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四川省泸州市龙马潭区田家炳中学联考2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足则其共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由得，
所以，对应点为，在第一象限.
故答案为：A
【分析】这道题的核心是先通过复数除法求出z，再得到其共轭复数，最后根据的实部和虚部确定它在复平面内的位置。
2．下列命题正确的是（　　）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．零向量没有方向
D．模为0的向量与任意非零向量共线
【答案】D
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：A，单位向量的方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
B，取非零向量，此时满足，但不成立，故B错误．
C，零向量有方向，其方向任意，故C错误；
D，模为的向量为零向量，零向量与任意非零向量共线，故D正确；
故答案为：D．
【分析】这道题的核心是根据单位向量、零向量、共线向量的定义，逐一判断每个选项的正确性。
3．在如图中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为为边上的中线，
所以，
因为为的中点，
所以可得，
故答案为： B.
【分析】这道题的核心是利用平面向量线性运算（中线、中点性质），将目标向量 逐步分解为 和 的线性组合。
4．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，
所以，得出，
所以，向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C.
【分析】利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出的值，再结合数量积求投影向量的方法，进而得出向量在向量方向上的投影向量.
5．已知函数在处取得最大值，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
设，则，
则当时，取得最大值，故，
故，
故答案为：A
【分析】先利用辅助角公式化简得，再结合的定义及正弦函数取最值的条件求解．
6．记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，，则，
根据正弦定理，可得，
，
在中，，则，
因为
，
在中，易知，
当时，.
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得，利用正弦定理边化角和三角恒等变换以及三角形内角和定理，从而根据角B的取值范围和正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出的最大值.
7．已知角终边在第二象限，且，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，角终边在第二象限，
则，
，
所以.
故答案为：C.
【分析】这道题的核心是先利用同角三角函数关系和二倍角公式求出sin2α与cos2α的值，再将其代入根式表达式化简计算。
8．设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．16 D．12
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；解三角形
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
由，所以，化简得到，
所以，则，当且仅当时，等号成立，
所以，则的最小值为.
故答案为：A．
【分析】这道题的核心是先通过余弦定理求出角，再利用面积分割法结合角平分线性质得到与的关系，最后用基本不等式求 的最小值，进而得到的最小值。
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则（　　）
A．是偶函数
B．的最小正周期是
C．图象的一个对称中心是
D．上单调递增
【答案】A,B,C
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数；
A、因为，定义域为，且满足，
所以是偶函数，故A正确；
B、函数的最小正周期为，故B正确；
C、，所以是图象的一个对称中心，故C正确；
D、令，解得，
即的单调递增区间为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】用余弦的二倍角公式化简函数，根据偶函数的定义即可判断A；根据最小正周期公式即可判断B；将代入验证即可判断C；求解函数的单调递增区间即可判断D.
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　）
A．
B．的表达式可以写成
C．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数
D．若方程在上有且只有8个根，则
【答案】A,B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为经过点，所以，
因为，所以，A正确；
，因为过，所以，
因为，所以，
所以，
所以，B正确；
的图象向右平移个单位长度后得到
的图象，
该函数是奇函数，C错误；
因为，所以，由得，
要使得方程在上有且只有8个根，则，
所以，D错误；
故答案为：AB.
【分析】对于A，根据图像过，代入可得；对于B，结合图像过可得；对于C，根据三角函数的平移及奇偶性即可判断；对于D，利用整体代换及正弦函数的图象即可判断．
11．已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的为(　　)
A．圆锥SO的侧面积为
B．的取值范围为
C．若，E为线段AB上的动点，则
D．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
【答案】A,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：对于A，母线长则侧面积为所以A对；
对于B，在中，则当AB=2时，，所以B错；
对于C，如图1，
为等腰直角三角形，将放平得到
如图2所示，
当三点共线时最小，F为AB的中点，连接，
则
所以C对；
对于D，如图3，
设截面为SMN，Q为MN的中点，连接OQ，SQ，设
则
当且仅当时等号成立，即当时等号成立，所以D错。
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出圆锥的母线的长，再结合圆锥的侧面积公式判断出选项A；利用母线相等和AB的取值范围，进而得出的取值范围，从而判断出选项B；利用等腰三角形的结构特征和三点共线得出SE+CE最小，再结合中点的性质、勾股定理、正弦函数的定义和余弦定理得出的最小值，从而判断出选项C；利用已知条件结合三角形的面积公式和均值不等式求最值的方法得出过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知为共线向量，且，则　 　.
【答案】6
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，且为共线向量，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量共线的坐标表示列式求解即可.
13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，BC边上的高为，则　 　．
【答案】3
【知识点】三角函数诱导公式二~六；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，可得，
若，则，与矛盾，
则，即，因为，所以，
，解得，
由余弦定理可得，代入，，
可得，化简可得，
即，解得.
