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四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高二下学期4月期中校际联考数学试题
一、单选题
1．直线在轴上的截距为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解： 直线 ，令，解得，则直线在轴上的截距为.
故答案为：D.
【分析】直接令求解即可.
2．若抛物线（）的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆的焦点为，
抛物线（）开口向左，焦点为，
所以准线方程为.
故答案为：D.
【分析】根据题意，椭圆的焦点为，进而可得抛物线的焦点为，再求准线方程即可．
3．已知直线上有动点，点为圆上的动点，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由可知，该圆圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，
故圆心到直线上的点的长度最短为，
则.
故答案为：B.
【分析】根据圆上的点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离减半径求解即可．
4．甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（　　）
A．0.02 B．0.28 C．0.72 D．0.98
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”，
因为甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是和，
所以，
所以飞行目标被雷达发现的概率为.
故答案为：D
【分析】设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目标被雷达发现的概率为， 由此求出答案.
5．已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设点、，由题意可得，
若的斜率不存在时，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
由题意可得，两式相减得，
即0，所以
所以，即直线的斜率为.
故答案为：A.
【分析】利用点差法，先设出点A、B坐标，分别代入椭圆方程，两式作差即可求出直线的斜率.
6．如图所示，在棱长为2的正方体中，则直线到平面的距离是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：连接交于点，
在正方体中，，
因为平面，平面，
所以平面，
则直线到平面的距离即为点到平面的距离，
因为平面，平面，
所以，又，且，平面，
所以平面，则点到平面的距离即为，
而，则，
所以.
故答案为：B.
【分析】连接交于点，根据题意先证平面，再求即可．
7．已知空间向量，，若与垂直，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又与垂直，
则，
解得，
所以，即.
故答案为：C.
【分析】先求出，再结合空间向量的坐标表示，列出方程并解出，最后求即可．
8．已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，
.
等于的最小值的3倍，
.
椭圆中，
，即，
则.
，
，解得或（舍）.
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的性质以及通径可得，进而得到，再解方程即可．
二、多选题
9．下列说法正确的是（　　）
A．从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则
B．若，则事件A与事件B相互独立
C．一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．若，，且事件A与事件B相互独立，则
【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；抽样方法的选择
【解析】【解答】解：A、根据抽样方法的使用规则，故A正确；
B、，故B正确；
C、设事件{两次均为中}={中枪次数为}、事件{至多中一次}={中枪的次数为}，
由，则事件包含事件，故C错误；
D、由，则，
因为事件与事件相互独立，所以
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据抽样方法的相关概念即可判断A；根据独立事件的概率公式求解即可判断B；根据事件之间的关系即可判断C；根据概率的乘法运算求解即可判断D.
10．下列给出的命题中正确的有（　　）
A．已知两个向量，，且，则
B．三棱锥中，点为平面上的一点，且，则
C．已知，，则在上的投影向量坐标为
D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
【答案】A,B,C
【知识点】共面向量定理；空间向量平行的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对A选项：由，所以存在，使得，即，
所以，所以，故A正确；
对B选项：因为点为平面上的一点，所以存在，使得，
即.
