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第 7 章 幂的运算基础卷
考试时间:100 分钟 满分:120 分 成绩:
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1.(2025·吉林)计算 的结果为 ( )
A. B. C. D.
2. 下列各式运算结果为 的是 ( )
A. B. C. D.
3. 若 ,则 之间的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
4. 若 ,则 的值为 ( )
A. 9 B. -9
C. D.
5. 定义一种新的运算: ，则 的值是_____ ( )_____
A. -3 B. 5
C. D.
6. 若 ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
7.(2025·江苏苏州模拟)方程 的解为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知 满足 ,则 2016m-3363n+1347k 的值为 ( )
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
二、填空题(每小题 2 分，共 20 分)
9. 2023 年 10 月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”. 什么是阿秒 1 阿秒等于 秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一. 目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是 43 阿秒，将 43 阿秒用科学记数法表示为_____秒。
10.(1)(2024·江苏苏州)计算: · _____；
(2)(2025 · 黑龙江绥化)计算: _____.
11. (2025 四川乐山)已知 ， ，则 _____.
12. 已知 ，且用含 的代数式表示 ，则 _____.
13.已知两个单项式 与 是同类项，且 ， 两数互为相反数，则 _____.
14.(1)已知 ，则代数式 的值为_____；
(2)若 ，则 的个位数字是_____.
15. 若 满足 ，则 满足的等式为_____.
16.(2025·江苏宿迁期中)若 ，则 _____.
17. 若 都是大于 1 的正整数，且满足 ，则 的最小值为_____.
18. 已知等式 ，则 的值为_____.
三、解答题(共 76 分)
19. (12 分)计算:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) .
20. (9 分)求出下列各式中的 :
(1) ； (2) ；
(3) .
21. (6 分)
(1)若 ，求 的值；
(2)已知 ，其中 都为正整数，求 的值.
22.(4 分) 已知 能被 19 整除，则 能否被 19 整除？ 并说明理由.
23. (6 分)一个正方体纸箱的棱长为 .
(1)这个纸箱的体积是多少(用科学记数法表示)？
(2)若一个小正方体的棱长为 ，则需要多少个这样的小正方体才能将这个纸箱装满(不考虑纸箱厚度)
24.(6 分)
(1)你发现了吗
由上述计算，我们发现: _____ (填“>”“<”或“=”)；
(2)仿照(1)，请你通过计算，判断 与 之间的大小关系；
(3)我们可以发现: _____ (填“>”“<”或“ =”)；
(4)计算: × .
25.(8分)记
.
(1)计算: ；
(2)求 的值；
(3)试说明: 与 互为相反数.
26. (8 分)我们知道，同底数幂的乘法法则为 (m，n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数 的一种新运算: (其中 为正整数).
例如: 若 ,则 .
(1)已知 .
①
② 当 ，求 的值；
(2)若 ，化简: .
27. (8分)定义一种幂的新运算: ，请利用这种运算规则解答下列问题.
(1)求 的值；
(2)若 ,求 的值；
(3)若运算 的结果为 392，则 的值是多少？
28.(9分) 阅读以下材料:
苏格兰数学家纳皮尔(J. Napier, 1550—1617 年)是对数的创始人. 他发明对数是在指数书写方式之前,直到 18 世纪瑞士数学家欧拉 (Euler,1707-1783 年) 才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:一般地,若 ,则 叫作以 为底 的对数. 记作 . 比如: 指数式 可以转化为对数式 ,对数式 可以转化为指数式 .
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
. 理由如下:
设 ,则 . 所以 . 由对数的定义,得 . 又 ,所以 .
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题:
(1)① _____，② _____，③ _____；
(2)说明: ；
(3)计算: .
参考答案
1. D 2. B 3. C 4. A
5. B 由题意,得
6. A 因为 ,所以
7. 由题意,得 ,则原方程可化为 ,解得 或 (舍去). 则原方程的解为 .
8. 因为 ,且 ,所以 ,即 . 所以 1,即 . 所以 . 所以
9. 10. (1) (2) 01.12
12. 13. (或 19683) 14. (1) 5 (2) 3
15. 因为 ,且 ,所以 ,即 . 所以 .
16. 由题意,得 , 所以 ,即 .
17. 42 因为 ,且 , 都是大于 1 的正整数,所以 的最小值为 7,即 的最小值为 . 则 的最小值为 42 .
18. -2 或 1 或 0 分类讨论如下:① 当 时,解得 ; ② 当 1 时,解得 ; ③ 当 时,解得 0,此时 ,且 . 综上, 的值为 -2 或 1 或 0 .
19.(1)原式 .
(2)原式 .
(3)原式 .
(4)原式 .
(5)原式 .
(6) 原式 .
20. ( 1 )因为 ，所以 ,即 . 所以 ,解得 . 所以 .
(2)因为 ，所以 . 所以 ,解得 . 所以 .
(3)因为 ，所以 ,即 . 所以 ,解得 . 所以 .
21. (1) 原式 . 当 时，原式 .
(2)因为 ，且 都为正整数,所以 1,即 .
22. 能. 理由如下: 由题意,设 为正整数). 因为 , 所以 能被 19 整除.
23. ( 1 )由题意，得这个纸箱的体积是
(2)因为 (个),所以需要 个这样的小正方体才能将这个纸箱装满.
24.(1)=
(2)因为 ,所以 .
(3)
(4)原式 .
25. (1) .
(2)
(3) . 所以 与 互为相反数.
26. ( 1 )① 125
因为 ，所以 . 又 ,所以 125.
② 由 (1) ①,得 ,且 ,所以 ,即 ,解得 . 则 的值为 2 .
( 2 )因为 ，所以 以此类推, 则 ( 为正整数). 所以
27. .
(2)当 时，
(3)因为 ,且 ,所以 ,即 . 所以 ,即 . 所以 ,解得 . 所以 的值为 1 .
28.( 1 )① 5 ② 3 ③ 0
① . ② . ③ .
(2)设 ，则 . 所以 . 由对数的定义，得 . 又 ,所以
(3)原式 .

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