故答案为：3.
【分析】由题意，利用诱导公式可得，结合三角形的面积公式可得，再由余弦定理代入计算即可.
14．对于三角形形状的判断，以下说法正确的有：　 　
①若，则为等腰三角形；
②若，则为等边三角形．
③，则为直角三角形．
④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
⑤若，则为钝角三角形．
【答案】②④⑤
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：①，，则，
即，由于，则，
则或，即或，
故为等腰三角形或直角三角形，①错误；
②，由可得，
即，故，
同理由可得，
故为等边三角形，②正确．
③，不妨取，满足，但不是直角三角形．③错误；
④，因为，故，
即，
又，所以，
故，由于，故，
同理可得，结合，
故≌≌，可得，
故为等边三角形，④正确；
⑤，由得，
即，即，
由于，故为钝角，故为钝角三角形，⑤正确，
故答案为：②④⑤
【分析】①利用正弦定理将边的比例转化为角的正弦比例，结合三角恒等变换分析角的关系，判断三角形形状。
②对向量数量积等式移项变形，结合向量运算性质推导边的关系，确定三角形形状。
③通过举反例，验证满足条件的角不一定构成直角三角形，否定结论。
④由向量和为零确定点O为重心，结合模长相等推出外心性质，进而判断三角形形状。
⑤利用同角三角函数关系和正弦定理角化边，结合余弦定理判断角的类型，确定三角形形状。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知不共线的向量满足的夹角为.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：
（2）解：，，
，
，
，
.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1)利用向量模长的平方等于向量自身的平方，对 进行平方运算，结合已知的模长和夹角，代入数量积公式计算。
(2)根据向量垂直的充要条件（数量积为0），展开 ，代入模长后解出 ，再由数量积定义求 。
（1）（1）
（2）（2），，
，
，
，
.
16．已知分别为三个内角的对边，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：由，则，
所以，
即，又，
，即，
.
（2）解：，
，
，
，即，又，
（当时等式成立），
.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和定理与三角恒等变换，化简得到 的值，从而求出角 。
(2)由余弦定理得到 ，结合均值不等式 推出 且 ，最后代入面积公式计算。
（1）由，则，
所以，
即，又，
，即，
.
（2），
，
，
，即，又，
（当时等式成立），
.
17．据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间(天)的函数，日销售量(为常数)，且时，日销售量为26千克，日销售单价满足函数.
（1）写出该商品日销售额关于时间的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；
（2）求这段时间内该商品日销售额的最大值.
【答案】（1）解：由题意可知，解得.∴.
所以.
（2）解：当时，，
当且仅当，即时，.
当时，，当或时，.
因为，所以时，.
答：时销售额最大，最大日销售额为625元.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)先利用已知条件 时的销售量求出常数 ，得到日销售量函数 ，再根据“日销售额 = 日销售量 × 销售单价”写出分段函数 。
（2）分别在两个区间内求函数最大值：对 的区间，用基本不等式求最大值；对 的区间，用二次函数性质求最大值；最后比较两段的最大值，得到全局最大值。
18．已知函数.
（1）写出函数的最小正周期；
（2）若是偶函数，求的减区间；
（3）求在区间上的值域.
【答案】（1）解：函数的最小正周期为；
（2）解：因，则，
因是偶函数，则，
∵，∴，
所以，
由，得，，
所以的减区间是；
（3）解：当，则，∴所以在区间上的值域为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）代入正弦函数的周期公式得解；
（2）由余弦是三角函数中的偶函数，及诱导公式得，可求出，再代入单调减区间可得解；
（3）由x得范围求得得范围，由函数性质可得值域.
（1）函数的最小正周期为；
（2）因，
则，
因是偶函数，则，
∵，∴，
所以，
由，得，，
所以的减区间是；
（3）当，则，∴
所以在区间上的值域为.
19．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量，
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，且，求证：．
（3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
则，故.
（2）证明：由题意得，，
由可得，
因，则，故，解得.
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.
（3）解：由题意得，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.
【知识点】向量的模；简单的三角恒等变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 利用两角和的正弦公式与诱导公式化简函数，得到伴随向量，再计算其模长。
(2) 先由伴随函数定义求出，再利用三角形内角和及两角差的正弦公式，求出与，作比即可证明结论。
(3) 将方程化简为，根据的符号分段讨论函数，结合图像分析的取值范围。
（1）因为，
则，故.
（2）依题意，，
由可得，
因，则，故，解得.
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.
（3）依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.