因为，所以，故B正确；
对C选项：在上的投影向量为：，故C正确；
对D选项：因为，所以，，三个向量共面，
所以不是空间向量的一组基底，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】对于A，由向量平行的坐标表示即可求解；对于B，根据四点共面的向量表示即可判断；对于C，根据在上的投影向量为计算即可；对于D，根据空间向量基底的概念判断．
11．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则点到轴的距离为
B．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
C．是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则
D．
【答案】C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
则抛物线，所以焦点，准线为，
A，设、，则，
解得，
又为线段的中点，则，
所以点到轴的距离为，故A错误；
B，若过点的斜率不存在时，则该直线为轴，由图可知，轴与抛物线相切，
若过点的直线的斜率为零，此时，直线的方程为，联立，可得，
此时，直线与抛物线只有一个交点，
若过点的直线的斜率存在且不为零，设该直线的方程为，
考虑直线与抛物线相切，联立，可得，
则，解得，
即直线与抛物线只有一个公共点，
故满足条件的直线共有三条，B错；
C，过点作准线的垂线段，垂足为，则，
设准线与轴交于点，则，
因为，所以，
则，则，所以，
即，所以，则，故C正确；
D，依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，
由，消去得，
显然，所以，，则，
，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由题意得，抛物线 中焦点到准线距离为 ，故抛物线方程为 ，焦点 ，准线 ，然后利用抛物线定义、焦半径公式、直线与抛物线位置关系及基本不等式逐一判断选项。
三、填空题
12．双曲线：的渐近线方程为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线：，
所以，焦点在x轴上，
所以其渐近线方程为，
故答案为：．
【分析】根据定义写出渐近线方程即可．
13．已知点，过的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：直线的斜率为，直线的斜率为，
故直线与线段有交点，则，即，
故答案为：
【分析】要使过点 P 的直线 l 与线段 AB 有交点，直线 l 的斜率必须介于直线 PA 和直线 PB 的斜率之间。
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为　 　
【答案】12
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】由题意得：，根据椭圆的定义得，
∴，
圆变形得，即圆心，半径，
要使最大，即最大，又，
∴使最大即可.
如图所示：
∴当共线时，有最大值为，
∴的最大值为，
∴的最大值，即的最大值为11+1=12，
故答案为：12
【分析】由椭圆的方程可得a， b， c的值，由圆的方程可得圆心的坐标及半径，再由椭圆的定义可得|PF1|= 2a- |PF2|，然后由三点共线可知线段之差求出 的最大值 .
四、解答题
15．已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
【答案】（1）解：因为直线的方程为，
所以直线的斜率为，
又因为，
所以直线的斜率为，
因为直线过点，
所以直线的方程为，即.
（2）解：因为直线，可设直线的方程为，
又因为直线与直线之间的距离为，
所以，
解得或，
所以，直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）根据两直线垂直斜率之积为，从而得出直线的斜率，再由直线的点斜式方程得出直线的方程.
（2）先根据两直线平行斜率相等，纵截距不等，从而设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式得出m的值，从而得出直线的方程．
（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为.
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）因为直线，所以可设直线的方程为，
直线与直线之间的距离为，
所以，解得或.
故直线的方程为或.
16．已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点.
（1）求圆的方程；
（2）求过点的圆的切线方程.
【答案】（1）解：由，得，即，
由题意圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）解：
当切线的斜率不存在时，方程为，与圆相切，符合题意.
当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为：，即，
由题意，得，即，
两边分别平方得，得，
故切线方程为，即，
综上过点的圆的切线方程为，.
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)先联立两条直线方程求出交点C，再计算圆心C到点A的距离作为半径，最后写出圆的标准方程。
(2)分两种情况讨论切线：斜率不存在时，直接验证直线 x=4 是否与圆相切；斜率存在时，设切线方程为点斜式，利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率，进而得到切线方程。
（1）由，得，即，
由题意圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）当切线的斜率不存在时，方程为，与圆相切，符合题意.
当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为：，即，
由题意，得，即，
两边分别平方得，得，
故切线方程为，即，
综上过点的圆的切线方程为，.
17．某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求，的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.
【答案】（1）解：因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以；
（2）解：前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第65百分位数在65和75之间，
即为；
（3）解：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况，
其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为 1，结合题目给出的 “第三、四、五组频率之和为 0.7” 和 “第一、五组频率相同” 的条件，列方程求解 a，b。
(2)先计算前两组的累计频率，确定第 65 百分位数所在的组，再利用百分位数公式计算。
(3)先根据分层抽样确定从第四、五组抽取的人数，再用古典概型计算两人来自同一组的概率。
（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以；
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第65百分位数在65和75之间，
即为；
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况，
其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为.
18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且.
