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第 9 章 提优卷
一、选择题 (每小题 3 分, 共 24 分)
1. (2025 吉林)如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能. 若图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角 后,能够与它本身重合,则角 的大小可以为 ( )
A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°
(第 1 题)
如图， 的边 的长为4cm. 将 向上平移 2cm 得到 ，且 ，则图中阴影部分的面积为 ( )
(第 2 题)
A. B. C. D.
3. 如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，得到 ， 交 于点 . 当 时，点 恰好落在边 上，此时 的度数为 ( )
(第 3 题)
A. B. 85° C. D. 95°
4. 已知三个完全相同的等边三角形按图甲所示摆放. 若添加一个大小相同的等边三角形, 使这四个等边三角形组成一个中心对称图形(如图乙), 则添加的等边三角形是 ( )
(第 4 题)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
5. (2025 马河北)如图，将长方形 沿对角线 折叠，点 落在点 处， 交 于点 . 将 沿 折叠,点 落在 内部点 处. 设 ,则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
(第 5 题)
如图, 和 关于直线 对称,连接 交直线 于点 . 若 的周长为 10，五边形 的周长为 13，则 的长为 ( )
(第 6 题)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 如图，一个花园的平面图为长方形，其被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后仍是中心对称图形. 若只知道原来大长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形为 ( )
(第 7题)
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
8. 如图①②为一张纸片的两种剪拼方案(沿虚线剪开)，记图①为方案中，图②为方案乙，其中 . 对于方案甲,满足 于点 ; 对于方案乙,满足 ,点 在 上. 若要拼一个与原纸片面积相等的正方形(纸片没有空隙也不重叠)，则下列结论正确的是 ( )
①
②
A. 方案甲可以, 方案乙不可以 B. 方案甲不可以，方案乙可以
C. 方案甲、乙都不可以 D. 方案甲、乙都可以
二、填空题(每小题 2 分, 共 20 分)
9. 如图， 与 关于点 成中心对称， 于点 . 若 ，则 与 的比为_____.
(第 9 题)
如图，在正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度得到 ，则其旋转中心是点_____.
(第 10 题)
如图, 是 内部一点, 两点分别是点 关于直线 与 的对称点,连接 与 交于点 ，与 交于点 . 若 ，则 的周长为_____cm.
(第 11 题)
如图，分别以线段 的两端点为圆心， 为半径作弧相交于 ， 两点，连接 ，点 在线段 上，连接 . 若 与 的周长之差为4cm，则 的长为_____cm.
(第 12题)
13. 如图，第 1 幅图案是由灰、白两种颜色的正六边形地砖组成，第 2,3 幅图案可以看成是第 1 幅图案经过平移而得……若按此规律平移下去，则第 5 幅图案中白色地砖有_____块，第 ( 为正整数) 幅图案中白色地砖有_____块.
(第 13 题)
14.(2025 江苏无锡期末)如图，在四边形纸片 中， 两点分别在边 上，将纸片沿 折叠， ， 两点分别落在 ， 两点处，且 恰好经过点 ， 交 于点 ，连接 . 若 平分 ，且 ， ，则 的度数是_____。
(第 14 题)
15.已知大正方形的边长为10cm,小正方形的边长为4cm,起始状态如图所示. 大正方形固定不动，把小正方形以 的速度向右沿直线平移. 设平移的时间为 ,两个正方形重叠部分的面积为 . 当 时，小正方形平移的时间为_____。
(第 15 题)
16. (2025·江苏泰州模拟)如图，在 的方格纸中，画 (顶点均在格点上)与 关于方格纸中的一个格点成中心对称，则这样的 有_____个.
(第 16 题)
如图，在 中， ，三边长分别为 ， ， ，将 沿直线 翻折，得到 ； 后将 沿直线 翻折,得到 ; 再将 沿直线 翻折,得到 翻折 4 次后,所得图形 的周长为 ,则如此翻折 11 次后,所得图形的周长为_____. (结果用含 的代数式表示)
(第 17 题)
(2025 江苏扬州期中)如图，直角三角形纸片 和直角三角形纸片 完全相同，且 ， 两点重合,点 在边 上, 与 交于点 . 现将图中的 绕点 以每秒 的速度按逆时针方向旋转 ,设旋转的时间为 ,则当 恰有一边与 平行时， _____.
(第 18 题)
三、解答题(共 76 分)
19.(6 分)如图，在方格纸中有一个 ， 的顶点都在格点上.
(1)在方格纸中画出 先向下平移 4 个单位长度，再向右平移 6 个单位长度得到的 ；
(2)在方格纸中画出与 关于点 成中心对称的 ，请在方格纸中标出点 .
(3)若可将 绕点 旋转得到 ，请在方格纸中标出点 .
20. (6分)如图， 和 关于点 成中心对称，且 是 沿 方向平移得到的.
(1)若 ，求 的周长;
(2)猜想 与 之间的数量关系，并说明理由.
