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第七至九章 综合测试基础卷
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1. (2024 黑龙江大庆)人体内一种细胞的直径约为 1.56 微米，相当于 0.00000156 米，则数据 0.00000156 用科学记数法表示为 ( )
A. B. C. D.
2.(2025 湖北)下列运算的结果为 的是 ( )
A. B. C. D.
3. (2025 广东深圳) 下列计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
4. 4 张扑克牌放在桌子上，小明将其中的一张牌绕其中心旋转 180°(如图)，则旋转的扑克牌从左数是 ( )
A. 第一张 B. 第二张 C. 第三张 D. 第四张
(第 4 题)
5. 已知等式 中有两个数被墨水污染了,则你认为等式中 “●”和“▲”所对应的数分别是 ( )
A. 4,16 B. 4,256 C. 256,4 D. 4,64
6. 若 ,则 的值是 ( )
A. 2026 B. 2026 C. D.
7.(2024·江苏无锡)如图，在 中， ， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 . 当 落在 上时, 的度数为 ( )
(第 7 题)
A. 65° B. 70° C. 80° D. 85°
8. 如图，在 中， ， ， 是边 上一点，连接 ，将 沿 翻折后得到 ，边 交 于点 . 若 中有两个角相等，则 的度数为 ( )
(第 8 题)
A. 15° 或 20° B. 20° 或 30° C. 15° 或 30° D. 15° 或 25°
二、填空题(每小题 2 分, 共 20 分)
9.(2024 上海)计算:(a+b) _____.
10.已知 ，则代数式 _____.
11. 已知 ，则 的值为_____.
12. (2025·江苏徐州模拟)如图是一块长方形场地 ，长 ，宽 ， 两处入口的小路宽都为 ，两小路汇合处路宽为 ，其余部分种植草坪，则草坪面积为_____ .
(第 12 题)
13. 定义一种新运算: ,例如: . 若 ,则 _____.
14. 已知 ,则 的值是_____.
15. 如图,在直角三角形 中, 分别是边 上的点,连接 ,将 沿 折叠得到 . 若 ，则 的度数为_____.
(第 15 题)
如图, 为线段 上一点 ,分别以 为边向上作正方形 和正方形 ，连接 . 若 ，则 _____.
(第 16 题)
如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针方向旋转 ，旋转后的点 落在边 上，点 的对应点为 . 若 恰好是 的平分线，则 _____.
(第 17 题)
如图,在直角三角形 中, 分别是边 上的动点,连接 ,则 的最小值是_____.
(第 18 题)
三、解答题(共 76 分)
19. (8分)计算:
(1) ; (2) ;
(3)(2024 山东济宁改编) ；
(4) .
20. (4分)如图，在 中.
(1)作 的垂直平分线 ，交 于点 ，交 于点 ；
(2)连接 . 若 ，求 的周长.
21. (4分)已知 ， ，求 的值.
22. (6 分)若 的计算结果中不含 项与 项.
(1)求 的值；
(2)求代数式 的值.
23.(6分)如图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”. 此图揭示了 ( 为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律.
(1) 的展开式共有_____，函式系数和为_____；
(2)根据上面的规律，则 的展开式为_____；
(3)利用上面的规律计算: .
(8 分)
【计算】小红在计算 时，得到的结果是 ，则“□”表示的数为_____.
【发现】小红对计算结果 很感兴趣,她发现有些数 可以表示成 为自然数)的形式,她把这类数称为 “神秘数”. 例如: 所以 3,19,327 是“神秘数”. 请写出两个 10 以内的“神秘数”(不包含 3):_____，_____.
【探究】小红进一步研究,发现像 19,327 这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按【发现】中给出的代数式计算出来, 她把这些“神秘数”称为 “双奇神秘数”. 请结合图中信息试说明所有 “双奇神秘数” 被 4 除余 3 .
不妨设两个连续奇数分别为 ， ，其中 为正签数……
25. (8分)(2025 - 江苏淮安模拟)若 ( 且 ， ， 是正整数)，则 . 利用这个结论解答下列问题:
(1)如果 ,求 的值;
(2)如果 ,求 的值;
(3)若 ，用含 的代数式表示 .
26. (10分)如图， 与 关于直线 成轴对称， 与 关于点 成中心对称， ， 三点都在线段 上,连接 的延长线交 于点 .
(1)试说明: ；
(2)若 ，请你判断 与 之间的数量关系，并说明理由.
27. (10分)如图①是由一些相同的小正方形组成的 网格， 和 的顶点都在格点上(图 ⑤⑥中的 和 与图①完全相同).
【基础设问】
(1)如图②，直线 经过点 ，请在图中作出 关于直线 对称的 ；
(2)如图③，将图形 先向下平移 2 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得图形 ， 请在图③中画出图形 ；
(3)请在图④中补画两个三角形，使其与已知的两个三角形组成的图案是中心对称图形；
【能力设问】
(4)如图⑤， 是由 绕点 旋转得到的，请利用尺规确定点 的位置(不写作法，保留作图痕迹)；
(5)如图⑥，将 沿 方向平移，平移距离为线段 的长.
