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23.1 一次函数的概念
1. 理解一次函数的概念，掌握一次函数的一般形式．
2. 明确正比例函数与一次函数的从属关系，能根据实际问题列出一次函数解析式．
问题：某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃.
这个问题中有哪些变量？哪个是自变量？哪个是因变量？
两个变量：登高距离和气温
自变量
因变量
气温 y 是登高距离 x 的函数吗？如果是，用函数解析式表示 y 与 x 的关系，并求当登山队员向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温.
根据函数的定义，在这个变化过程中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，因此是 的函数.
y= 6x+5
当x=2时，y= 6×2+5= 7(℃).
思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.
（1）铁的密度约为 7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化.
（2）每个练习本的厚度为 0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化.
m=7.9V
h=0.5n
（3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化.
（4）把一个长10 cm、宽5 cm 的矩形的长减少x cm，宽不变，矩形的面积 y（单位：cm2）随x 的变化而变化.
m=h 105
y= 5x+50
观察以上问题中的解析式，它们常数、自变量分别是什么？和导入环节的 ，在形式上有什么共同特征？
①
②
③
④
这些函数解析式都可以写成 “常数 × 自变量 + 常数” 的形式
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.
一次函数解析式的特点：
1.结构上看：函数=常数×自变量+常数.
2.解析式中自变量x，函数y的指数都是“1”.
3.比例系数k≠0.
4.常数项b通常不为0，但也可以等于0.
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.
定义中为什么要求k≠0？如果k=0，式子会变成什么？还是一次函数吗？
当时，式子变成了什么？
时，，式子中没有自变量，是常数函数，不存在“一次项”，因此不是一次函数.
特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠ 0）的函数，叫作正比例函数，其中 k叫作比例系数.
一次函数
正比例函数
思考：正比例函数和一次函数是什么关系？
①正比例函数是特殊的一次函数；
②只有当时，一次函数才是正比例函数.
已知关于x的函数y=(m－3)x|m|－2+n－2.
（1）当m，n取何值时，它是一次函数？
（2）当m，n取何值时，它是正比例函数？
解：（1）由题意，得|m|－2=1，m－3≠0，n－2为任意实数，所以当m=－3，n为任意实数时，它是一次函数.
（2）由题意，得|m|－2=1，m－3≠0，n－2=0，所以当m=－3，n=2时，它是正比例函数.
例 一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1 kg的物体，弹簧伸长2cm.
（1）求弹簧的长度 y（单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式；
解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂 x kg的物体时，弹簧伸长 2x cm.
因此，y关于x的函数解析式为y=2x+12.
例 一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1 kg的物体，弹簧伸长2cm.
（2）当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？
解：（2）把x=5代入 y=2x+12，得y=2×5+12=22.
因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm.
y=2x+12
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.
特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠ 0）的函数，叫作正比例函数，其中 k叫作比例系数.
一次函数
正比例函数
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
1.下列函数是自变量中，是正比例函数的有( )
是常数.
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
C
解：正比例函数定义：.
① ，是正比例函数；
② 化简得 ，是正比例函数；
③ ，若 则不是，不一定是；
④ 不是函数.
2.某公司制作毕业纪念册的收费如下：设计费与加工费共 1000 元，另外每册收取材料费 4 元，则总收费 y 与制作纪念册的册数 x 的函数关系式为 ，该函数 (填“是”或“不是”)一次函数.
y＝4x＋1000
是　
3.根据相关部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经历“排水—清洗—注水”的过程.某个蓄水2500 m3的游泳池在打开排水阀后，以20 m3/min的速度排水.
（1）写出该游泳池中剩余水量y（单位：m3）关于排水时间x
（单位：min）的函数解析式，这个函数是一次函数吗 （不要求写出自变量的取值范围）
解：根据题意，得y=－20x+2500．这个函数是一次函数．
（2）排水1h时，游泳池中剩余水量是多少
（3）游泳池完全排空需要多久
解：令y=0，得－20x+2500=0，解得x=125．
故游泳池完全排空需要125min．
y=－20x+2500
解：1h=60min，当x=60时，y=－20×60+2500=1300．
故排水1h时，游泳池中剩余水量是1300m3．

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