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四川省眉山市仁寿县第一中学校（北校区）2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知角α的终边过点，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（　　）
A． B．
C． D．
4．点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．若，，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3小题.每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.
9．已知，且，则（　　）
A．的最小值是9 B．ab的最大值是8
C．的最小值是16 D．的最小值是4
10．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调
D．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
11．已知函数是定义域为的奇函数，，当时，，则（　　）
A． B．
C．当时， D．方程恰有10个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为　 　.
13．已知函数在区间上单调递增，求参数a的取值范围　 　.
14．根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中为饱和度，为初始值，此后第年底新能源汽车的保有量为（单位：万辆），为年增长率.若该地区2024年底的新能源汽车保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区新能源汽车的保有量约　 　万辆.（结果四舍五入保留到整数；参考数据：）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）计算的值；
（2）已知，求的值.
16．为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其他成本投入为20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）．
（1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料x（单位：千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
17．已知函数（为实数）是奇函数.
（1）求的值；
（2）解不等式：；
（3）若实数满足，求的取值范围.
18．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式，并求出的对称轴；
（2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求的取值范围.
19．已知函数，.
（1）若，试判断函数的奇偶性，并用奇偶性定义证明你的结论；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题意知，，
所以.
故答案为：B.
【分析】解不等式得到集合，并求出，列举得到集合，最后根据交集的运算求出.
2．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 由角α的终边过点，
可得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再根据正弦的二倍角公式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以在上单调递增，
又定义域为，
所以由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒过，
故答案为：A.
【分析】利用指数函数与对数函数的性质判断即可．
4．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，以轴的非负半轴为始边，
以所在的射线为终边的最小正角为，
由任意角的三角函数的定义可得，
的坐标为，即，
故答案为：D.
【分析】本题考查任意角三角函数的定义.根据条件先确定点的位置：所在的射线为终边的最小正角为，利用三角函数的定义可表示出的坐标为，进而求出Q点的坐标.
5．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以．
又因为，所以，，
所以，即，
所以．
故答案为：
【分析】先对平方，求出，再结合的范围判断的符号，最后用和角公式计算。
6．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：D.
【分析】根据指数、对数函数的单调性，并介入比较即可．
7．【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以或
因为关于的方程共有5个不同的实数根．
所以的图象与直线和直线共有5个不同的交点．
如图，的图象与直线有2个交点，
所以只需的图象与直线有3个交点，所以．
故答案为：D．
【分析】先将方程因式分解，转化为或，再分析的图像与直线和的交点个数，从而确定的范围。
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：令，由函数是上的偶函数，得，
则函数是奇函数，由，且，都有成立，
得，且，都有成立，则函数在上单调递减，
于是函数在上单调递减，函数在上单调递减，
不等式，
且，因此，且，则，
且，整理得，即，解得，
则，所以不等式的解集为，A正确.
故答案为：A
【分析】构造辅助函数g(x)=xf(x)，利用已知条件判断其奇偶性与单调性，再将原不等式转化为g函数的不等式，最后解三角不等式。
9．【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A：因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故A正确.
B：因为，所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故B错误.
C：因为，当且仅当时，等号成立，而，
当且仅当取等号，所以等号不能同时取到，所以，故C错误.
D：因为，所以，所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故答案为：AD
【分析】利用基本不等式（均值不等式）结合“乘1法”变形，分别求解、、和的最值，注意等号成立的条件。
10．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A，由周期公式计算可得函数的最小正周期为，故A正确；
B，将代入检验可得，因此函数的图象关于点对称，故B正确；
C，当时，；易知在上不单调，故C错误；
D，将函数的图象向左平移个单位长度得到，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据三角函数的周期、对称性、单调性及图像平移规律，逐一验证各选项。
11．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
又因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，即，
则，故A正确；
B、令，则，，函数在区间上单调递减，
因为，
，
所以，则，故B错误；
C、令，则，，故C正确；
D、令，则，，
这函数的函数图象，如图所示：
则方程恰有9个解，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由可得，再根据函数为奇函数求得即可判断A；由时函数解析式以及函数的关系，写出时的函数解析式，判断函数在上的单调性，在判断的大小关系即可判断B；同理写出时函数解析式即可判断C；写出时函数解析式，得到函数的函数图象，数形结合求得方程解的个数即可判断D.