21. (6分)如图，在 中， ， ，将 绕点 按逆时针方向旋转，得到 ,点 的对应点 恰好落在线段 上. 试说明: .
22. (6分)如图，直线 上摆放着两个大小相同的直角三角板，它们中较大锐角的度数为 . 将三角板 沿直线 向左平移到图中 的位置，使点 的对应点 恰好落在边 上， 为 与 的交点.
(1)求 的度数;
(2)试说明: .
23. (6分)如图， 是 内部一点，连接 两点是点 分别以 两条直线为对称轴的对称点,连接 .
(1)请指出当 的度数是多少时, 的长等于 7(直接写出答案)？
(2)当 不是(1)中指出的度数时, 的长是小于 7 还是大于 7 ？请说明理由.
24.(8 分)新趋势(推导探究)如图，在长方形纸片 中， ，点 在边 上，将长方形纸片沿
折叠后，点 的对应点为点 ， 交 于点 .
(1)判断 和 之间的大小关系，并说明理由;
(2)连接 ，若 平分 ， ，求 的度数.
25. (8 分) (2025 - 江苏无锡模拟)知识背景:过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成完全相同的两个部分.
(1)如图①，直线 经过中心对称图形 的对称中心 ，分别交 ， 于 ， 两点，则 _____ (填“>” “<” 或 “=”)；
(2)两个大小不等的正方形按如图②所示摆放， 为小正方形对角线的交点，求作过点 的直线将整个图形分成面积相等的两部分;
(3)八个大小相同的正方形按如图③所示摆放，求作一条直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种不同的方法分割).
①
②
③
26. (8 分)如图， 是边长为6cm的等边三角形， ， 两点分别从 ， 两点同时出发，沿三角形的边按顺时针方向运动，点 的运动速度为 ，点 的运动速度为 ，当 ， 两点第一次相遇时，两点停止运动. 设两点的运动时间为 . 连接 . 已知等边三角形任意一边的垂直平分线经过所对角的顶点,则在两点运动过程中,当线段 的垂直平分线经过 的某一顶点时, 求 的值.
27.(10分)若两角之差的绝对值等于 60°，那么称这两个角互为“等差角”，即若 ,则称 和 互为“等差角”. (本题中所有角都是指大于 0° 且小于 的角)
(1)已知 和 互为“等差角”. 若 ，则 _____；若 ，则 _____；
(2)如图①，将一长方形纸片 沿着 翻折( ， 两点分别在边 ， 上)，点 落在点 处. 若 与 互为“等差角”,求 的度数;
(3)再将纸片沿着 翻折(点 在边 上)，点 落在点 处. 如图②，若 三点在同一条直线上，且 与 互为“等差角”,求 的度数 (翻折后，线段 在 内部).
①
②
28. ( 12 分) 如图①，将三角板 与三角板 摆放在一起，其中 ， ， . 如图②,固定三角板 ,将三角板 绕点 按顺时针方向旋转,记旋转角 .
(1)在旋转过程中，当 为_____时， ；当 为_____时， ；
(2)当 的一边与 的某一边平行(不共线)时，直接写出旋转角 的所有可能的度数.
①
②
参考答案
1. B 2. A 3. B 4. D
5. D 由题意,得 和 关于直线 对称, 和 关于直线 对称,所以 , . 又 ,所以 . 又 ,所以 . 所以 . 又 ,所以 . 所以 . 又 , 所以 . 故选项 D 符合题意.
6. 因为 和 关于直线 对称,所以 . 又 的周长为 10,所以 . 又五边形 的周长为 13,且 ,所以 ，即 . 所以 ,即 .
7. A 设大长方形的长、宽分别为 ,长方形①的长、宽分别为 ，正方形②③的边长分别为 . 由题图,得 , . 又大长方形的周长为 ,长方形①的周长为 ,正方形②的周长为 ,正方形③的周长为 ,所以分割后不用测量就能知道周长的图形为①②.
8. D 方案甲如图①所示，将四边形 移至 处,将四边形 移至 处,将 移至 处,所以得到一个与原纸片面积相等的正方形; 方案乙如图②所示，将 移至 处，将 移至 处，所以得到一个与原纸片面积相等的正方形，即方案甲、乙都可以.
9. 10. 11. 8 12. 5
13. 由题图，得第 1 幅图案中白色地色地砖有 (块),第 2 幅图案中白色地砖砖有 (块),第 3 幅图案中白色地砖有 (块)……以此类推,第 ( 为正整数) 幅图案中白色地砖有 块. 所以第 5 幅图案中白色地砖有 (块).
14. 130 设 . 因为 平分 , 所以 . 又 ,所以 . 由题意,得四边形 与四边形 关于直线 对称,所以 . 所以 . 因为 ,所以 . 因为 ,所以 ,即 . 因为 ,所以 ,即 ,解得 . 所以 . 又 , 所以 .
