不同区间的待定系数用下标区分(如第一段用、,第二段用、).
2. 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示.若该用户本月用水18吨，则应交水费(C　)
A. 43.2元
B. 45元
C. 46.8元
D. 48元
C
用待定系数法求
一次函数解析式
设：设出一次函数的解析式 y=kx+b（k ≠ 0）
列：将已知的两组x，y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k, b的二元一次方程组
解：解所列的方程组，求出 k ，b 的值
代：将求出的k ，b的值代入所设解析式中，得到所求一次函数的解析式
求一次函数解析式，解决实际问题
1.在直角坐标系中，直线和直线相交于点.则_______．
解：将点代入直线
得；
再将点代入直线，得，
解得．
2.已知一次函数的图象经过点且平行于，则b的值为______．
解：∵两直线平行，
∴，则，
∴函数表达式为，
又∵图象经过点，
∴，即，
∴
3.甲、乙两人在某大街上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 m，先到终点的人原地休息. 已知甲先出发 4 min，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离 y（单位：m）与甲出发的时间 x（单位：min）之间的关系如图中折线 OABCD 所示.
（1）甲的速度为______m/min，
乙的速度为______m/min；
60
80
（2）求线段 AB 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
解：设线段 AB 的函数解析式为 y = kx + b（4 ≤ x ≤ 16），
把（4，240），（16，0）代入，
得
4k + b = 240，
16k + b = 0.
则线段 AB 的函数解析式为
y = -20x + 320（4 ≤ x ≤ 16）.
k = -20，
b = 320.
解方程组得
（3）乙比甲早几分钟到达终点？
甲步行完全程所用时间为 2400÷60 = 40（min），
乙步行完全程所用时间为2400÷80 = 30（min），
乙比甲早到终点的时间为
40-30-4 = 6（min）.
所以乙比甲早 6 min 到达终点.

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