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由函数的定义域为，得，则，
在中，，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：．
【分析】根据抽象函数和实函数定义域的求法，可得，再计算即可．
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：当时，，对称轴为直线，
∵函数在区间上单调递增，
∴，解得，
∴参数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由分段函数的单调性可得，再解不等式组即可．
14．【答案】36
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：根据题意，所给模型中，
则2030年底该省新能源汽车的保有量为，
因为，所以，
所以，
所以2030年底该地区新能源汽车的保有量约36万辆.
故答案为：36.
【分析】根据函数模型直接计算即可．
15．【答案】（1）解： ；
（2）解：，则原式；
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用指数幂、零次幂和对数的运算性质，逐项化简后合并计算。
（2）先用诱导公式化简表达式，再根据 tanθ=2，通过弦化切或代入消元法求值。
16．【答案】（1）解：由题意可得：，
即，整理得；
（2）解：当时，为对称轴开口向上的抛物线，则当时，，
当时，，
，当且仅当，即时等号成立，
则，即，
综上所述，当时，该水果单株利润最大，最大利润是240元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；基本不等式；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意可得：，将代入整理即可得利润表达式；
（2）由（1）的结论，根据二次函数的性质、基本不等式求每段函数的利润最大值，比较判断即可.
（1）由题意可得：，
即，整理得．
（2）当时，为对称轴开口向上的抛物线，
所以当时，，
当时，，
因为，当且仅当即取等号，
所以，即，
综上所述，当时，该水果单株利润最大，最大利润是240元．
17．【答案】（1）解：由题意函数是定义在上的奇函数，所以，
即，整理得恒成立，即．
所以；
（2）解：由（1）知，则，
所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为；
（3）解：由（1）可得；
取任意，且，
则
，
因为，所以，又易知，
所以，即；
因此函数为单调递减函数；
由可得；
由为单调递减可知，即，
解得，所以的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据题意，再化简求；
（2）把看成一个整体，解得，再解指数不等式即可；
（3）利用定义法先证明函数的单调性，再根据单调性及奇偶性解不等式即可．
（1）由题意函数是定义在上的奇函数，所以，
即，整理得恒成立，即．
所以；
（2）由（1）知，则，
所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为；
（3）由（1）可得；
取任意，且，
则
，
因为，所以，又易知，
所以，即；
因此函数为单调递减函数；
由可得；
由为单调递减可知，即，
解得，所以的取值范围为.
18．【答案】（1）解：由图象可知，，得，
又，所以，将点代入，
得，即，所以，
即，又，故，
所以，令，得，
所以的对称轴方程为.
（2）解：先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为
，
再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为，
，则，所以，
即，
因为在上有解，即在上有解，
所以，即的取值范围为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由图象求出，进而得到，再令即可求解；
（2）根据三角函数图象的平移变换可得，再利用整体法求值域即可．
（1）由图象可知，，得，
又，所以，将点代入，
得，即，所以，
即，又，故，
所以，令，得，
所以的对称轴方程为.
（2）先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为
，
再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为，
，则，所以，
即，
因为在上有解，即在上有解，
所以，即的取值范围为.
19．【答案】（1）解：为偶函数，证明如下：
由已知得，又
所以为偶函数.
（2）解：即，
解方程，得，
当时，即，此时不等式解集为；
当时，即，不等式解集为；
当时，即，不等式解集为；
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
（3）解：时，令，当且仅当，即时等号成立，
则可将已知转化为存在，有四个不等实根，
即关于的方程有四个不等实根，
令，时一个对应两个；时一个对应一个；时无与之对应；
则有两个不等正根，则
即，且存在，使得不等式成立，
令，函数单调递减，，
由可得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；一元二次不等式及其解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）代入 ，根据奇偶性定义判断并证明函数的奇偶性。
（2）对 因式分解，根据 的取值分类讨论不等式的解集。
（3）先由均值不等式得到 ，再将方程 有四个不同实根的问题，转化为关于 的二次方程有两个不等正根的问题，进而求解 的范围。
1 / 1四川省眉山市仁寿县第一中学校（北校区）2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由题意知，，
所以.