15. 1 或 13 因为 , ,所以当 时, . 若 ,则 ,解得 ; 当 时, ; 当 时, . 若 ,则 ,解得 ; 当 时, . 综上,当 时,小正方形平移的时间为 或 .
16.2 如图:
17. 由规律，得当翻折 次，且 1) 时,若 为奇数,则所得图形的周长为 ; 若 为偶数,则所得图形的周长为 . 又 , 所以翻折 11 次后,所得图形的周长为 .
18. 2 或 8 或 10 因为 , ,所以 . 又 绕点 以每秒 的速度按逆时针方向旋转 ,在旋转的过程中, 恰有一边与 平行,所以有 或 或 . 分类讨论如下: ① 如图①,当 时,设 交 于点 ,则 . 又 ,所以 . 所以旋转的时间 ; ② 如图②，当 时， . 又 ,所以 . 所以旋转的时间 ; ③ 如图③，当 时，延长 交 于点 ,则 . 又 ,所以 ,即 . 所以旋转的时间 . 综上,当 恰有一边与 平行时, 或 8 或 10 .
①
②
③
19.(1)如图， 即为所作.
(2)如图， 即为所作.
(3)如图，连接 ，相交于点 ， 则 绕点 旋转 得到 , 点 即为所作.
20. ( 1 )因为 和 关于点 成中心对称, ,所以 , . 所以 的周长为 .
(2) . 理由如下:由题意，得 ， 所以 . 由 (1),得 ,所以 .
21. 因为 ,所以 . 由题意,得 , . 所以 是等腰三角形,即 . 所以 . 所以 ,即 .
22.(1)由题意，得 . 由平移的性质,得 . 所以 .
(2)由(1)，得 ， . 由平移的性质,得 . 所以 ,即 . 所以 .
23.(1)当 时， . 连接 . 设 交 于点 交 于点 . 因为 两点是点 分别以 两条直线为对称轴的对称点,所以 与 关于直线 对称, 与 关于直线 对称,即 . 又 ,所以 . 又 ,所以 ,即 , 三点共线. 所以 ,即 . 所以 ,即 . 所以当 时, 的长等于 7 .
(2) 的长小于 7 . 理由如下:连接 ， . 由 (1)，得当 时， 的长等于7， ,所以此时 三点共线,即当 时, 三点不共线. 所以由三角形两边之和大于第三边,得 , 即 . 所以 的长小于 7 .
24.(1) . 理由如下:因为 沿 折叠为 ,所以 与 关于直线 对称,即 . 又 , 所以 ,即 . 所以 .
(2)由(1)，得 . 因为 ， ,所以 . 又 平分 ,所以 . 又 ,所以
25. (1)
(2)如图①所示:
(3) 如图②所示:
①
②
26. 由题意,得 ，当点 运动到点 时, ; 当点 运动到点 时, ; 当点 返回到点 时, ; 当点 运动到点 时, ; 当点 运动到点 时, ,所以 两点第一次相遇时, ,且相遇在点 ,即 的取值范围为 . 当 ,线段 的垂直平分线经过点 时, 与 关于线段 的垂直平分线对称,即 . 又 ,所以 ,解得 ; 当 ,线段 的垂直平分线经过点 时,设线段 的垂直平分线交 于点 ，且等边三角形任意一边的垂直平分线经过所对角的顶点,则 . 所以 ,即 . 又 , ,所以 ,解得 ; 当 ,线段 的垂直平分线经过点 时,同理,得 . 又 , ,所以 ,解得 ; 当 ,线段 的垂直平分线经过点 时,设线段 的垂直平分线交 于点 . 同理,得 . 又 , ,所以 2,解得 . 综上, 的值为 或 或 或 .
27. (1)100°30° 或 150°
(2)由题意，得 与 关于直线 对称. 所以 . 设 ,则 . 又 ,所以 . 又 与 互为“等差角”, 所以 ,即 2x) 为 或 .
(3)由题意，得四边形 与四边形 关于直线 对称. 所以 . 由 (2)，得 . 又 ， ， 三点共线,且 在 内部,所以 . 又 与 互为“等差角”,所以 ,即 . 所以 . 又 ,所以 2 ( ,解得 . 则 的度数为 .
28.(1) 如图①，记 与 的交点为 . 因为 ,所以 . 因为 ,所以 ,即 . 如图②,记 与 的交点为 . 因为 , 所以 . 又 ,所以 . 所以 ,即 .
①
②
(2) 的所有可能的度数为 ， . ① 当 时,由 (1),得 ; ② 当 时，如图②. 因为 ，所以 ,即 . 由( 1 )，得 ； ③ 当 时，如图③. 因为 ， ,所以 . 因为 ,所以 . 又 ，所以 ,即 ; ④ 当 时,如图④, ,所以 ,即 ; ⑤ 当 时,如图⑤, . 因为 ,所以 ,即 . 综上,旋转角 的所有可能的度数为 , .

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