1 / 1四川省泸州市龙马潭区田家炳中学联考2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足则其共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列命题正确的是（　　）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．零向量没有方向
D．模为0的向量与任意非零向量共线
3．在如图中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
4．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数在处取得最大值，则（　　）
A． B． C． D．
6．记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知角终边在第二象限，且，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
8．设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．16 D．12
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则（　　）
A．是偶函数
B．的最小正周期是
C．图象的一个对称中心是
D．上单调递增
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　）
A．
B．的表达式可以写成
C．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数
D．若方程在上有且只有8个根，则
11．已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的为(　　)
A．圆锥SO的侧面积为
B．的取值范围为
C．若，E为线段AB上的动点，则
D．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知为共线向量，且，则　 　.
13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，BC边上的高为，则　 　．
14．对于三角形形状的判断，以下说法正确的有：　 　
①若，则为等腰三角形；
②若，则为等边三角形．
③，则为直角三角形．
④若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
⑤若，则为钝角三角形．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知不共线的向量满足的夹角为.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
16．已知分别为三个内角的对边，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
17．据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间(天)的函数，日销售量(为常数)，且时，日销售量为26千克，日销售单价满足函数.
（1）写出该商品日销售额关于时间的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；
（2）求这段时间内该商品日销售额的最大值.
18．已知函数.
（1）写出函数的最小正周期；
（2）若是偶函数，求的减区间；
（3）求在区间上的值域.
19．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量，
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，，且，求证：．
（3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由得，
所以，对应点为，在第一象限.
故答案为：A
【分析】这道题的核心是先通过复数除法求出z，再得到其共轭复数，最后根据的实部和虚部确定它在复平面内的位置。
2．【答案】D
【知识点】向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：A，单位向量的方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
B，取非零向量，此时满足，但不成立，故B错误．
C，零向量有方向，其方向任意，故C错误；
D，模为的向量为零向量，零向量与任意非零向量共线，故D正确；
故答案为：D．
【分析】这道题的核心是根据单位向量、零向量、共线向量的定义，逐一判断每个选项的正确性。
3．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为为边上的中线，
所以，
因为为的中点，
所以可得，
故答案为： B.
【分析】这道题的核心是利用平面向量线性运算（中线、中点性质），将目标向量 逐步分解为 和 的线性组合。
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，
所以，得出，
所以，向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C.
【分析】利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而得出的值，再结合数量积求投影向量的方法，进而得出向量在向量方向上的投影向量.
5．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
设，则，
则当时，取得最大值，故，
故，
故答案为：A
【分析】先利用辅助角公式化简得，再结合的定义及正弦函数取最值的条件求解．
6．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由，，则，
根据正弦定理，可得，
，
在中，，则，
因为
，
在中，易知，
当时，.
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得，利用正弦定理边化角和三角恒等变换以及三角形内角和定理，从而根据角B的取值范围和正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出的最大值.
7．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，角终边在第二象限，
则，
，
所以.
故答案为：C.
【分析】这道题的核心是先利用同角三角函数关系和二倍角公式求出sin2α与cos2α的值，再将其代入根式表达式化简计算。
8．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；解三角形
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
由，所以，化简得到，
所以，则，当且仅当时，等号成立，
所以，则的最小值为.
故答案为：A．
【分析】这道题的核心是先通过余弦定理求出角，再利用面积分割法结合角平分线性质得到与的关系，最后用基本不等式求 的最小值，进而得到的最小值。
9．【答案】A,B,C
【知识点】二倍角的余弦公式；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数；
A、因为，定义域为，且满足，
所以是偶函数，故A正确；
B、函数的最小正周期为，故B正确；
C、，所以是图象的一个对称中心，故C正确；
D、令，解得，
即的单调递增区间为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】用余弦的二倍角公式化简函数，根据偶函数的定义即可判断A；根据最小正周期公式即可判断B；将代入验证即可判断C；求解函数的单调递增区间即可判断D.
10．【答案】A,B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为经过点，所以，
因为，所以，A正确；
，因为过，所以，
因为，所以，
所以，
所以，B正确；
的图象向右平移个单位长度后得到
的图象，
该函数是奇函数，C错误；
因为，所以，由得，
要使得方程在上有且只有8个根，则，
所以，D错误；
故答案为：AB.
【分析】对于A，根据图像过，代入可得；对于B，结合图像过可得；对于C，根据三角函数的平移及奇偶性即可判断；对于D，利用整体代换及正弦函数的图象即可判断．
11．【答案】A,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：对于A，母线长则侧面积为所以A对；
对于B，在中，则当AB=2时，，所以B错；
对于C，如图1，
为等腰直角三角形，将放平得到
如图2所示，
当三点共线时最小，F为AB的中点，连接，
则
所以C对；
对于D，如图3，
设截面为SMN，Q为MN的中点，连接OQ，SQ，设
则
当且仅当时等号成立，即当时等号成立，所以D错。
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出圆锥的母线的长，再结合圆锥的侧面积公式判断出选项A；利用母线相等和AB的取值范围，进而得出的取值范围，从而判断出选项B；利用等腰三角形的结构特征和三点共线得出SE+CE最小，再结合中点的性质、勾股定理、正弦函数的定义和余弦定理得出的最小值，从而判断出选项C；利用已知条件结合三角形的面积公式和均值不等式求最值的方法得出过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】6
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，且为共线向量，
所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量共线的坐标表示列式求解即可.