故答案为：B.
【分析】解不等式得到集合，并求出，列举得到集合，最后根据交集的运算求出.
2．已知角α的终边过点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 由角α的终边过点，
可得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再根据正弦的二倍角公式求解即可.
3．已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以在上单调递增，
又定义域为，
所以由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒过，
故答案为：A.
【分析】利用指数函数与对数函数的性质判断即可．
4．点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，以轴的非负半轴为始边，
以所在的射线为终边的最小正角为，
由任意角的三角函数的定义可得，
的坐标为，即，
故答案为：D.
【分析】本题考查任意角三角函数的定义.根据条件先确定点的位置：所在的射线为终边的最小正角为，利用三角函数的定义可表示出的坐标为，进而求出Q点的坐标.
5．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以．
又因为，所以，，
所以，即，
所以．
故答案为：
【分析】先对平方，求出，再结合的范围判断的符号，最后用和角公式计算。
6．已知，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：D.
【分析】根据指数、对数函数的单调性，并介入比较即可．
7．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以或
因为关于的方程共有5个不同的实数根．
所以的图象与直线和直线共有5个不同的交点．
如图，的图象与直线有2个交点，
所以只需的图象与直线有3个交点，所以．
故答案为：D．
【分析】先将方程因式分解，转化为或，再分析的图像与直线和的交点个数，从而确定的范围。
8．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：令，由函数是上的偶函数，得，
则函数是奇函数，由，且，都有成立，
得，且，都有成立，则函数在上单调递减，
于是函数在上单调递减，函数在上单调递减，
不等式，
且，因此，且，则，
且，整理得，即，解得，
则，所以不等式的解集为，A正确.
故答案为：A
【分析】构造辅助函数g(x)=xf(x)，利用已知条件判断其奇偶性与单调性，再将原不等式转化为g函数的不等式，最后解三角不等式。
二、选择题：本题共3小题.每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.
9．已知，且，则（　　）
A．的最小值是9 B．ab的最大值是8
C．的最小值是16 D．的最小值是4
【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A：因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故A正确.
B：因为，所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故B错误.
C：因为，当且仅当时，等号成立，而，
当且仅当取等号，所以等号不能同时取到，所以，故C错误.
D：因为，所以，所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故答案为：AD
【分析】利用基本不等式（均值不等式）结合“乘1法”变形，分别求解、、和的最值，注意等号成立的条件。
10．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调
D．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A，由周期公式计算可得函数的最小正周期为，故A正确；
B，将代入检验可得，因此函数的图象关于点对称，故B正确；
C，当时，；易知在上不单调，故C错误；
D，将函数的图象向左平移个单位长度得到，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据三角函数的周期、对称性、单调性及图像平移规律，逐一验证各选项。
11．已知函数是定义域为的奇函数，，当时，，则（　　）
A． B．
C．当时， D．方程恰有10个解
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、因为，所以，
又因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，即，
则，故A正确；
B、令，则，，函数在区间上单调递减，
因为，
，
所以，则，故B错误；
C、令，则，，故C正确；
D、令，则，，
这函数的函数图象，如图所示：
则方程恰有9个解，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由可得，再根据函数为奇函数求得即可判断A；由时函数解析式以及函数的关系，写出时的函数解析式，判断函数在上的单调性，在判断的大小关系即可判断B；同理写出时函数解析式即可判断C；写出时函数解析式，得到函数的函数图象，数形结合求得方程解的个数即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为　 　.
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由函数的定义域为，得，则，
在中，，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：．
【分析】根据抽象函数和实函数定义域的求法，可得，再计算即可．
13．已知函数在区间上单调递增，求参数a的取值范围　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：当时，，对称轴为直线，
∵函数在区间上单调递增，
∴，解得，
∴参数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由分段函数的单调性可得，再解不等式组即可．
14．根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中为饱和度，为初始值，此后第年底新能源汽车的保有量为（单位：万辆），为年增长率.若该地区2024年底的新能源汽车保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区新能源汽车的保有量约　 　万辆.（结果四舍五入保留到整数；参考数据：）
【答案】36
【知识点】函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：根据题意，所给模型中，
则2030年底该省新能源汽车的保有量为，
因为，所以，
所以，
所以2030年底该地区新能源汽车的保有量约36万辆.
