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第 8 章 基础卷
考试时间:100 分钟 满分:120 分 成绩:_
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1.(2025 陕西)计算 的结果为 ( )
A. B. C. D.
2. 若 都不为 0,且计算 时能用平方差公式,则 应满足的关系是 ( )
A. 同号 B. 异号 C. 互为相反数 D. 互为倒数
3. 若 的结果中不含 项,则常数 的值为 ( )
A. 0 B. C. 1 D. -2
4. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差, 那么称这个正整数为“创新数”. 如: ， ，所以 8，16 这两个数都是“创新数”. 下列整数中，是“创新数”的为____
A. 20 B. 22 C. 26 D. 24
5.已知 ，则代数式 的值为 ( )
A. 10 B. 5 C. -5 D. -10
6. 设 是有理数,定义一种运算如下: . 有下列结论: ① 若 ，则 且 ; ② ；③ ；④ . 其中正确的有 ( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
7. 如图,正方形 和正方形 都在长方形 中,且 四点分别在长方形 的边上, 两点在 上. 若正方形 的面积为 10,图中阴影部分的面积总和为 4,则正方形 EFGH 的面积为 ( )
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5
(第 7 题)
(2025·江苏宿迁模拟)如图所示为《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，此图揭示了(a + b)“(n 为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律. 此规律还可以解决实际问题:假如今天是星期三，过 7 天仍是星期三,那么再过 天是 ( )
(第 8 题)
A. 星期日 B. 星期一 C. 星期三 D. 星期四
二、填空题(每小题 2 分，共 20 分)
9.(2024 黑龙江哈尔滨)定义新运算: ※b＝ab+ ，则(2m)※m 的运算结果是_____.
10.(1)(2024.(江苏苏州)若 ，则 _____；
(2)已知 ，则 _____.
11. 已知 是多项式，计算 时，小马虎同学把 看成 ，结果得 ，则 _____.
12. (2025 江苏南京模拟)如果多项式 是一个完全平方式，那么 的值为_____.
13. 若化简关于 的整式 得到的结果是一个三次二项式,则 _____.
14. 已知一个正方形,若先把它的一组对边加长 ,再把它的另一组对边减少 ,这时得到的长方形面积与原正方形的边长减少 后的正方形面积相等,则原正方形的面积是_____ .
15.(2025·江苏盐城模拟)在对(a +3b) 化简求值时，亮亮把 a 值看错后代入得到的结果为 10，而小明代入正确的 值得到的结果也是 10，且两人的运算过程都无错误. 经探究后，发现所求代数式的值与 值无关，则他俩代入的 值之和为_____.
16.(2025·江苏苏州模拟)已知 ，则 _____.
17. 若 ,则 的值为_____.
18. 将大小不同的两个正方形按图①②的方式摆放. 若图①中阴影部分的面积是 24, 图②中阴影部分的面积是 30，则大正方形的边长是_____.
①
②
三、解答题(共 76 分)
19. (12 分)计算:
(1)(2025．吉林长春改编) ；
(2) ；
(3) ;
(4) .
20. (9 分)利用乘法公式简便计算:
(1) ； (2) ；
(3) .
21. (4 分) 已知 ,求 的值.
22. (6 分) 当 为自然数时, 能被 24 整除吗 请说明理由.
23.(6分)阅读:一个三位数，百位数字是 ，十位数字是 ，个位数字是 ，我们不能用 表示，而要表示为 ,有时为书写方便可以表示为 ,即 .
(1)类比: _____；
(2)观察下列等式: ; ; ; 5+25.
猜想: ① _____, ② _____(填式子);
(3)验证:利用所学知识说明猜想②正确.
24.(7分)新趋势 推导探究 有一系列等式:
,
,
...
(1)根据你观察、归纳、发现的规律，则 的结果为_____；
(2)试猜想 是哪一个数的平方,并说明理由.
25.(7分)给出如下定义:我们把有序数对 叫作关于 的二次多项式 的特征系数对， 把关于 的二次多项式 叫作有序数对 的特征多项式.
(1)关于 的二次多项式 的特征系数对为_____；
(2)求有序数对 的特征多项式与有序数对 的特征多项式的乘积；
(3)若有序数对 的特征多项式与有序数对 的特征多项式的乘积的结果为 ，则 的值为_____.
26. (8分)两个边长分别为 和 的正方形按如图①所示放置，其未重叠部分(阴影)的面积为 ；若再在图①大正方形的右下角摆放一个边长为 的小正方形 (如图②)，两个小正方形叠合部分(阴影)的面积为 .
(1)用含 的代数式分别表示 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)将这两个正方形如图③放置，阴影部分的面积为 ，用含 ， 的代数式表示 ；当 时,求 的值.
