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四川省成都市第十七中学（师大附中书院分校）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某省新高考采用“”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（　　）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①小明必选化学，则须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种；
②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种．
由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有（种）．
故答案为：B
【分析】用分步乘法计数原理，分别计算首选科目和再选科目的选法数，再相乘得到总方案数。
2．已知数列满足则其前9项和等于（　　）
A．150 B．180 C．300 D．360
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为
所以所以其前9项和等于，
故答案为：B.
【分析】根据题意和等差数列的性质，求得，再由等差数列的求和公式，即可邱大姐其前9项和.
3．数列1，，，…的通项公式可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：当时，对于B中，
当时，对于C中，对于D中，
四个选项中只有同时满足，，.
故答案为：A
【分析】将数列前几项代入各选项，逐一验证排除，找到符合所有已知项的通项公式。
4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意得，在上恒成立，即在上恒成立.
又，其导函数恒成立.
故的最小值为.
故.
故答案为：C
【分析】函数在区间上单调递增，等价于其导函数在该区间上非负恒成立，通过参变分离转化为求函数最值问题。
5．已知函数，，，，这四个函数的部分图象如图所示，则函数，，，对应的图象依次是（　　）．
A．①③②④ B．③②①④ C．①④③② D．③④①②
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，
当时，当时恒成立，则在上单调递减；
当时，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在单调递减；
故对应得图象为①；
，
当时，当时恒成立，则在上单调递减；
当时，，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在单调递减；
故对应得图象为③；
的定义域为R，且，
∴为偶函数，故对应得图象为②；
的定义域为R，且，
∴为奇函数，故对应得图象为④；
故答案为：A.
【分析】先根据函数的定义域、奇偶性和符号特征，再结合单调性，逐一匹配函数与图像。
6．已知数列的前项和为，设，，则（　　）
A． B． C． D．1012
【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的求和
【解析】【解答】解：依题意，易知，由得，
又因为，所以，，，
故数列是以3为最小正周期的周期数列，
所以.
故答案为：C.
【分析】由已知条件得出，从而得出数列的前几项，观察规律可得数列的周期，再根据数列的周期性求和得出的值.
7．设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题设，，，，
令且，可得，
所以有，则上递增；
有，则上递减；
又，故.
故答案为：B
【分析】将统一变形为的形式，构造函数，利用导数研究其单调性，再比较自变量大小得出函数值的关系。
8．已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
因为则，即在上为减函数.
对于A，因为，则，即，即，故A错误；
对于B，因为，则，即，即，故B错误；
对于C，因为，则，即，即，故C错误；
对于D，因为，则，即，即，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题中不等式和选项的结构，考虑构造函数，再利用求导判断函数的单调性，则根据函数的单调性对自变量进行赋值，从而逐项判断找出正确的选项.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．下列数列为等比数列的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：A：，则不为定值，A错误；
B：，则不为定值，B错误；
C：，则为定值，且，C正确；
D：，则为定值，且，D正确.
故答案为：CD
【分析】根据等比数列的定义，判断是否为非零常数，且首项。
10．下列说法错误的是（　　）
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大；
B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值；
C．对于，若，则无极值；
D．函数在区间上一定存在最值.
【答案】A,B,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A，因为函数的极值是它附近的函数值比较，是一个局部概念，所以函数在闭区间上的极大值不一定比极小值大，故A错误，
B，因为函数在闭区间上的最大值在极大值或端点处取得，所以函数在闭区间上的最大值不一定是极大值，故B错误，
C，由，得，当时，，所以，所以在上递增，所以无极值，故C正确，
D，若函数在区间上是增函数或减函数，由于端点处函数值无意义，所以函数在区间上没有最大值和最小值，故D错误，
故答案为：ABD
【分析】逐一分析每个选项，利用极值与最值的定义、导数与单调性的关系进行判断。
11．数列中，，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．是等比数列
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：B：因为数列中，，
所以，即，
则是以1为首项，以为公比的等比数列，
所以，故B正确；
ACD：由累加法得，
所以，
当n为奇数时，是递增数列，所以，
当n为偶数时，是递减数列，所以，
所以，故A正确；
又，所以，故C错误，D正确，
故答案为：ABD
【分析】先由递推式构造等比数列，求出通项后再用累加法得到，最后逐项判断选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果，王老师的果篮有草莓，苹果，芒果3种水果.李老师的果蓝里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果，小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果，小华拿到两种不同的水果的情况有　 　种.
【答案】11
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：王老师有3种水果，李老师有4种水果，其中苹果是重复的，所以应该先分类后分步.
