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四川省巴中市高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．以为焦点的抛物线标准方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意，抛物线方程形如，因，解得，
故以为焦点的抛物线标准方程是.
故答案为：D.
【分析】根据焦点得到标出方程即可．
2．已知数列的前项和，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为数列的前项和，
所以.
故答案为：B
【分析】利用 （）计算即可。
3．已知函数，则（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】导数的加法与减法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，.
故答案为：C．
【分析】利用导数的加法法则，结合初等函数的导数公式求出，进而得到的值．
4．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（　　）
A． B．4 C． D．1
【答案】C
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，则可得，
且，，
则可得，解得
故答案为：C
【分析】两个平面垂直的充要条件是它们的法向量互相垂直，因此法向量的数量积为 0，通过坐标运算即可求解 λ。
5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是利用双曲线渐近线方程和两直线垂直的斜率关系（斜率乘积为 1）来建立方程求解 a。
6．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　）
A．12 B．14 C．42 D．84
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，所以，所以.
所以.
故答案为：C
【分析】这道题的核心是利用等差数列的性质（若 ，则 ）和前n项和公式 来求解。
7．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（　　）
A．有2个极值点 B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由导函数的图象可知，
当时，，仅时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数只有一个极值大点，无极小值点，
所以有极大值，没有极小值，
故ABD错误，C正确.
故答案为：C.
【分析】由导函数的图象，结合导函数的符号得出函数的单调性，再由单调性确定极值即可．
8．已知椭圆 的左右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆 的焦点在x轴，设点P（x，y），
∵|PF1|=2|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x+ ）=2 e（ ﹣x），
∴x= ，由题意可得：﹣a≤ ≤a，
∴ ≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[ ，1），
故选C．
【分析】由题意可知：设点P（x，y），由|PF1|=2|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x+ ）=2 e（ ﹣x），求得x= ，根据椭圆的范围可知：﹣a≤ ≤a，即可求得椭圆的离心率的取值范围．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列求导运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C正确；
D：，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】考查基本初等函数的导数公式，需要逐一核对每个选项的求导结果是否正确。
10．公比为的等比数列的前项和为，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由已知等比数列的公比为，且，，
则，解得，
所以，，
故答案为：ABD.
【分析】这道题的核心是利用等比数列的通项公式列出方程组，求解首项a1 和公比q，再据此判断各选项。
11．如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．二面角的平面角的大小为
D．存在某个点，使直线与平面所成角为
【答案】A,B,C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值，
因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确；
对于选项B：
如图建系，设，则
因为，，
所以得，故选项B正确；
对于选项D：取平面的法向量为，
因为 ，
则设直线与平面ABCD所成角，则，
当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确；
对于选项C：设平面法向量为，，
所以，所以
所以令，可得，设平面法向量为，
设二面角 为，则
所以二面角的大小为，故选项C正确.
故答案为：ABC.
【分析】对于A，由，结合平面平面即可判断；对于B，建立空间直角坐标系，利用空间性向量法证明垂直即可；对于C，分别求出平面和平面的一个法向量，再求二面角即可；对于D，根据线面的向量表示，得出线面角的范围判断即可．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若向量，，则　 　．
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，所以，
又向量，所以.
故答案为：.
【分析】这道题考查空间向量的线性运算，按照 “数乘向量→向量减法” 的坐标运算法则即可求解。
13．在等差数列中，，，则　 　.
【答案】11
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据等差数列的性质，可得，
所以，
故答案为：11.
【分析】利用等差数列的性质，若，则，则，再代值计算即可．
14．已知抛物线C：，点N在C上，点，若点M，N关于直线对称，则　 　.
【答案】3
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【解答】解：设，因为点M，N关于直线对称，
所以中点在直线上，且与直线垂直，
则中点为，，
且与直线垂直，，
联立方程可得，
点N在抛物线上，
，解得或（舍去），
.
