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第 8 章综合 单元提优卷
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1.(2025·四川成都)下列计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知当 时， 的值为 -4，则 的值为 ( )
A. 74 B. 24 C. -74 D. -24
3. 若 均为整式,且 ,则称 能整除 . 例如: ,则 能整除 . 若 能整除 ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
4. 若 ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
5.(2025·江苏镇江期中)若多项式 的结果中不含 项和 项，则代数式 的值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.(2025·江苏南京期中)如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与次卧都为正方形，其面积之和比其余面积 (阴影部分) 多 ，则主卧与次卧的周长差为 ( )
A. B. C. D.
(第 6 题)
7. 若 ,则 的值为 ( )
A. 41 B. 25 C. 80 D. 82
8. 将两张长为 、宽为 的长方形纸片按图①②两种方式放置在大正方形中，图①② 中两张长方形纸片的重叠部分分别记为 和 ，大正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图①②中阴影部分的面积分别记为 和 . 若已知下列条件，则仍不能求出 值的是 ( )
(第 8 题)
A. 长方形纸片长和宽的差 B. 长方形纸片的周长和面积
C. 和 的面积差 D. 长方形纸片和 的面积差
二、填空题(每小题 2 分，共 20 分)
9.(2024 四川乐山)已知 ，则 _____.
10. (2025 四川内江)已知 满足 ，则 _____.
11. 调皮的弟弟把小雅的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目(如图)，请你帮她推算出被除式等于_____.
12. 已知关于 的二次三项式 是一个完全平方式，则 的值是_____.
13. 若 ， 都为常数，且在 的积中，二次项的系数为 2，三次项的系数为 5，则 _____.
14. 若 互为倒数,且 ,则 _____.
15. 已知 四个数排成 ，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为 . 若 ,则 _____.
16.(2025·江苏无锡模拟)已知 满足 ，则 _____.
17. 已知 ,则 _____.
18. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律, 称之为 “杨辉三角”. 如图, 这个三角形给出了 的展开式的系数规律(按 的次数由大到小的顺序). 请依据上述规律，写出 的展开式中含 项的系数是_____.
(第 18 题)
三、解答题(共 76 分)
19. (12 分) 计算:
(1)(2024 吉林改编)(a + 1)(a - 1) ；
(2)(2025 河南) ；
(3) ; (4)75×2.6×1=12×3.5×2(简便计算).
20. (4 分)试说明:对于任意大于 1 的正整数 ，整式 的值一定是 10 的倍数.
21. (6分)先化简，再求值:
(1)(2025·四川乐山) ( ，其中 ；
(2) ,其中 .
22. (6 分) 如图所示空地是由边长分别为 和 的两个正方形组成，计划在左侧留出一个宽是 的长方形区域做水池,剩余阴影部分做花坛.
(1)根据图中的数据，用含有 ， 的代数式表示出花坛的总面积(结果化为最简)；
(2)若 ，求出此时花坛的面积.
(平位: m)
23.(6分)若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，则称这个正整数为“和谐数”. 如: ,因此 1 和 7 都是“和谐数”.
(1)判断 11 是否为“和谐数”,并说明理由;
(2)下面是某个同学演算后发现的两个结论, 请选择其中一个结论, 判断对错, 并说明理由.
结论 1: 数 ( 为正整数) 是 “和谐数”;
结论 2: “和谐数”一定是奇数.
24. (6 分) 已知 是关于 的多项式,且 .
(1)
(2)若 ，则多项式 的值为_____；
(3)若 ，求 的值.
25. (8分)王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列人数一样多的队形，且总人数不少于 25 ，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为 5 人一组，手执彩带变换图形, 在讨论分组方案时, 有人说现在的队员人数按 5 人一组分将多出 3 人, 你说这可能吗
26. (8 分)
(1)请用两种不同的方法列代数式表示图①的面积.
方法一:_____，
方法二:_____；
(2)若 ，根据(1)中的结论求 的值；
(3)如图②，将一个长为 、宽为 的长方形分成一个边长为 的正方形和两个长为 、宽为 1 的小长方形，并将这三个图形拼成图③，这时只需要补一个边长为 1 的正方形便可以构成一个大正方形.
① 把一个长为 、宽为 的长方形 按上述操作，拼成一个在一角去掉一个小正方形的大正方形，则去掉的小正方形的边长为_____；
② 若一个长方形的面积为 216，且长比宽大 6，求这个长方形的宽.
①
②
③
27.(10分) 阅读下列材料，完成相应的任务.
平衡多项式
定义:对于一组多项式 ( 是常数),当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数 时,称这样的四个多项式是一组平衡多项式, 的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子.
例如: 对于多项式 . 因为 ,所以多项式 是一组平衡多项式, 其平衡因子为 .
(1)小明发现多项式 是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下: 3) ，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子；
(2)判断多项式 是否为一组平衡多项式. 若是,求出其平衡因子; 若不是,说明理由;
(3)若多项式 ( 是常数)是一组平衡多项式，求 的值.