第一类，如果小华在王老师那里拿到苹果，那么在李老师那里只能从剩下的3种水果中拿，共有种情况；
第二类，如果小华在王老师那里拿到的不是苹果，那么就有2种情况，在李老师那里有4种情况，共有种情况.
根据分类加法计数原理，小华拿到两种不同水果总共有种情况.
故答案为：11
【分析】按王老师处是否拿到苹果进行分类，再用分步乘法计数，最后用分类加法计数汇总。
13．已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为　 　．
【答案】6
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，
由有：或，
由有：或，
由有：，
因为，数列的正项为：；数列的负项为：；且，
则取得最小值时的值为6.
故答案为：6.
【分析】先对通项公式变形，判断数列各项的正负，找到所有负项和零项，和的最小值出现在最后一个负项（或零项）处。
14．若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为　 　.
【答案】1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设，则，设切点为，则，
则切线方程为，即，
直线过定点，
所以，所以，
设，则，设切点为，则，
则切线方程为，即，
直线过定点，
所以，所以，
则是函数和的图象与曲线交点的横坐标，
易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，
因此点关于直线对称，
从而，，
所以．
故答案为：1.
【分析】分别求得 ， 的导数，设出切点可得切线的斜率，由已知切线方程可得两个切点的坐标(用k1 ， k2表示) ， 结合函数的图象的对称性，可得 的值 .
四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设函数，其中.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
【答案】（1）解：当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：.
（2）解：由题意，的定义域为，
，
则当时，单调递增；当时，单调递减.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义得，再根据点斜式得到切线方程即可；
（2）求导得，结合，再分情况讨论的符号即可得到函数的单调性．
（1）当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：.
（2）由题意，的定义域为，
，
则当时，单调递增；当时，单调递减.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
16．已知等比数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）解：设等比数列 的首项为 ，公比为 ，由题意得：
解得
所以
（2）解：
所以数列 为等差数列，
所以 ．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合等比数列的通项公式整理即可得到关于首项和公比的方程组求解出结果，由此得到数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由等差数列的前n项和公式即可求出结果。
17．已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因，
由可解得，或；由可解得，.
故函数的单调递增区间为：和；
函数的单调递减区间为：.
（2）解：因等价于，依题意，需求函数在区间上的最小值.
由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，所以.
即实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，分别解出、，再写出单调区间即可；
（2）由题可知，再结合函数的单调性得到最小值即可求解．
（1）因，
由可解得，或；由可解得，.
故函数的单调递增区间为：和；
函数的单调递减区间为：.
（2）因等价于，依题意，需求函数在区间上的最小值.
由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，所以.
即实数的取值范围为.
18．已知函数，在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
则，
由题意可得 ，解得，
则函数的解析式为，
且，
令，解得：，
则当变化时，的变化情况如下表：
减 极小值 增 极大值 减
故符合题意，即.
（2）解：由（1）可得：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值2.
（3）解：∵函数在时，，
在时，且，
∴由（1）知：当时，函数有最小值，
又∵对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
对于开口向上，对称轴为，
当时，则在上单调递增，
故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，
故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
得或，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)利用极值点处导数为0和函数值为2，建立方程组求解m和n，从而得到函数解析式。
(2)通过导数分析函数单调性，根据单调性确定极值点并计算极值。
(3)将问题转化为g(x)在[ 1，1]上的最小值不大于f(x)在R上的最小值，通过分类讨论g(x)的最小值，建立不等式求解a的范围。
（1）∵，
则，
由题意可得 ，解得，
则函数的解析式为，
且，
令，解得：，
则当变化时，的变化情况如下表：
减 极小值 增 极大值 减
故符合题意，即.
（2）由（1）可得：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值2.
（3）∵函数在时，，
在时，且，
∴由（1）知：当时，函数有最小值，
又∵对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
对于开口向上，对称轴为，
当时，则在上单调递增，
故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，
故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
得或，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围是.
19．若各项均为正数的数列的前n项和满足，且.
（1）判断数列是否为等差数列？并说明理由；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为，当时，，
两式相减得，即.
因为，所以，即.
所以，当时，是公差的等差数列.
因为所以，所以.
当时，，所以.
因为，
所以数列不是等差数列.
（2）解：由（1）知：数列从第二项开始是等差数列，当时，，
所以数列的通项公式
（3）解：
当时，，①
，②
②-①，得
.