故答案为：3
【分析】这道题的核心是利用点关于直线对称的两个条件：两点连线的中点在对称轴上；两点连线与对称轴垂直（斜率乘积为 1），再结合点 N 在抛物线上，联立方程求解 a。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）解：由，
可得：，
由，可得：或；
由，可得：；
所以函数的单调递增区间是：和，
单调减区间是：；
（2）解：由（1）知：函数在区间上的单调性为：单调递减，单调递增，
所以最小值为，
又，
所以最大值为.
所以函数在区间上的最小值为，最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)先对函数求导，通过解不等式 和 ，确定函数的单调递增和单调递减区间。
(2)结合(1)中得到的单调性，分析函数在区间上的变化趋势，计算区间端点和极值点的函数值，比较后得到最大值与最小值。
（1）由，
可得：，
由，可得：或；
由，可得：；
所以函数的单调递增区间是：和，
单调减区间是：；
（2）由（1）知：函数在区间上的单调性为：单调递减，单调递增，
所以最小值为，
又，
所以最大值为.
所以函数在区间上的最小值为，最大值为.
16．已知等比数列各项均为正数，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设公比为，
由，得，所以（舍去），
所以；
（2）解：由（1）得，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)利用等比数列通项公式 ，结合已知条件 、 求出公比 ，进而得到通项公式。
(2)数列 是等差数列与等比数列的和，采用分组求和法，分别计算等差数列 和等比数列 的前 项和，再相加得到 。
（1）设公比为，
由，得，所以（舍去），
所以；
（2）由（1）得，
所以.
17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．
（1）若F是PE中点，证明：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：d取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）解：故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点为，接，先证四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定证明即可；
（2）以为原点建立的空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，结合平面与平面的夹角与法向量的关系计算.
（1）取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）解：当时，，，∴，，
∴切线方程为，整理得，.
（2）解：函数定义域为.∵，
∴，
由得，或.
当，即时，，在上为增函数.
当，即时，由得，或，由得，，
∴在，上为增函数，在上为减函数.
当，即时，由得，或，由得，，
∴在，上为增函数，在上为减函数.
综上得，当时，在上为增函数；
当时，在，上为增函数，在上为减函数；
当时，在，上为增函数，在上为减函数.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）把代入，再求，，结合导数的几何意义得到切线方程即可；
（2）求导，令，再分、、三种情况讨论函数的单调性即可.
（1）当时，，，
∴，，
∴切线方程为，整理得，.
（2）函数定义域为.
∵，
∴，
由得，或.
当，即时，，在上为增函数.
当，即时，由得，或，由得，，
∴在，上为增函数，在上为减函数.
当，即时，由得，或，由得，，
∴在，上为增函数，在上为减函数.
综上得，当时，在上为增函数；
当时，在，上为增函数，在上为减函数；
当时，在，上为增函数，在上为减函数.
19．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6.
（1）求C的标准方程.
（2）延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）解：设椭圆的焦距，
所以的周长为，即.
又椭圆的离心率为，所以，
所以，所以，所以，
所以的标准方程为.
（2）解：是定值，理由如下：
由（1）得，
设，，
又三点共线，所以，化简得，
则直线的方程为，直线的方程为，
由，化简得，
由根与系数关系可知，，
所以，
同理，
又
，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；椭圆的参数方程
【解析】【分析】(1)利用椭圆的离心率公式 和椭圆上任意一点到两焦点距离之和为 ，结合 的周长 ，联立求解 ，再由 得到 ，从而写出椭圆标准方程。
(2)设点 ，利用三点共线得到 点坐标，再分别联立直线 、 与椭圆方程，通过韦达定理求出 坐标，最后计算斜率 并化简，得到 为定值。
（1）设椭圆的焦距，
所以的周长为，即.
又椭圆的离心率为，所以，
所以，所以，所以，
所以的标准方程为.
（2）是定值.
由（1）得，
设，，
又三点共线，所以，化简得，
则直线的方程为，直线的方程为，
由，化简得，
由根与系数关系可知，，
所以，
同理，
又
，
所以.