13．【答案】3
【知识点】三角函数诱导公式二~六；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由，可得，
若，则，与矛盾，
则，即，因为，所以，
，解得，
由余弦定理可得，代入，，
可得，化简可得，
即，解得.
故答案为：3.
【分析】由题意，利用诱导公式可得，结合三角形的面积公式可得，再由余弦定理代入计算即可.
14．【答案】②④⑤
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：①，，则，
即，由于，则，
则或，即或，
故为等腰三角形或直角三角形，①错误；
②，由可得，
即，故，
同理由可得，
故为等边三角形，②正确．
③，不妨取，满足，但不是直角三角形．③错误；
④，因为，故，
即，
又，所以，
故，由于，故，
同理可得，结合，
故≌≌，可得，
故为等边三角形，④正确；
⑤，由得，
即，即，
由于，故为钝角，故为钝角三角形，⑤正确，
故答案为：②④⑤
【分析】①利用正弦定理将边的比例转化为角的正弦比例，结合三角恒等变换分析角的关系，判断三角形形状。
②对向量数量积等式移项变形，结合向量运算性质推导边的关系，确定三角形形状。
③通过举反例，验证满足条件的角不一定构成直角三角形，否定结论。
④由向量和为零确定点O为重心，结合模长相等推出外心性质，进而判断三角形形状。
⑤利用同角三角函数关系和正弦定理角化边，结合余弦定理判断角的类型，确定三角形形状。
15．【答案】（1）解：
（2）解：，，
，
，
，
.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1)利用向量模长的平方等于向量自身的平方，对 进行平方运算，结合已知的模长和夹角，代入数量积公式计算。
(2)根据向量垂直的充要条件（数量积为0），展开 ，代入模长后解出 ，再由数量积定义求 。
（1）（1）
（2）（2），，
，
，
，
.
16．【答案】（1）解：由，则，
所以，
即，又，
，即，
.
（2）解：，
，
，
，即，又，
（当时等式成立），
.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和定理与三角恒等变换，化简得到 的值，从而求出角 。
(2)由余弦定理得到 ，结合均值不等式 推出 且 ，最后代入面积公式计算。
（1）由，则，
所以，
即，又，
，即，
.
（2），
，
，
，即，又，
（当时等式成立），
.
17．【答案】（1）解：由题意可知，解得.∴.
所以.
（2）解：当时，，
当且仅当，即时，.
当时，，当或时，.
因为，所以时，.
答：时销售额最大，最大日销售额为625元.
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)先利用已知条件 时的销售量求出常数 ，得到日销售量函数 ，再根据“日销售额 = 日销售量 × 销售单价”写出分段函数 。
（2）分别在两个区间内求函数最大值：对 的区间，用基本不等式求最大值；对 的区间，用二次函数性质求最大值；最后比较两段的最大值，得到全局最大值。
18．【答案】（1）解：函数的最小正周期为；
（2）解：因，则，
因是偶函数，则，
∵，∴，
所以，
由，得，，
所以的减区间是；
（3）解：当，则，∴所以在区间上的值域为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）代入正弦函数的周期公式得解；
（2）由余弦是三角函数中的偶函数，及诱导公式得，可求出，再代入单调减区间可得解；
（3）由x得范围求得得范围，由函数性质可得值域.
（1）函数的最小正周期为；
（2）因，
则，
因是偶函数，则，
∵，∴，
所以，
由，得，，
所以的减区间是；
（3）当，则，∴
所以在区间上的值域为.
19．【答案】（1）解：因为，
则，故.
（2）证明：由题意得，，
由可得，
因，则，故，解得.
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.
（3）解：由题意得，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.
【知识点】向量的模；简单的三角恒等变换；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 利用两角和的正弦公式与诱导公式化简函数，得到伴随向量，再计算其模长。
(2) 先由伴随函数定义求出，再利用三角形内角和及两角差的正弦公式，求出与，作比即可证明结论。
(3) 将方程化简为，根据的符号分段讨论函数，结合图像分析的取值范围。
（1）因为，
则，故.
（2）依题意，，
由可得，
因，则，故，解得.
，①
因，则，
②+①可得：，②-①可得，
两式相比可得：，即.
（3）依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点.
故实数的取值范围为.
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