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第八章 提优卷
一、选择题(每小题 4 分，共 24 分)
1.(2025·四川内江)下列计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知 ,则 的值是 ( )
A. 6 B. -5 C. -3 D. 4
3.(2025·江苏淮安期末)已知 ，则 的值为 ( )
A. 7 B. -7 C. D. ±9
4. 已知 ,则 的值为 ( )
A. -1 B. 1 C. 2026 D.
5.若( x - 2 026 ) ，则( x -2 026 )( x -2 026 )的值为 ( )
A. -6 B. 6 C. -10 D. 10
6. 某校举行春季运动会时, 由若干名同学排成一个 8 列的长方形队列. 如果原队列中增加 120 人，那么能排成一个正方形队列；如果原队列中减少 120 人，那么也能排成一个正方形队列. 原长方形队列的学生人数为 ( )
A. 136 B. 138 C. 136 或 904 D. 138 或 905
二、填空题(每小题 4 分, 共 24 分)
7. 对于任意整数 ，能整除 的整数是_____.
8. 若 ,则 _____.
9. 若多项式 为一个完全平方式，则常数 等于_____.
10. 1261 年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图①所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”. 观察“杨辉三角”与右侧的等式图(如图②)，根据图中各式的规律, 展开的多项式中各项系数之和为_____.
(第 10 题)
11. 对于任意四个有理数 可以组成两个有理数对 与 ,规定: ☆ , . 例如: (1,2) ☆ (3,4) = 1 . 若 ,且 ,则
12. 如图,边长为 6 的正方形 中放置两个长和宽分别为 的长方形. 若该长方形的周长为 16，面积为 15.75，则图中阴影部分的面积 _____.
(第 12 题)
三、解答题(共52分)
13. (9 分)计算:
(1)(2025 · 甘肃兰州) ；
(2)(2024 江苏常州改编) ；
(3) .
14. (10 分)
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 ,求 的值.
15. (9 分) 发现: 比任意一个偶数大 3 的数与此偶数的平方差能被 3 整除.
验证:
(1) 的结果是 3 的多少倍
(2)设偶数为 ( 为整数)，试说明比 大 3 的数与 的平方差能被 3 整除； 延伸:
(3)求比任意一个整数大 3 的数与此整数的平方差除以 6 后的余数.
16.(12分) 阅读下列材料:
有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决.
例:若 ,试比较 的大小.
解: 设 ,
则 .
因为 ,所以 .
你学会这种方法了吗 你再亲自试一试吧, 你准行!
解答下列问题:
(1)已知 ，试比较 的大小；
(2)计算: .
17.(12 分)
(1)分别计算图①②③中阴影部分的面积，并写出关于 的等量关系式；
(2)尝试解决:
① 已知 ,则 _____，
② 已知 ，求 的值；
(3)填数游戏:如图④，把数字1~9填入构成三角形的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于 21,将每边上四个数字的平方和分别记为 ， ， ，且 . 如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为 ,求 的值.
①
②
③
④
参考答案
1. D 2. D
3. C 因为 ,所以 ,即 . 又 ,所以 . 因为 ,所以 . 又 ,所以 .
4. 因为 ,所以 . .
5. 因为 ,所以 ,即 . 又 ，所以 2026) ,即 . 则 .
6. C 设原长方形队列的学生人数为 . 由题意,得 ,其中 为任意正整数, ,则 . 又 ,所以 240. 又 ,所以 均为偶数. 设 ,则 也都为偶数,且 . 所以 也都为偶数. 所以 . 所以 或 . 所以 或 . 所以 或 136 . 则原长方形队列的学生人数为 136 或 904 .
7.
9. 196 多项式 8) 可化为 . 设 ,则原式 . 因为原多项式为一个完全平方式,所以 为一个完全平方式. 又 ,所以 . 所以 .
10. 128 因为 ,所以 展开的多项式中各项系数之和为 . 又 ,所以 展开的多项式中各项系数之和为 . 同理,得 展开的多项式中各项系数之和为 展开的多项式中各项系数之和为 以此类推, 展开的多项式中各项系数之和为 为正整数 . 所以当 时, 展开的多项式中各项系数之和为 .
11. 5 由题意,得 . 因为 ,所以 . 又 10,所以 ,即 100. 所以 ,即 .
12. 12.5 由题图,得 ,所以 . 因为 ,所以 . 所以 . 又 ,所以 . 又 ,所以 12.5.
13.(1)原式 .
(2)原式 .
(3)原式 .
14.(1)原式 . 因为 , 所以 . 所以原式 .
(2)因为 ，所以 ,即 . 则原式 . 当 时,原式
; 当 时,原式 . 综上, 原式的值为 -11 或 -14 .
15. ( 1 )因为 ，所以 的结果是 3 的 15 倍.
(2)由题意，得 ,且 . 又 为整数,所以 为整数,即比 大 3 的数与 的平方差能被 3 整除.
(3)设此整数为 ,则 . 又 ,所以比任意一个整数大 3 的数与此数的平方差除以 6 后的余数为 3 .
16.(1)设 ，则 1) . 因为 ,所以 .
(2)设 ，所以原式 . 因为 , 所以原式 .
17.(1)由题图①，得图中阴影部分的面积既可以表示为 ,又可以表示为 ,则 ; 由题图②，得图中阴影部分的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ,则 ; 由题图③，得图中阴影部分的面积既可以表示为 ,又可以表示为 ,则
(2)①
② 因为 ，所以 . 由( 1 )，易得( 2a - ,且 ,所以 .
(3)数字1~9 的和为 . 因为各边上的四个数字的和都等于 21,所以 . 所以 18，即 . 因为每边上四个数字的平方和分别记为 ,满足 ,且 ,所以 ,即 . 所以 . 所以 ,即 .

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