（1）证明：平面平面PAD；
（2）求PC与平面AEF所成角的正弦值；
（3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求
【答案】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，，PA、平面PAD，所以平面PAD，
又因为平面PCD，所以平面平面；
（2）解：以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，，
设平面AEF的法向量为，则，令，则，，可得，
设PC与平面AEF所成角为，则，
即PC与平面AEF所成角的正弦值为；
（3）解：由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，，，
，
设平面AFG的法向量为，则，
令，则，，可得，
因为平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，
所以，
整理得，即，解得或（舍），
故.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题可得，结合，根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2） 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立空间直角坐标系， 利用空间向量法求线面角即可；
（3）由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，用含的式子表示出平面AFG的法向量，再利用空间向量的面面角列关于的方程，求解即可.
（1）∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，
∵，，PA、平面PAD，
∴平面PAD，又∵平面PCD，
∴平面平面
（2）以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
设平面AEF的法向量为，则，
令，则，，故，
设PC与平面AEF所成角为，则，
∴PC与平面AEF所成角的正弦值为
（3）由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，
∴，，
∴，
设平面AFG的法向量为，则，
令，则，，故，
∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，
∴，
整理得，即，
解得或（舍），
∴.
19．如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：直线的斜率之积为定值；
（3）求的取值范围.
【答案】（1）解：设双曲线的标准方程为，
由题意知，且，所以，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）解：设点，由题可知，
则，
所以，
由点在双曲线上，可知，即有，
所以，故；
（3）解：由（2）可知，且，
所以可设直线的方程为，
则直线的方程为，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，则有，
因此
，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，，则有，，
因此
，
所以又，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程即可；
（2）设点，表示出，再代入消元即可求解；
（3）由（2）可设直线的方程为，的方程为，再联立结合弦长公式可得，进而求范围即可.
（1）设双曲线的标准方程为，
由题意知，且，所以，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）设点，由题可知，
则，
所以，
由点在双曲线上，可知，即有，
所以，故；
（3）由（2）可知，且，
所以可设直线的方程为，
则直线的方程为，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，则有，
因此
，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，，则有，，
因此
，
所以又，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
1 / 1四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高二下学期4月期中校际联考数学试题
一、单选题
1．直线在轴上的截距为（　　）
A． B． C． D．
2．若抛物线（）的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．已知直线上有动点，点为圆上的动点，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
4．甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（　　）
A．0.02 B．0.28 C．0.72 D．0.98
5．已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，在棱长为2的正方体中，则直线到平面的距离是（　　）
A．2 B． C． D．
7．已知空间向量，，若与垂直，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（　　）
A．从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则
B．若，则事件A与事件B相互独立
C．一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．若，，且事件A与事件B相互独立，则
10．下列给出的命题中正确的有（　　）
A．已知两个向量，，且，则
B．三棱锥中，点为平面上的一点，且，则
C．已知，，则在上的投影向量坐标为
D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
11．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则点到轴的距离为
B．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
C．是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则
D．
三、填空题
12．双曲线：的渐近线方程为　 　.
13．已知点，过的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是　 　.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为　 　
四、解答题
15．已知直线.
（1）若直线过点，且，求直线的方程；
（2）若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
16．已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点.
（1）求圆的方程；
（2）求过点的圆的切线方程.
17．某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求，的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.
18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且.
（1）证明：平面平面PAD；
（2）求PC与平面AEF所成角的正弦值；
（3）若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求
19．如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）证明：直线的斜率之积为定值；
（3）求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解： 直线 ，令，解得，则直线在轴上的截距为.
故答案为：D.
【分析】直接令求解即可.
2．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆的焦点为，
抛物线（）开口向左，焦点为，
所以准线方程为.
故答案为：D.
【分析】根据题意，椭圆的焦点为，进而可得抛物线的焦点为，再求准线方程即可．
3．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由可知，该圆圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，
故圆心到直线上的点的长度最短为，
则.
故答案为：B.
【分析】根据圆上的点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离减半径求解即可．
4．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”，
因为甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是和，
所以，
所以飞行目标被雷达发现的概率为.
故答案为：D
【分析】设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目标被雷达发现的概率为， 由此求出答案.
5．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设点、，由题意可得，
若的斜率不存在时，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
由题意可得，两式相减得，
即0，所以
所以，即直线的斜率为.
故答案为：A.
【分析】利用点差法，先设出点A、B坐标，分别代入椭圆方程，两式作差即可求出直线的斜率.
