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第 7 章 提优卷
考试时间:100 分钟 满分:120 分 成绩:_____
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1.(2025·江苏苏州)下列运算正确的是 ( )
A. B. C. D.
2. 若 ，则 的值是 ( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 64
3.(2025·江苏徐州模拟)若 有意义，则 的取值范围为 ( )
A. B.
C. 或 D. 且
4. 若 ， ，则 a、 之间的大小关系是 ( )
A. B. C. D. 以上都不对
5. (2024 河北)若 都是正整数，且满足 ，则 与 之间的关系正确 8个2°相加_____8个2°相乘的是 ( )
A. B. C. D.
6.(2025·江苏淮安期中)已知 都为自然数，且 ，则 的值不可能是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. (2025 江苏无锡模拟)如图，一质点 从距原点 8 个单位长度的点 处向原点方向跳动，第一次跳动到 的中点 处,第二次从点 跳到 的中点 处,第三次从点 跳到 的中点 处…… 如此不断跳动下去，则第 2025 次跳动后，该质点到原点 的距离为 ( )
A. 2 B. 2 C. 2 D.
8. 的个位数字是 ( )
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
二、填空题(每小题 2 分，共 20 分)
9. (2025 马南改编)通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有 0.000074 m/s，比蜗牛爬行的速度还慢. 数据“0.000074”用科学记数法表示为_____.
10. ( 1 )(2024 重庆 A 卷)计算: _____；
(2)(2024 天津)计算 的结果为_____.
11.(2025·江苏泰州期中)我们学过的“幂的运算”有:① 同底数幂的乘法; ② 幂的乘方; ③ 积的乘方； ④ 同底数幂的除法. 在 “ ”的运算过程中,运用了上述幂的运算中的_____. (填序号)
12.(2025·江苏南京模拟)若 ，则 的值为_____.
13. 若 ，则代数式 的值是_____.
14.(1)(2025 - 江苏常州期中)已知 128，则(2-m) _____； (2)若 ，则 _____.
15.(1)已知 ，则 的值为_____；
(2) 与 的大小关系是_____.
16. 对于有理数 ，定义运算: 重点的上述 例如: . 照此定义的运算方式计算: _____.
17. 已知 ,则 _____.
18. 若 ，则 _____.
三、解答题(共 76 分)
19. (12 分) 计算:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) .
20. ( 6 分)在学习了幂的运算后，数学老师在黑板上写出了一道题目:若 ，试求 的值. 聪明的晓菲写出了如下的解答过程:
(1)晓菲计算中的 是根据_____，计算的；
(2) 是依据_____得到的，这样应用_____(填“可以”或“不可以”)；
(3)根据你对晓菲同学的解答过程的理解，解答下面的问题:已知 ，试求 的值.
21. (6 分) 求出下列各式中的 :
(1) ； (2) .
22. (6分)
(1)已知 ,求 的值;
(2)已知 ,求 的值.
23.(6分)阅读下列材料:
若 ,则 的大小关系是 _____ (填“>”或“<”).
解: 因为 ,所以 . 所以 .
解答下列问题:
(1)上述求解过程中, 逆用的幂的运算性质是 ( )
A. 同底数幂的乘法 B. 同底数幂的除法
C. 幂的乘方 D. 积的柔方
(2)已知 ,试比较 与 的大小.
24.(8 分)教材重读:小明在回顾第 7 章《幂的运算》过程中，又仔细阅读七下教材 P16 如下的一段话:规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后,同底数幂的除法运算性质可以扩展为 , 是整数). 小明注意到当 是正整数, 时,教材给出根据幂的定义证明 是正整数， )成立，但对于幂的运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释. 为此,小明进行了如下的探究:
(1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则: ( 是正整数， )；
(2)当 时,根据负整数指数幂的定义,得 _____ . 又 ,所以 ;
(3)当 是正整数时,根据负整数指数幂的定义，说明: .
25. (8分)(2025 江苏南京期中)已知 .
(1)说明:
① ，
② ；
(2)求 的值.
26.(8分) 能被 13 整除吗(n 为自然数)？
27. (8分)(2025 辽苏宿迁期中)已知 ，试说明:(a -1) .
28. (8 分)规定两个正数 之间的一种运算记作 . 如果 ，那么 . 例如:因为 9,所以 .
小明在研究这种运算时,发现了一个结论: . 小明给出了如下说明:
设 .
由规定,得 .
所以 .
所以 .
所以 .
请你解答下列问题:
(1) _____， ；
(2)试说明: ；
(3)若正数 满足 ,求 的值.
参考答案
1. C 2. D 3. D
4. A 因为 ,且 ,所以 .
5. A 由题意,得 ,所以 ,即 .
6. 因为 ,所以 或 或 2 或 ,即 或 6 或 5 或 4. 则 的值不可能是 8 .
7. 由题意,得点 表示的数为 ,点 表示的数为 ,点 表示的数为 所以点 表示的数为 ( 为正整数), 即点 表示的数为 . 所以第 2025 次跳动后,该质点到原点 的距离为 .
8. C 原式 . 因为 所以 为正整数) 的个位数字按3,9,7,1循环,即 为正整数) 的个位数字也按3,9,7,1循环. 因为 ,所以 的个位数字与 的个位数字相同,即为 1 . 又 的个位数字是 7, 所以原式的个位数字是 7 .
9. 10. (1)3 (2) 11. ①②③
12. 9 13. 2 14. (1) -1 (2) 81
15.(1)18 (2)
(1)因为 ,所以原式 . (2) 因为 ,且 ,所以 .
1
由题意,得 . 所以 .
0
因为 ,且 ,所以 ,即 . 所以
18. 1 因为 ,所以 ,即 . 所以 . 又 ,所以 ,即 . 所以原式 .
19. ( 1 )原式 .
(2)原式 .
(3)原式 .
(4)原式 .
(5)原式 .
(6) 原式
20. (1)幂的乘方的运算法则
(2)幂的乘方的逆运算 可以
(3)原式 . 当 时, 原式 .
21. ( 1 )因为 ，所以 ,即 . 所以 ,解得 . 则 的值为 3 .
(2)因为 ，所以 ,即 . 所以 ,解得 . 则 的值为 .
22. ( 1 )因为 ，所以 . 所以
(2)因为 ，所以 ,即 . 所以 ,解得 . 则原式 .
23. (1)C
(2)因为 ，所以 . 又 ,所以 ,即 .
24.(1)因为 是正整数，所以 ,即
(2)
(3)因为 是正整数， ，所以 ,即
25.(1)① 因为 ，且 12,所以 ,即 . 所以 .
② 因为 ,且 ,所以 ,即 . 所以 .
(2)由(1)，得 ，两式相加，得 ,所以 . 又 18，所以 .
26. 原式 . 因为 为自然数,所以 是正整数,即 能被 13 整除. 所以 能被 13 整除.
27. 因为 ,所以 ,即 . 同理,得 . 所以 ,即 . 所以 ,即 1) .
28. ( 1 )4
(2)设 . 由规定，得 . 又 ,所以 , 40) . 所以 .
(3)因为 ， ,所以 , . 所以 . 所以 ,解得 . 则 的值为 5 .

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