1 / 1四川省巴中市高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．以为焦点的抛物线标准方程是（　　）
A． B． C． D．
2．已知数列的前项和，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知函数，则（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（　　）
A． B．4 C． D．1
5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　）
A．12 B．14 C．42 D．84
7．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（　　）
A．有2个极值点 B．在处取得极小值
C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减
8．已知椭圆 的左右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列求导运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．公比为的等比数列的前项和为，若，，则（　　）
A． B． C． D．
11．如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．
C．二面角的平面角的大小为
D．存在某个点，使直线与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若向量，，则　 　．
13．在等差数列中，，，则　 　.
14．已知抛物线C：，点N在C上，点，若点M，N关于直线对称，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
16．已知等比数列各项均为正数，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．
（1）若F是PE中点，证明：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
19．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点P为C上的动点，的周长为6.
（1）求C的标准方程.
（2）延长线段，分别交C于Q，M两点，连接，并延长线段交C于另一点N，若直线和的斜率均存在，且分别为，，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意，抛物线方程形如，因，解得，
故以为焦点的抛物线标准方程是.
故答案为：D.
【分析】根据焦点得到标出方程即可．
2．【答案】B
【知识点】数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为数列的前项和，
所以.
故答案为：B
【分析】利用 （）计算即可。
3．【答案】C
【知识点】导数的加法与减法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，.
故答案为：C．
【分析】利用导数的加法法则，结合初等函数的导数公式求出，进而得到的值．
4．【答案】C
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，则可得，
且，，
则可得，解得
故答案为：C
【分析】两个平面垂直的充要条件是它们的法向量互相垂直，因此法向量的数量积为 0，通过坐标运算即可求解 λ。
5．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是利用双曲线渐近线方程和两直线垂直的斜率关系（斜率乘积为 1）来建立方程求解 a。
6．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为等差数列，所以，所以.
所以.
故答案为：C
【分析】这道题的核心是利用等差数列的性质（若 ，则 ）和前n项和公式 来求解。
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由导函数的图象可知，
当时，，仅时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数只有一个极值大点，无极小值点，
所以有极大值，没有极小值，
故ABD错误，C正确.
故答案为：C.
【分析】由导函数的图象，结合导函数的符号得出函数的单调性，再由单调性确定极值即可．
8．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆 的焦点在x轴，设点P（x，y），
∵|PF1|=2|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x+ ）=2 e（ ﹣x），
∴x= ，由题意可得：﹣a≤ ≤a，
∴ ≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[ ，1），
故选C．
【分析】由题意可知：设点P（x，y），由|PF1|=2|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x+ ）=2 e（ ﹣x），求得x= ，根据椭圆的范围可知：﹣a≤ ≤a，即可求得椭圆的离心率的取值范围．
9．【答案】B,C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C正确；
D：，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】考查基本初等函数的导数公式，需要逐一核对每个选项的求导结果是否正确。
10．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由已知等比数列的公比为，且，，
则，解得，
所以，，
故答案为：ABD.
【分析】这道题的核心是利用等比数列的通项公式列出方程组，求解首项a1 和公比q，再据此判断各选项。
11．【答案】A,B,C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值，
因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确；
对于选项B：
如图建系，设，则
因为，，
所以得，故选项B正确；
对于选项D：取平面的法向量为，
因为 ，
则设直线与平面ABCD所成角，则，
当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确；
对于选项C：设平面法向量为，，
所以，所以
所以令，可得，设平面法向量为，
设二面角 为，则
所以二面角的大小为，故选项C正确.
故答案为：ABC.
【分析】对于A，由，结合平面平面即可判断；对于B，建立空间直角坐标系，利用空间性向量法证明垂直即可；对于C，分别求出平面和平面的一个法向量，再求二面角即可；对于D，根据线面的向量表示，得出线面角的范围判断即可．
12．【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，所以，
又向量，所以.
故答案为：.
【分析】这道题考查空间向量的线性运算，按照 “数乘向量→向量减法” 的坐标运算法则即可求解。
13．【答案】11
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据等差数列的性质，可得，
所以，
故答案为：11.
【分析】利用等差数列的性质，若，则，则，再代值计算即可．
14．【答案】3
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的应用
【解析】【解答】解：设，因为点M，N关于直线对称，
所以中点在直线上，且与直线垂直，
则中点为，，
且与直线垂直，，
联立方程可得，
点N在抛物线上，
，解得或（舍去），
.