当时，，满足上式，所以.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】(1)利用与的递推关系，得到与的关系式，通过验证是否为常数来判断是否为等差数列。
(2)先求出，再根据(1)的结论，分和写出通项公式。
(3)利用错位相减法对数列求和，注意的特殊情况。
1 / 1四川省成都市第十七中学（师大附中书院分校）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某省新高考采用“”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（　　）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
2．已知数列满足则其前9项和等于（　　）
A．150 B．180 C．300 D．360
3．数列1，，，…的通项公式可能是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数，，，，这四个函数的部分图象如图所示，则函数，，，对应的图象依次是（　　）．
A．①③②④ B．③②①④ C．①④③② D．③④①②
6．已知数列的前项和为，设，，则（　　）
A． B． C． D．1012
7．设，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9．下列数列为等比数列的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列说法错误的是（　　）
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大；
B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值；
C．对于，若，则无极值；
D．函数在区间上一定存在最值.
11．数列中，，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．是等比数列
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果，王老师的果篮有草莓，苹果，芒果3种水果.李老师的果蓝里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果，小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果，小华拿到两种不同的水果的情况有　 　种.
13．已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为　 　．
14．若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设函数，其中.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
16．已知等比数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
17．已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数，在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
19．若各项均为正数的数列的前n项和满足，且.
（1）判断数列是否为等差数列？并说明理由；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，求数列的前项和.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①小明必选化学，则须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种；
②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种．
由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有（种）．
故答案为：B
【分析】用分步乘法计数原理，分别计算首选科目和再选科目的选法数，再相乘得到总方案数。
2．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】因为
所以所以其前9项和等于，
故答案为：B.
【分析】根据题意和等差数列的性质，求得，再由等差数列的求和公式，即可邱大姐其前9项和.
3．【答案】A
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：当时，对于B中，
当时，对于C中，对于D中，
四个选项中只有同时满足，，.
故答案为：A
【分析】将数列前几项代入各选项，逐一验证排除，找到符合所有已知项的通项公式。
4．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意得，在上恒成立，即在上恒成立.
又，其导函数恒成立.
故的最小值为.
故.
故答案为：C
【分析】函数在区间上单调递增，等价于其导函数在该区间上非负恒成立，通过参变分离转化为求函数最值问题。
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，
当时，当时恒成立，则在上单调递减；
当时，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在单调递减；
故对应得图象为①；
，
当时，当时恒成立，则在上单调递减；
当时，，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在单调递减；
故对应得图象为③；
的定义域为R，且，
∴为偶函数，故对应得图象为②；
的定义域为R，且，
∴为奇函数，故对应得图象为④；
故答案为：A.
【分析】先根据函数的定义域、奇偶性和符号特征，再结合单调性，逐一匹配函数与图像。
6．【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的求和
【解析】【解答】解：依题意，易知，由得，
又因为，所以，，，
故数列是以3为最小正周期的周期数列，
所以.
故答案为：C.
【分析】由已知条件得出，从而得出数列的前几项，观察规律可得数列的周期，再根据数列的周期性求和得出的值.
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题设，，，，
令且，可得，
所以有，则上递增；
有，则上递减；
又，故.
故答案为：B
【分析】将统一变形为的形式，构造函数，利用导数研究其单调性，再比较自变量大小得出函数值的关系。
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
因为则，即在上为减函数.
对于A，因为，则，即，即，故A错误；
对于B，因为，则，即，即，故B错误；
对于C，因为，则，即，即，故C错误；
对于D，因为，则，即，即，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题中不等式和选项的结构，考虑构造函数，再利用求导判断函数的单调性，则根据函数的单调性对自变量进行赋值，从而逐项判断找出正确的选项.
9．【答案】C,D
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：A：，则不为定值，A错误；
B：，则不为定值，B错误；
C：，则为定值，且，C正确；
D：，则为定值，且，D正确.
故答案为：CD
【分析】根据等比数列的定义，判断是否为非零常数，且首项。
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A，因为函数的极值是它附近的函数值比较，是一个局部概念，所以函数在闭区间上的极大值不一定比极小值大，故A错误，
B，因为函数在闭区间上的最大值在极大值或端点处取得，所以函数在闭区间上的最大值不一定是极大值，故B错误，
C，由，得，当时，，所以，所以在上递增，所以无极值，故C正确，
D，若函数在区间上是增函数或减函数，由于端点处函数值无意义，所以函数在区间上没有最大值和最小值，故D错误，
故答案为：ABD
【分析】逐一分析每个选项，利用极值与最值的定义、导数与单调性的关系进行判断。
11．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：B：因为数列中，，
所以，即，
则是以1为首项，以为公比的等比数列，
所以，故B正确；
ACD：由累加法得，
所以，
当n为奇数时，是递增数列，所以，
当n为偶数时，是递减数列，所以，
所以，故A正确；
又，所以，故C错误，D正确，
故答案为：ABD
【分析】先由递推式构造等比数列，求出通项后再用累加法得到，最后逐项判断选项。
12．【答案】11
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：王老师有3种水果，李老师有4种水果，其中苹果是重复的，所以应该先分类后分步.