28. (10分)我们学过多项式乘多项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列，并把所缺的次数项用零补齐，再类比数的竖式除法求出商式和余式, 其中余式的次数低于除式的次数 (若余式为常数可取负数).
例:计算 ,可依照 672 ÷ 21 的计算方法用竖式进行计算 (如图①). 因此 (如图②).
(1) 的商式是_____，余式是_____；
(2)利用上述方法解决:若多项式 能被 整除，求 的值；
(3)已知一个长为 、宽为 的长方形 ，若将它的长增加 6，宽增加 ，就得到一个长方形 ， 此时长方形 的周长是长方形 周长的 2 倍 (如图③). 另有长方形 的一边长为 ，若长方形 的面积比长方形 的面积大 76，求长方形 的另一边长 (用含 的代敛式表示).
参考答案
1. D 2. D 3. B 4. C
5. C . 因为多项式 2) 的结果中不含 项和 项,所以 . 两式相加，得 ，则 . 所以 .
6. 设主卧的边长为 ,次卧的边长为 ,则房屋的边长为 . 由题意, 得 ,所以 . 又 , 所以 . 又 ,所以 1.5. 则主卧与次卧的周长差为 .
7. A 因为 ,所以把 代入原方程,得 ; 把 代入原方程,得 . 两式相加,得 ,则 .
8. 设大正方形的边长为 . 由题图,得 , ,则 . 所以 . 故选项 不符合题意; 又 ,所以不能求出 的值. 故选项 D 符合题意; 又 ,所以 . 故选项 A, B 不符合题意.
12.
16. 90 因为 ,所以 ,即 . 所以 . 又 ,所以
17. -3 因为 ,所以 ,所以 . 所以 . 又 ,所以 ,即 . 又 , 所以 .
18. -4052由题意，得 的展开式为 ,所以展开式中含 项的系数是 2026 .
19.(1)原式 .
(2)原式 .
(3)原式 16) .
(4)原式
20. 因为 ,且 为大于 1 的正整数，所以 为正整数，即 是 10 的倍数. 则整式 的值一定是 10 的倍数.
21. ( 1 )原式 . 当 时,原式 .
(2)原式 . 当 时,原式 .
22. ( 1 )由题图，得花坛的总面积为
(2)由(1)，得花坛的总面积为 ，且 ,所以此时花坛的面积为
23. ( 1 )11 是“和谐数”. 理由如下:因为 ,所以 11 是“和谐数”.
(2)选择结论 1 :结论 1 正确. 理由如下:因为 为正整数,所以 与 是两个连续的自然数. 又 ,所以数 是 “和谐数”. 所以结论 1 正确.
选择结论 2 : 结论 2 正确. 理由如下: 设两个连续的自然数分别为 和 . 所以 “和谐数” 可表示为 . 所以 “和谐数” 一定是奇数. 所以结论 2 正确.
24. (1) 因为 ,所以 .
(2)10由(1)，得 . 因为 ,所以 ,即 4. 所以 ,即 . 所以多项式 的值为 10 .
(3)由(1)，得 ，所以原式 . 因为 . ,所以 ,即 . 则原式 .
25. 不可能. 理由如下: 因为全体队员可排成方阵, 所以总人数为完全平方数. 设排成方阵时每行 人,则总人数为 . 根据队形变化时 5 人一组,可考虑 为 中的某种, 为正整数,从而 可能为 ,由此可得,无论哪种情形,总人数按每组 5 人分，要么正好，要么多出的人数是 1 或 4 , 不可能多出 3 人.
26. (1)
(2)由(1)，得 . 又 ,所以 .
(3)① _____解析:由题意，得这个长方形的长比宽多 ，所以分成的小长方形的宽为 . 所以大正方形中去掉的小正方形的边长为 .
② 设这个长方形的宽为 ，则这个长方形的长为 . 由题意,得 ,即 . 因为 , ,所以 ,解得 . 则这个长方形的宽为 12.
27. (1)因为 ,所以该组平衡多项式的平衡因子是 .
(2)多项式 是一组平衡多项式. 因为 ,所以多项式 1， ， ， 是一组平衡多项式，该组平衡多项式的平衡因子是 .
(3)当多项式 ( 是常数) 是一组平衡多项式时, 有下列三种情况: ① 若 的结果是常数,则 ,解得 ; ② 若 1) 4) 的结果是常数,则 ,解得 ; ③ 若 4) 的结果是常数,则 ,解得 . 综上, 的值为 -3 或 7 或 -5 .
28.(1)
(2)因为多项式 能被 整除,所以由列竖式计算,易得 . 所以 2. 则 .
(3)由题意，得长方形 的长为 8,宽为 . 又长方形 的周长是长方形 周长的 2 倍,所以 ,即 . 所以长方形 的宽为 . 所以长方形 的面积为 . 又长方形 的面积比长方形 的面积大 76,且长方形 的一边长为 ，所以长方形 的另一边长为 . 则长方形 的另一边长为 .

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