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第七至九章阶段测试 提优卷
一、选择题 (每小题 3 分, 共 24 分)
1.(2025·黑龙江龙东地区)下列运算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2.(2025 · 江苏淮安模拟)已知 ，则下列关于 ， ， 的大小关系正确的是 ( )
A. B. C. D.
3. (2025·湖南长沙)如图，将 沿折痕 折叠，使点 落在边 上的点 处. 若 5, ,则 的周长为 ( )
A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7
(第 3 题)
4. 若 都为整数， 为正整数，则满足等式 的所有 的值之和为 ( )
A. 60 B. 50 C. 40 D. 30
5. 跨学科整合是新课程的重要理念之一. 仔细观察会发现各门学科都与数学有着密切的联系. 小明在学习了《图形的变换》后，把 26 个英文字母分为 5 类:① H，X；② N，S，Z；③ B，C，D，K； ④ M, T, V, W, Y;⑤ F, G, J, L, P, Q. 剩下的 6 个英文字母 A, E, I, O, R, U 分别归类为 ( )
A. ①③④①③④ B. ⑤③①①③④
C. ④③①①⑤④ D. ④③⑤①①①
6. 如图，两个正方形的边长分别为 和 . 如果 ， ，那么图中阴影部分的面积是( )
(第 6 题)
A. 15 B. 17 C. 20 D. 22
7. 如图,在 中, ,将 绕点 按逆时针方向旋转得到 两点分别与 两点对应),且 与 的度数之比为 . 当旋转角大于 且小于 时,旋转角的度数为 ( )
(第 7 题)
A. 或 B. 40° 或 140° C. 50° 或 130° D. 20° 或 160°
8. 将图①中周长为32的长方形纸片剪成 1 号、2 号、3 号、4 号正方形和 5 号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为 48 的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 ( )
(第 8 题)
A. 16 B. 24 C. 30 D. 40
二、填空题(每小题 2 分，共 20 分)
9.(2025·山东威海改编)据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”. “破晓”存储器擦写速度提升至 400 皮秒实现一次擦或者写. 一皮秒仅相当于一万亿分之一秒，则 400 皮秒用科学记数法表示为_____秒。
10. 若 是一个完全平方式，则 的值是_____.
11. (2025 四川凉山)如图，将周长为 20 的 沿 方向平移 2 个单位长度得 ，连接 ，则四边形 的周长为_____.
(第 11 题)
如图，在 中， ， 是边 上一点，连接 ，点 关于直线 的对称点为点 ，连接 . 若 ，则 _____.
(第 12 题)
如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 . 若点 恰好落在边 上，且 ，则 的度数为_____.
(第 13 题)
14.若 的个位数字是 8，则 的个位数字是_____.( 为正整数)
15. (2025·江苏宿迁模拟)有两个正方形 ，现将 放在 的内部得图①，将 并列放置后构造新的正方形得图②. 若图①②中阴影部分的面积分别为 4 和 48，则正方形 ， 的面积差为_____.
(第 15 题)
16. 设 是从 这三个数中取值的一列数. 若 ,则 中值为 0 的个数是_____.
17. 如图,在锐角三角形 中, 为 上一动点,连接 ,将 分别沿 向外翻折,得到 ,连接 ,则 面积的最小值为_____.
(第 17 题)
18. 若 ( 都为自然数),且 ,则 的值为_____.
三、解答题(共 76 分)
19.(9分)计算:
(1) ； (2) (简便运算)；
(3) .
20. (5分)(2025. 湖南)先化简，再求值:(x+2) ，其中 .
21. (6分)已知代数式 化简后不含 项和常数项.
(1)求 ， 的值；
(2)求 的值.
22. (6分)如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)平移 到 ，其中点 的对应点为点 ，请画出 ；
(2)以点 为旋转中心，将 旋转 得到 ，请画出 ；
(3)已知 与 关于 中的一点成中心对称，则该点为_____.
23. ( 6 分)小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题:( 3 x y a ) 由于小马抄错了 的符号，得到的结果为 ；由于小虎漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果为 .
(1)求 的值；
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果.