6．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：连接交于点，
在正方体中，，
因为平面，平面，
所以平面，
则直线到平面的距离即为点到平面的距离，
因为平面，平面，
所以，又，且，平面，
所以平面，则点到平面的距离即为，
而，则，
所以.
故答案为：B.
【分析】连接交于点，根据题意先证平面，再求即可．
7．【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又与垂直，
则，
解得，
所以，即.
故答案为：C.
【分析】先求出，再结合空间向量的坐标表示，列出方程并解出，最后求即可．
8．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，
.
等于的最小值的3倍，
.
椭圆中，
，即，
则.
，
，解得或（舍）.
故答案为：B.
【分析】根据椭圆的性质以及通径可得，进而得到，再解方程即可．
9．【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；抽样方法的选择
【解析】【解答】解：A、根据抽样方法的使用规则，故A正确；
B、，故B正确；
C、设事件{两次均为中}={中枪次数为}、事件{至多中一次}={中枪的次数为}，
由，则事件包含事件，故C错误；
D、由，则，
因为事件与事件相互独立，所以
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据抽样方法的相关概念即可判断A；根据独立事件的概率公式求解即可判断B；根据事件之间的关系即可判断C；根据概率的乘法运算求解即可判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】共面向量定理；空间向量平行的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对A选项：由，所以存在，使得，即，
所以，所以，故A正确；
对B选项：因为点为平面上的一点，所以存在，使得，
即.
因为，所以，故B正确；
对C选项：在上的投影向量为：，故C正确；
对D选项：因为，所以，，三个向量共面，
所以不是空间向量的一组基底，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】对于A，由向量平行的坐标表示即可求解；对于B，根据四点共面的向量表示即可判断；对于C，根据在上的投影向量为计算即可；对于D，根据空间向量基底的概念判断．
11．【答案】C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；抛物线的应用
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
则抛物线，所以焦点，准线为，
A，设、，则，
解得，
又为线段的中点，则，
所以点到轴的距离为，故A错误；
B，若过点的斜率不存在时，则该直线为轴，由图可知，轴与抛物线相切，
若过点的直线的斜率为零，此时，直线的方程为，联立，可得，
此时，直线与抛物线只有一个交点，
若过点的直线的斜率存在且不为零，设该直线的方程为，
考虑直线与抛物线相切，联立，可得，
则，解得，
即直线与抛物线只有一个公共点，
故满足条件的直线共有三条，B错；
C，过点作准线的垂线段，垂足为，则，
设准线与轴交于点，则，
因为，所以，
则，则，所以，
即，所以，则，故C正确；
D，依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，
由，消去得，
显然，所以，，则，
，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由题意得，抛物线 中焦点到准线距离为 ，故抛物线方程为 ，焦点 ，准线 ，然后利用抛物线定义、焦半径公式、直线与抛物线位置关系及基本不等式逐一判断选项。
12．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线：，
所以，焦点在x轴上，
所以其渐近线方程为，
故答案为：．
【分析】根据定义写出渐近线方程即可．
13．【答案】
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：直线的斜率为，直线的斜率为，
故直线与线段有交点，则，即，
故答案为：
【分析】要使过点 P 的直线 l 与线段 AB 有交点，直线 l 的斜率必须介于直线 PA 和直线 PB 的斜率之间。
14．【答案】12
【知识点】圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】由题意得：，根据椭圆的定义得，
∴，
圆变形得，即圆心，半径，
要使最大，即最大，又，
∴使最大即可.
如图所示：
∴当共线时，有最大值为，
∴的最大值为，
∴的最大值，即的最大值为11+1=12，
故答案为：12
【分析】由椭圆的方程可得a， b， c的值，由圆的方程可得圆心的坐标及半径，再由椭圆的定义可得|PF1|= 2a- |PF2|，然后由三点共线可知线段之差求出 的最大值 .
15．【答案】（1）解：因为直线的方程为，
所以直线的斜率为，
又因为，
所以直线的斜率为，
因为直线过点，
所以直线的方程为，即.