故答案为：3
【分析】这道题的核心是利用点关于直线对称的两个条件：两点连线的中点在对称轴上；两点连线与对称轴垂直（斜率乘积为 1），再结合点 N 在抛物线上，联立方程求解 a。
15．【答案】（1）解：由，
可得：，
由，可得：或；
由，可得：；
所以函数的单调递增区间是：和，
单调减区间是：；
（2）解：由（1）知：函数在区间上的单调性为：单调递减，单调递增，
所以最小值为，
又，
所以最大值为.
所以函数在区间上的最小值为，最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)先对函数求导，通过解不等式 和 ，确定函数的单调递增和单调递减区间。
(2)结合(1)中得到的单调性，分析函数在区间上的变化趋势，计算区间端点和极值点的函数值，比较后得到最大值与最小值。
（1）由，
可得：，
由，可得：或；
由，可得：；
所以函数的单调递增区间是：和，
单调减区间是：；
（2）由（1）知：函数在区间上的单调性为：单调递减，单调递增，
所以最小值为，
又，
所以最大值为.
所以函数在区间上的最小值为，最大值为.
16．【答案】（1）解：设公比为，
由，得，所以（舍去），
所以；
（2）解：由（1）得，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)利用等比数列通项公式 ，结合已知条件 、 求出公比 ，进而得到通项公式。
(2)数列 是等差数列与等比数列的和，采用分组求和法，分别计算等差数列 和等比数列 的前 项和，再相加得到 。
（1）设公比为，
由，得，所以（舍去），
所以；
（2）由（1）得，
所以.
17．【答案】（1）证明：d取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）解：故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点为，接，先证四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定证明即可；
（2）以为原点建立的空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，结合平面与平面的夹角与法向量的关系计算.
（1）取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：当时，，，∴，，
∴切线方程为，整理得，.
（2）解：函数定义域为.∵，
∴，
由得，或.
当，即时，，在上为增函数.
当，即时，由得，或，由得，，
∴在，上为增函数，在上为减函数.
当，即时，由得，或，由得，，
∴在，上为增函数，在上为减函数.
综上得，当时，在上为增函数；
当时，在，上为增函数，在上为减函数；
当时，在，上为增函数，在上为减函数.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）把代入，再求，，结合导数的几何意义得到切线方程即可；
（2）求导，令，再分、、三种情况讨论函数的单调性即可.
（1）当时，，，
∴，，
∴切线方程为，整理得，.
（2）函数定义域为.
∵，
∴，
由得，或.
当，即时，，在上为增函数.
当，即时，由得，或，由得，，
∴在，上为增函数，在上为减函数.
当，即时，由得，或，由得，，
∴在，上为增函数，在上为减函数.
综上得，当时，在上为增函数；
当时，在，上为增函数，在上为减函数；
当时，在，上为增函数，在上为减函数.
19．【答案】（1）解：设椭圆的焦距，
所以的周长为，即.
又椭圆的离心率为，所以，
所以，所以，所以，
所以的标准方程为.
（2）解：是定值，理由如下：
由（1）得，
设，，
又三点共线，所以，化简得，
则直线的方程为，直线的方程为，
由，化简得，
由根与系数关系可知，，
所以，
同理，
又
，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；椭圆的参数方程
【解析】【分析】(1)利用椭圆的离心率公式 和椭圆上任意一点到两焦点距离之和为 ，结合 的周长 ，联立求解 ，再由 得到 ，从而写出椭圆标准方程。
(2)设点 ，利用三点共线得到 点坐标，再分别联立直线 、 与椭圆方程，通过韦达定理求出 坐标，最后计算斜率 并化简，得到 为定值。
（1）设椭圆的焦距，
所以的周长为，即.
又椭圆的离心率为，所以，
所以，所以，所以，
所以的标准方程为.
（2）是定值.
由（1）得，
设，，
又三点共线，所以，化简得，
则直线的方程为，直线的方程为，
由，化简得，
由根与系数关系可知，，
所以，
同理，
又
，
所以.
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