24.(6分)已知常数 满足 ，且 ，求 的值.
25.(6分)新趋势 传统文化 如图所示图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力. 其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数 3745. 八进制是以 8 作为进位基数的数字系统， 有 共 8 个基本数字. 八进制数 3750 换算成十进制数是 .
(1)八进制数 3752 换算成十进制数是_____；
(2)小华设计了一个 进制数 143，换算成十进制数是 120，求 的值.
26.(10分)新趋势 情境素材阅读下列材料:
若 满足 ,求 的值.
解: 设 ,则 . 所以
请仿照上面的方法，解答下列问题:
(1)若 满足 ，求 的值；
(2)如图，正方形 的边长为 分别是 上的两点，且 ，长方形 的面积是 48，分别以 ， 为边作正方形.
① _____， _____(用含 的代数式表示)；
② 求图中阴影部分的面积.
(10分)
【阅读】我们约定，若一个三角形(记为 )是由另一个三角形(记为 )通过一次平移得到的，则称为 经过 变换得到 ; 若一个三角形 (记为 ) 是由另一个三角形 (记为 ) 通过绕其任意一边中点旋转 得到的，则称为 经过 变换得到 .
以下所有操作中每一个三角形只可进行一次变换,且变换均是从图中的基本三角形 开始的,通过变换形成的多边形中的任意两个小三角形 (指与 能完全重合的三角形) 之间既无缝隙也无重叠.
【操作】
(1)如图，由 经过 变换得到 ，又由 经过_____变换得到 ，再由 经过变换得到 ，形成了一个大三角形，记作 ；
(2)在 的基础上继续变换下去得到 ,若 的一条边上恰有 3 个基本三角形 (指有一条边在该边上的基本三角形)，则 含有_____个基本三角形；若 的一条边上恰有 11 个基本三角形，则 含有_____个基本三角形；
【应用】
(3)若 是正三角形，则你认为通过以上两种变换可以得到的正多边形是_____；
(4)请你用两次 变换和一次 变换构成一个四边形，画出示意图，并仿照下图作出标记.
28. ( 12 分)( 2025 · 江苏无锡期中)如图， . 在 中， ， ，点 在 上, 两点在 上, 两点在直线 上,在 中, .
(1)将 沿直线 平移，当点 在 上时，请画出图形并求 的度数；
(2)连接 ，将 沿直线 平移，当以 三点为顶点的三角形中有两个角相等时，请画出示意图并求出 的度数.
参考答案
1. C 2. C 3. D 4. C 5. C
6. B 因为 ,且 ,所以 . 由题图,得图中阴影部分的面积为
7. A 由题意,得 . 因为 与 的度数之比为 ,所以设 . 则旋转角的度数为 . 分类讨论如下: ① 当 在 右侧,即 时,解得 . 此时 ,则 ,解得 . 所以 ，即旋转角的度数为 ；② 当 在 左侧,即 时,解得 . 此时 ,则 ,解得 . 所以 ,即旋转角的度数为 . 综上,旋转角的度数为 或 .
8. 设 1 号正方形的边长为 号正方形的边长为 ,则 3 号正方形的边长为 号正方形的边长为 号长方形的长为 , 宽为 . 由题图①中长方形的周长为 32,得 ,解得 . 如图,因为题图②中长方形的周长为 48,所以 . 所以 . 由平移，得没有覆盖的阴影部分的周长为长方形 的周长,所以
9. 10. 12 或-811. 24 12.
13. 由旋转的性质,得 . 所以 是等腰三角形,即 . 又 ,所以 是等腰三角形，即 . 又 ,所以 . 设 , 则 . 所以 . 又 ,所以 ,解得 . 则 .
14. 4 因为 32768……所以 的个位数字为2,4,8,6循环, 的个位数字为8,4,2,6循环 ( 为正整数). 又 的个位数字是 8,所以 . 所以 . 又 ,所以 的个位数字与 的个位数字相同,即是 4 .