故答案为：36.
【分析】根据函数模型直接计算即可．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）计算的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解： ；
（2）解：，则原式；
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用指数幂、零次幂和对数的运算性质，逐项化简后合并计算。
（2）先用诱导公式化简表达式，再根据 tanθ=2，通过弦化切或代入消元法求值。
16．为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其他成本投入为20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）．
（1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料x（单位：千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意可得：，
即，整理得；
（2）解：当时，为对称轴开口向上的抛物线，则当时，，
当时，，
，当且仅当，即时等号成立，
则，即，
综上所述，当时，该水果单株利润最大，最大利润是240元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；基本不等式；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意可得：，将代入整理即可得利润表达式；
（2）由（1）的结论，根据二次函数的性质、基本不等式求每段函数的利润最大值，比较判断即可.
（1）由题意可得：，
即，整理得．
（2）当时，为对称轴开口向上的抛物线，
所以当时，，
当时，，
因为，当且仅当即取等号，
所以，即，
综上所述，当时，该水果单株利润最大，最大利润是240元．
17．已知函数（为实数）是奇函数.
（1）求的值；
（2）解不等式：；
（3）若实数满足，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意函数是定义在上的奇函数，所以，
即，整理得恒成立，即．
所以；
（2）解：由（1）知，则，
所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为；
（3）解：由（1）可得；
取任意，且，
则
，
因为，所以，又易知，
所以，即；
因此函数为单调递减函数；
由可得；
由为单调递减可知，即，
解得，所以的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据题意，再化简求；
（2）把看成一个整体，解得，再解指数不等式即可；
（3）利用定义法先证明函数的单调性，再根据单调性及奇偶性解不等式即可．
（1）由题意函数是定义在上的奇函数，所以，
即，整理得恒成立，即．
所以；
（2）由（1）知，则，
所以，由函数单调递增得，所以原不等式的解集为；
（3）由（1）可得；
取任意，且，
则
，
因为，所以，又易知，
所以，即；
因此函数为单调递减函数；
由可得；
由为单调递减可知，即，
解得，所以的取值范围为.
18．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式，并求出的对称轴；
（2）先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求的取值范围.
【答案】（1）解：由图象可知，，得，
又，所以，将点代入，
得，即，所以，
即，又，故，
所以，令，得，
所以的对称轴方程为.
（2）解：先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为
，
再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为，
，则，所以，
即，
因为在上有解，即在上有解，
所以，即的取值范围为.
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由图象求出，进而得到，再令即可求解；
（2）根据三角函数图象的平移变换可得，再利用整体法求值域即可．
（1）由图象可知，，得，
又，所以，将点代入，
得，即，所以，
即，又，故，
所以，令，得，
所以的对称轴方程为.
（2）先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为
，
再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为，
，则，所以，
即，
因为在上有解，即在上有解，
所以，即的取值范围为.
19．已知函数，.
（1）若，试判断函数的奇偶性，并用奇偶性定义证明你的结论；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：为偶函数，证明如下：
由已知得，又
所以为偶函数.
（2）解：即，
解方程，得，
当时，即，此时不等式解集为；
当时，即，不等式解集为；
当时，即，不等式解集为；
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
（3）解：时，令，当且仅当，即时等号成立，
则可将已知转化为存在，有四个不等实根，
即关于的方程有四个不等实根，
令，时一个对应两个；时一个对应一个；时无与之对应；
则有两个不等正根，则
即，且存在，使得不等式成立，
令，函数单调递减，，
由可得，
所以实数的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；一元二次不等式及其解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）代入 ，根据奇偶性定义判断并证明函数的奇偶性。
（2）对 因式分解，根据 的取值分类讨论不等式的解集。
（3）先由均值不等式得到 ，再将方程 有四个不同实根的问题，转化为关于 的二次方程有两个不等正根的问题，进而求解 的范围。
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