①
②
③
27. (8分)数学兴趣小组的小舒和小涵两名同学将连续的正整数1,2,3……排成如图①所示的数表，从中框出某些数，做了如下探索:
(1)小舒在数表中框出“十”字形，并将关于中心数对称的两数相乘，再把左右积与上下积作差，请你帮忙完成探索过程.
① 计算:20×22÷12×30=_____，33×35=25×43=_____，不难发现，结果都是_____，
② 验证:图②是从图①中取出的一部分，在选中的五个数中，若设中心数为 ，则 ， ， ， 所对应的数分别为_____，_____，_____，_____(用含 的代数式表示)，请你利用整式的运算,对①中的发现进行推理验证;
(2)小涵在数表中框出 “ ” 字形，并将顶端左右两数相乘，再与底端数的平方作差，即图③中 . 若计算的结果是 -541 ，求小涵框出的五个数中的最小数.
①
②
③
28.(9 分) 借助图形直观感受数与形之间的关系，我们常常可以发现一些重要结论.
【初步应用】
(1)① 如图①，大长方形的面积可以看成 4 个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法则:_____(用图中字母表示)，
② 如图②，借助①，写出一个我们学过的公式:_____(用图中字母表示)；
【深入探究】
(2)仿照图②，构造图形并计算 ；
【拓展延伸】
借助以上探究经验，解答下列问题:
(3)① 将代数式 展开、合并同类项后，得到的多项式一共有_____项；
② 若正数 和正数 满足 ,请通过构造图形比较 与 的大小(画出图形,无需说明理由);
③ 已知 满足 ,求 的值(用含 的代数式表示).
①
②
参考答案
1. D 2. C 3. B 4. D
5. A 因为 ，所以 . 所以原式
6. 因为 ,所以 ,即 . 所以 互为相反数. 故①不正确；因为 ,且 ,所以 . 故 ② 正确; 因为 ,且 与 是否相等未知,所以 与 不一定相等. 故 ③不正确; 因为 ,且 ,所以 . 故④正确. 综上，正确的有 2 个.
7. C 设正方形 的边长为 ,正方形 的边长为 . 由题意,得 ,且 4,则 . 所以 ,即 . 所以 ,即 . 所以 . 则正方形 的面积为 2 .
8. 由 “杨辉三角”,得 ,所以 被 7 除的余数是 1 . 因为今天是星期三, 所以再过 天是星期四.
9. 10. (1)
11. 12. 8 或-4 13. 9
14. 25 设原正方形的边长是 . 由题意, 得 ,所以 ,解得 . 所以 . 则原正方形的面积是 .
15. 0 因为 ,且小明和亮亮得到的结果都为 10, 所以小明和亮亮代入的 值分别为 -1,1,即他俩代入的 值之和为 .
16. 10 因为 899,所以 899,即 . 又 ,所以 . 因为 100,所以 .
17. 88 由题意,得 1) .
18. 8 设题图中大正方形的边长为 ,小正方形的边长为 ,则 . 由题意,得 , ,所以 48, ,即 . 所以 ,即 8. 则大正方形的边长为 8 .
19. ( 1 )原式 .
(2)原式 .
(3)原式
(4)原式
20. ( 1 )原式
(2)原式 2) 4) .
(3)原式
21. 原式 . 因为 , 所以 ,即 . 则原式 .
22. 能被 24 整除. 理由如下: . 因为 为自然数,所以 为正整数,即 能被 24 整除. 所以 能被 24 整除.
23. (1)
(2)①
②
(3)因为 ，所以 . 又 ,所以 , 即猜想②正确.
24.(1) (或 7 921)
(2) . 理由如下: 因为 ,所以 .
25.
(2)因为有序数对 的特征多项式为 ,有序数对 的特征多项式为 ,且 ，所以有序数对 的特征多项式与有序数对 的特征多项式的乘积为 .
(3)-6 由题意，得 . . 令 ,则原式 . 所以
26.(1)由题意，得 .
(2)由(1)，得 ，所以 . 又 ,所以 64，即 . 所以 .
(3)由题图，得 . 由 (2),得 ,且 ,所以 , 即 .
27. ( 1 )① 80 80 80
② 由题意，得( x 一 1) 80. 则小舒的运算结果都是 80 .
(2)由题意，得 . 又 ,所以 , 解得 . 又由题图①的数表规律,得 是小涵框出的五个数中的最小数, 即小涵框出的五个数中的最小数为 5 .
28. (1)
②
(2)如图①，则 .
①
②
(3)① 15 因为 ,所以一共有 15 项.
② 如图②，则 .
③ 因为 ，所以
,即 ,所以 , 即 . 所以 . 又 ,所以
,即 . 所以

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