（2）解：因为直线，可设直线的方程为，
又因为直线与直线之间的距离为，
所以，
解得或，
所以，直线的方程为或.
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【分析】（1）根据两直线垂直斜率之积为，从而得出直线的斜率，再由直线的点斜式方程得出直线的方程.
（2）先根据两直线平行斜率相等，纵截距不等，从而设出直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式得出m的值，从而得出直线的方程．
（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为.
因为，所以直线的斜率为.
因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）因为直线，所以可设直线的方程为，
直线与直线之间的距离为，
所以，解得或.
故直线的方程为或.
16．【答案】（1）解：由，得，即，
由题意圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）解：
当切线的斜率不存在时，方程为，与圆相切，符合题意.
当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为：，即，
由题意，得，即，
两边分别平方得，得，
故切线方程为，即，
综上过点的圆的切线方程为，.
【知识点】圆的标准方程；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】(1)先联立两条直线方程求出交点C，再计算圆心C到点A的距离作为半径，最后写出圆的标准方程。
(2)分两种情况讨论切线：斜率不存在时，直接验证直线 x=4 是否与圆相切；斜率存在时，设切线方程为点斜式，利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率，进而得到切线方程。
（1）由，得，即，
由题意圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）当切线的斜率不存在时，方程为，与圆相切，符合题意.
当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为：，即，
由题意，得，即，
两边分别平方得，得，
故切线方程为，即，
综上过点的圆的切线方程为，.
17．【答案】（1）解：因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以；
（2）解：前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第65百分位数在65和75之间，
即为；
（3）解：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况，
其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为 1，结合题目给出的 “第三、四、五组频率之和为 0.7” 和 “第一、五组频率相同” 的条件，列方程求解 a，b。
(2)先计算前两组的累计频率，确定第 65 百分位数所在的组，再利用百分位数公式计算。
(3)先根据分层抽样确定从第四、五组抽取的人数，再用古典概型计算两人来自同一组的概率。
（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以；
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第65百分位数在65和75之间，
即为；
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况，
其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为.
18．【答案】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为，，PA、平面PAD，所以平面PAD，
又因为平面PCD，所以平面平面；
（2）解：以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，，
设平面AEF的法向量为，则，令，则，，可得，
设PC与平面AEF所成角为，则，
即PC与平面AEF所成角的正弦值为；
（3）解：由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，，，
，
设平面AFG的法向量为，则，
令，则，，可得，
因为平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，
所以，
整理得，即，解得或（舍），
故.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题可得，结合，根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2） 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立空间直角坐标系， 利用空间向量法求线面角即可；
（3）由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，用含的式子表示出平面AFG的法向量，再利用空间向量的面面角列关于的方程，求解即可.
（1）∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，
∵，，PA、平面PAD，
∴平面PAD，又∵平面PCD，
∴平面平面
（2）以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
设平面AEF的法向量为，则，
令，则，，故，
设PC与平面AEF所成角为，则，
∴PC与平面AEF所成角的正弦值为
（3）由（2）知，，平面AEF的一个法向量为，
∴，，
∴，
设平面AFG的法向量为，则，
令，则，，故，
∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，
∴，
整理得，即，
解得或（舍），
∴.
19．【答案】（1）解：设双曲线的标准方程为，
由题意知，且，所以，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）解：设点，由题可知，
则，
所以，
由点在双曲线上，可知，即有，
所以，故；
（3）解：由（2）可知，且，
所以可设直线的方程为，
则直线的方程为，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，则有，
因此
，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，，则有，，
因此
，
所以又，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程即可；
（2）设点，表示出，再代入消元即可求解；
（3）由（2）可设直线的方程为，的方程为，再联立结合弦长公式可得，进而求范围即可.
（1）设双曲线的标准方程为，
由题意知，且，所以，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）设点，由题可知，
则，
所以，
由点在双曲线上，可知，即有，
所以，故；
（3）由（2）可知，且，
所以可设直线的方程为，
则直线的方程为，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，则有，
因此
，
把直线的方程代入椭圆方程，
整理得，
设，，则有，，
因此
，
所以又，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
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