15. 20 设正方形 的边长分别为 , ,则 ,正方形 的面积为 ,正方形 的面积为 ,题图①中阴影部分的面积为 ,题图②中阴影部分的面积为 . 又题图①②中阴影部分的面积分别为 4 和 48，所以 ， ， 即 . 又 ,所以 ,即 . 又 ,所以 . 因为正方形 的面积差为 ,所以正方形 的面积差为 20 .
16. 176 因为 ,所以 . 又 ,所以 1850. 因为 ,所以 , 中值为 0 的个数是 2026-1850=176 .
17. 由题意,得 与 关于直线 对称, 与 关于直线 对称,所以 ,即 . 又 ,所以 . 所以 ,即 . 所以 ,即当 的长最小时, 最小. 又 为边 上一动点, 是锐角三角形,所以当 时, 的长最小,此时 在 内部. 又 , ,所以 ,即 . 所以 的长的最小值为 ,即 面积的最小值为 .
18. 99 或 195 设 . 由题意,得 . 因为 ,所以 ,即 . 同理,得 . 所以 . 又 ,所以 . 又 都为自然数,且 ,所以 或 . 则 或 195 .
19. (1)原式 .
(2)原式
(3)原式 .
20. 原式 . 当 时,原式 .
21. ( 1 )因为 化简后不含 项和常数项,且 ,所以 ,解得 . 则 的值为 的值为 -12 .
(2)原式 . 由 (1),得 ,则原式 .
22. ( 1 )如图， 即为所作.
(2)如图， 即为所作.
(3)
23. ( 1 )由题意，得 12, ,且 a) ,所以 ,即 . 所以 ,解得 . 则 . 所以 的值为 的值为 -3 .
(2)由(1)，得 ，所以这道整式乘法题化为 . 又 ,所以这道整式乘法题的正确结果为 .
24. 因为 ,所以 . 所以 3. 因为 ,所以 . 所以 ,即 6- . 所以 . 因为 ,所以 .
25.(1)2026 八进制数 3752 换算成十进制数是 .
(2)由题意，得 ，所以 . 又 121,所以 . 又 ,所以 ,解得 . 则 的值为 9 .
26. ( 1 )设 ，则 . 所以 (5- .
(2)①
② 由(2)①，得 ，所以 . 又长方形 EMFD 的面积是 48,所以 48,即 . 设 ,则 . 又 ,且 ,所以 . 所以 . 又 ,所以 . 所以 . 则题图中阴影部分的面积为 28 .
27. ( 1 ) 绕 与 公共边的中点旋转 得到的 ,即 经过 变换得到 通过一次平移得到 ,即 经过 变换得到 .
(2)9 121 如图①，当 的一条边上恰有 3 个基本三角形时, 含有 9 个基本三角形. 以此类推得出当 的一条边上恰有 11 个基本三角形时, 含有 (个) 基本三角形.
(3)正三角形和正六边形 由题意，可以得到正三角形和正六边形.
(4)如图②， 经过 变换得到 ， 经过 变换得到 ， 经过 变换得到 ,得出四边形 . (答案不唯一,合理即可)
②
28.(1)如图①. 因为 ， ,所以 . 又 ,所以 . 又点 在 上,所以 . 又 ,所以 ,即 . 又 ,所以 .
(2)因为 在直线 上，所以 或 . 又 ,所以 ,即 或 . 由题意,得当点 在直线 下方时, 以 三点为顶点的三角形中不存在两角相等. 因为在 中有两个角相等,所以有下列三种情况: 或 或 . 当点 在直线 和 之间时,此时 . 若 (如图 ②),则 ; 若 ,则 . 又 ,所以 . 由 (1),得 ,所以 ,即 LQAE. 所以此时点 在直线 上方,不符合题意,舍去; 若 ,同理,得点 在直线 上方,不符合题意,舍去. 当点 在直线 上方,点 在直线 下方时,此时 . 若 (如图 ③). 因为 ,所以 ; 若 (如图④),则 . 同理,得 ; 若 ,则 . 所以 ,即点 在直线 下方,不符合题意, 舍去. 当 都在直线 上方时,此时 . 所以只有 一种情况 (如图⑤). 因为 ,所以
⑤
. 综上， 的度数为 或 或 或 .
①
②
③
④

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