① 画出平移后的 ；
② 判断 与 之间的位置关系，并说明理由.
①
②
③
④
⑤
⑥
28.(12分)把图①的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图(重合处无缝隙).
(1)如图②，将四个基本图形进行拼图，得到正方形 和正方形 ，计算图中阴影部分的面积(用含 ， 的代数式表示)，并写出一个等式；
(2)如图③，将四个基本图形进行拼图，得到四边形 ，求图中阴影部分的面积(用含 ， 的代数式表示)；
(3)如图④，将图③的上面两个基本图形作为整体图形向左移动 个单位长度，再向上移动 个单位长度后得到一个长方形，且 ，线段 把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为 . 若 ,试说明: 的值与 无关.
①
②
③
④
参考答案
1. C 2. C 3. B 4. A 5. B
6. C 因为 ,所以 ,即 . 又 ,所以 4,即 . 所以 中有 1 个为 0 . 当 时, ,此时 ; 当 时, ,此时 . 综上,
7. 因为 ,所以 . 由旋转的性质,得 . 又点 在 上,所以 .
8. C 因为 , ,所以 . 又 ,所以 . 由题意,得 与 关于直线 对称,所以 设 ,则 . 又 ,所以 ,即 . 又 ,所以 . 又 ,所以 . 因为 ,所以 . 又 中有两个角相等,所以有下列三种情形: 当 时, ,解得 ; 当 时, ,解得 (不符合题意,舍去); 当 时, ，解得 . 综上， 的度数为 或 .
9. 10. 1 11. 2 12.
13. 3 由题意,得 ,即 . 又 ,所以 ,即 .
14. 因为 ,所以 . 又 ,且 ,所以 ,即 .
15. 因为 ,所以 . 由题意,得 和 关于直线 对称,所以 . 又 ,所以 . 又 ,所以 . 又 ,所以 , 即 .
16. 3 设 . 由题意,得 5, ,所以 ,即 . 又 ,所以 ，即 . 所以 . 又 ,所以 ,即 . 所以 . 则
17. 由题意,得 . 因为 是 的平分线,所以 , . 又 ,且 ,所以 . 同理,得 ,且 ,所以 . 由旋转的性质,得 . 所以 是等腰三角形,即 . 所以 ,解得 . 则 .
18. 分别作点 关于直线 的对称点 ,连接 , ,则 . 所以 . 又 ,所以 ,即 三点共线. 所以 . 又 ,所以当 的长最小时, 的值最小,即当 的长最小时, 的值最小,且最小值为 . 又 是边 上的动点,所以当 时, 的长最小. 又 ,且 ,所以 . 所以 的最小值是
19.(1)原式 .
(2)原式 .
(3)原式 .
(4) 原式
20. ( 1 )如图，直线 即为所作.
(2) 由( 1 )，得 是 的垂直平分线，所以 关于直线 对称，即 . 又 ,所以 的周长为 .
21. 因为 ,所以 25,即 . 所以 . 又 ,所以
22. ( 1 )由题意，得含 的项为 ; 含 的项为 . 因为计算结果中不含这两项,所以 ,解得 . 把 代入 中,得 ,解得 . 则 的值分别为 .
(2)由(1)，得 ， . 所以 . 所以原式 .
23.(1)(n + 1)2 ″解析:由题图中的规律，得(a + 的展开式共有 项，系数和为 .
(2)
(3) 由题意,得当 时, . 所以当 3, 时,
24.【计算】4 ,所以 ,即 .
【发现】79(答案不唯一)
【探究】设两个连续奇数分别为 , 其中 为正整数,则 . 所以所有“双奇神秘数”被 4 除余 3 .
25.(1)因为 ，且 ,所以 ,即 ,解得 . 则 的值为 4 .
(2)因为 . ,且 ,所以 3250,即 . 所以 ,解得 . 则 的值为 2 .
(3)因为 ，所以 . 又 ,所以 .
26.(1)因为 与 关于直线 成轴对称, 与 关于点 成中心对称, 所以 ,即 .
(2) . 理由如下:因为 与 关于直线 成轴对称, 与 关于点 成中心对称,所以 , . 又 ,所以 . 又 ,所以 . 又 ,所以 . 又 ,所以 . 同理,得 ,所以 .
27.(1)如图①， 即为所作.
①
②
(2)如图②，图形 即为所作.
(3)如图③，四边形 即为所作(答案不唯一).
③
④
(4)如图④，点 即为所作.
(5)① 如图⑤， 即为所作.
⑤
② . 理由如下:如图⑤，延长 交 于点 . 由题意,得 . 因为 ,所以 ,即 . 所以 . 因为 是由 平移得到的,所以 . 所以 ,即 .
28.(1)因为在题图②中，四边形 是正方形， 阴影部分是正方形 ，所以 . 因为四个基本图形的面积为 ，所以 ,即等式为 .
(2)因为 ，所以四边形 是正方形,即 . 所以 ,即
(3)由题图④，得 ，所以 的值与 无关.

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