第一类，如果小华在王老师那里拿到苹果，那么在李老师那里只能从剩下的3种水果中拿，共有种情况；
第二类，如果小华在王老师那里拿到的不是苹果，那么就有2种情况，在李老师那里有4种情况，共有种情况.
根据分类加法计数原理，小华拿到两种不同水果总共有种情况.
故答案为：11
【分析】按王老师处是否拿到苹果进行分类，再用分步乘法计数，最后用分类加法计数汇总。
13．【答案】6
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为，
由有：或，
由有：或，
由有：，
因为，数列的正项为：；数列的负项为：；且，
则取得最小值时的值为6.
故答案为：6.
【分析】先对通项公式变形，判断数列各项的正负，找到所有负项和零项，和的最小值出现在最后一个负项（或零项）处。
14．【答案】1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设，则，设切点为，则，
则切线方程为，即，
直线过定点，
所以，所以，
设，则，设切点为，则，
则切线方程为，即，
直线过定点，
所以，所以，
则是函数和的图象与曲线交点的横坐标，
易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，
因此点关于直线对称，
从而，，
所以．
故答案为：1.
【分析】分别求得 ， 的导数，设出切点可得切线的斜率，由已知切线方程可得两个切点的坐标(用k1 ， k2表示) ， 结合函数的图象的对称性，可得 的值 .
15．【答案】（1）解：当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：.
（2）解：由题意，的定义域为，
，
则当时，单调递增；当时，单调递减.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义得，再根据点斜式得到切线方程即可；
（2）求导得，结合，再分情况讨论的符号即可得到函数的单调性．
（1）当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：.
（2）由题意，的定义域为，
，
则当时，单调递增；当时，单调递减.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
16．【答案】（1）解：设等比数列 的首项为 ，公比为 ，由题意得：
解得
所以
（2）解：
所以数列 为等差数列，
所以 ．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合等比数列的通项公式整理即可得到关于首项和公比的方程组求解出结果，由此得到数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由等差数列的前n项和公式即可求出结果。
17．【答案】（1）解：因，
由可解得，或；由可解得，.
故函数的单调递增区间为：和；
函数的单调递减区间为：.
（2）解：因等价于，依题意，需求函数在区间上的最小值.
由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，所以.
即实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，分别解出、，再写出单调区间即可；
（2）由题可知，再结合函数的单调性得到最小值即可求解．
（1）因，
由可解得，或；由可解得，.
故函数的单调递增区间为：和；
函数的单调递减区间为：.
（2）因等价于，依题意，需求函数在区间上的最小值.
由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，所以.
即实数的取值范围为.
18．【答案】（1）解：∵，
则，
由题意可得 ，解得，
则函数的解析式为，
且，
令，解得：，
则当变化时，的变化情况如下表：
减 极小值 增 极大值 减
故符合题意，即.
（2）解：由（1）可得：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值2.
（3）解：∵函数在时，，
在时，且，
∴由（1）知：当时，函数有最小值，
又∵对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
对于开口向上，对称轴为，
当时，则在上单调递增，
故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，
故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
得或，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)利用极值点处导数为0和函数值为2，建立方程组求解m和n，从而得到函数解析式。
(2)通过导数分析函数单调性，根据单调性确定极值点并计算极值。
(3)将问题转化为g(x)在[ 1，1]上的最小值不大于f(x)在R上的最小值，通过分类讨论g(x)的最小值，建立不等式求解a的范围。
（1）∵，
则，
由题意可得 ，解得，
则函数的解析式为，
且，
令，解得：，
则当变化时，的变化情况如下表：
减 极小值 增 极大值 减
故符合题意，即.
（2）由（1）可得：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值2.
（3）∵函数在时，，
在时，且，
∴由（1）知：当时，函数有最小值，
又∵对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
对于开口向上，对称轴为，
当时，则在上单调递增，
故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，
故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
得或，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围是.
19．【答案】（1）解：因为，当时，，
两式相减得，即.
因为，所以，即.
所以，当时，是公差的等差数列.
因为所以，所以.
当时，，所以.
因为，
所以数列不是等差数列.
（2）解：由（1）知：数列从第二项开始是等差数列，当时，，
所以数列的通项公式
（3）解：
当时，，①
，②
②-①，得
.
当时，，满足上式，所以.
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的递推公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】(1)利用与的递推关系，得到与的关系式，通过验证是否为常数来判断是否为等差数列。
(2)先求出，再根据(1)的结论，分和写出通项公式。
(3)利用错位相减法对数列求和，注意的特殊情况。
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