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23.2 一次函数的图象和性质
课时2 一次函数的图象和性质
1.会画一次函数的图象，理解一次函数与正比例函数图像的平移关系.
2.经历从特殊到一般推导一次函数的图像特征，归纳出一次函数的性质.
3.利用一次函数的图象与性质解决数学问题．
正比例函数
解析式：y=kx (k≠0)
图象：
y
x
O
k>0
y
x
O
k<0
性质：
一次函数
解析式：y=kx+b (k≠0)
？
？
一次函数y=kx+b的图像是什么形状？有什么性质？
经过原点和(1, k)的一条直线
k>0，y随x的增大而增大，k<0，y随x的增大而减小.
探究1：(1)画出函数y=－3x与y=－3x+1的图象.
解：函数y =－3x与y=－3x+1中的自变量x可为任意实数. 列表表示几组对应值.
x … －1 －0.5 0 0.5 1 …
y=－3x … …
y=－3x+1 … …
3
1.5
0
－1.5
－3
4
2.5
1
－0.5
－2
描点、连线，画出函数 y=－3x 与 y=－3x+1的图象.
y
O
－1
1
－2
－3
2
3
4
x
－1
1
2
－2
y=－3x
y=－3x+1
探究1：(2)比较这两个函数的图象的相同点与不同点，填写你的观察结果：
这两个函数的图象形状都是_____，并且倾斜程度_____.
函数 y=－3x 的图象经过原点，函数 y=－3x + 1的图象与 y 轴交于点________，即它可以看作由直线 y=－3x 向____平移____个单位长度而得到.
直线
相同
（0，1）
上
1
y
O
－1
1
－2
－3
2
3
4
x
－1
1
2
－2
y=－3x
y=－3x+1
思考1：联系上面结果，考虑一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）的图象是什么形状，它与直线 y = kx（k ≠ 0）有什么关系？
一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）的图象可以由直线 y = kx平移 | b | 个单位长度得到.
当 b > 0 时，向上平移；当 b < 0 时，向下平移.
一次函数 y=kx+b（k ≠ 0）的图象也是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b.
1.一次函数y=－0.5x+4的图象是由正比例函数_________的图象向____平移____个单位长度得到的一条直线.
y=－0.5x
上
4
思考2：我们已经知道一次函数的图像是一条直线，而两点确定一条直线，由此我们不需要描 5 个点画图像. 选哪两个点最方便、计算最简单？
第一个点：优先选与 轴的交点，代入，得，即点，无需复杂计算，直接可得.
第二个点：优先选时的点，代入得，即点；
或选与x轴的交点，代入 ，得，即点.
例 画出函数 y=2x－1 与 y=－0.5x+1 的图象.
解：列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值（如下表）.
x 0 1
y=2x－1 －1 1
y=－0.5x+1 1 0.5
y
O
－1
1
－2
－3
2
3
x
－1
1
2
－2
y = 2x－1
y = －0.5x + 1
过点(0, －1)与(1, 1)画出直线y=2x－1；
过点(0, 1)与(1, 0.5)画出直线y=－0.5x+1.
还有别的方法吗？
y
O
－1
1
－2
－3
2
3
x
－1
1
2
－2
先画直线y=2x与y=－0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=2x－1与y=－0.5x+ 1.
y = 2x
y=2x－1
y = 2x
y = 2x－1
向下平移 1 个单位长度
y =－0.5x
y = －0.5x + 1
向上平移 1 个单位长度
y = －0.5x
y=－0.5x+1
例 画出函数 y=2x－1 与 y=－0.5x+1 的图象.
探究2：画出函数 y=x+1，y=－x+1，y=2x+1，y=－2x+1的图象，观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律.
y
O
－1
1
－2
－3
2
3
x
－1
1
2
－2
y=－x+1
y=x+1
y=2x+1
y=－2x+1
一次函数 k值 正负性 图象经过的象限 图象变化规律
y=x+1 k>0 一、二、三 从左向右
上升
y=－x+1 k<0 一、二、四 从左向右
下降
y=2x+1 k>0 一、二、三 从左向右
上升
y=－2x+1 k<0 一、二、四 从左向右
下降
y
O
－1
1
－2
－3
2
3
x
－1
1
2
－2
y=－x+1
y=x+1
y=2x+1
y=－2x+1
一般地，一次函数 y=kx+b（k，b 是常数，k ≠ 0）具有如下性质：
当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大；
当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小.
思考：一次函数的解析式y=kx+b中，k的正负对函数图象有什么影响？
y
O
－1
1
－2
－3
2
3
x
－1
1
2
－2
y=－1·x+1
y=1·x+1
y=2x+1
y=－2x+1
2.在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第几象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
解析：∵一次函数的，
∴随的增大而减小，
又∵，
∴直线与轴的交点位于轴的正半轴，
∴直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限.
C
一次函数 y=kx+b 的图象和性质
k，b 的符号 k > 0 k < 0 b > 0 b < 0 b = 0 b > 0 b < 0 b = 0
图象
与 y 轴交点的位置
经过的象限
性质 第一、二、三象限
第一、三、四象限
正半轴
第一、三象限
第一、二、四象限
第二、三、四象限
第二、四象限
负半轴
原点
正半轴
负半轴
原点
直线从左向右上升，y随x的增大而增大
直线从左向右下降，y随 x的增大而减小
1.关于一次函数，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象经过点 B．y的值随着x的增大而增大
C．函数图象经过一，二，四象限 D．函数图象与y轴交于负半轴
解：∵ 一次函数为，其中，，
当时，，
∴ 不经过点，
∵，
∴ y随x增大而减小，
∵，，
∴图象经过第一、二、四象限
当时，，
∴ 与 y轴交于，在正半轴
C
2.关于 x 的一次函数 y=mx+n 与 y=mnx（mn ≠ 0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
C
3.已知关于 x 的一次函数 y = (2m+4)x+(3-n).
（1）当 m，n 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
（2）当 m，n 取何值时，图象经过第一、二、三象限？
解：（1）由题意，得 2m + 4 < 0，3n 是任意实数，
所以 m < 2，n 是任意实数.
（2）由题意，得 2m + 4 > 0，3n > 0，
所以 m > 2，n < 3.

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