资源简介

浙江省宁波市六校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由，得到或，所以，
又由，得到，所以，得到，
故答案为：A.
【分析】解二次方程得到集合，再求并集即可．
2．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：当时，；反之当时，或，
因此“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充分条件、必要条件得定义，结合三角函数的定义判断即可．
3．已知正数a，b满足，则的最小值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因正数a，b满足，
则，
当且仅当，即，
所以当时，取得最小值9.
故答案为：A．
【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得．
4．已知函数，则该函数在上的值域是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：，
在上单调递减，在，上单调递增，
是在，上的最小值，且，，
在，上的值域为，．
故答案为：A．
【分析】将解析式化为，利用单调性求解.
5．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则的系数为（　　）
A．15 B．45 C．135 D．405
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：令，代入
可得各项系数和为，展开式的各项的二项式系数和为，
由题意可知，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，
所以，解方程可得，
则二项式的展开式的通项公式为
令，解得
所以的系数为.
故答案为：C
【分析】赋值法令，代入得各项系数和为，而各项的二项式系数和为，从而求得n=6，再由通项公式求解.
6．函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由题意，A=1，，所以
令，得，
所以，即向右平移可以得到个g(x).
故答案为：A
【分析】由题意，A=1，代入周期公式得令，可得，可得解析式，由平移性质得解.
7．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”
则，
则
故答案为：
【分析】先设出事件，分别求出P(A)，P(AB)，由条件概率公式得解.
8．若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（　　）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：∵对任意实数，都有，
令，则.
又，
∴，
∵函数是上的单调函数，解得.
∴，∴.
故答案为：C.
【分析】由题意得用换元法，令，表示出函数，由以及f(x)是上的单调函数，解得，求得解析式即可.
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．下列结论中正确的是（　　）
A．若变量与之间的相关系数，则与正相关
B．由样本数据得到的线性回归方程必过点
C．已知，，则
D．已知随机变量，则
【答案】A,D
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；二项分布；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确；
对于B，回归直线方程必过样本点的中心，故B正确；
对于C，已知，，则，故C错误；
对于D，已知随机变量，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于Ａ，根据相关系数的定义判断即可；对于Ｂ，根据 线性回归方程的特点即可判断；对于Ｃ，利用条件概率公式计算即可；对于Ｄ，由二项分布的期望公式即可．
10．下列说法正确的是 （　　）
A．不等式的解集或
B．一扇形的圆心角，半径，则该扇形的周长为
C．命题，，则，
D．已知幂函数的图象经过点，那么
【答案】B,C,D
【知识点】全称量词命题；幂函数的概念与表示；其他不等式的解法；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：A、不等式，即，
整理为，解得：，
所以不等式的解集为，该选项错误，不合题意；
B、扇形的弧长为，所以扇形的周长为该选项正确，符合题意；
C、据全称量词命题的否定形式可知，命题，，则，，该选项正确，符合题意；
D、由题意可知，，得，该选项正确，符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 解分式不等式可判断A；扇形的弧长为，所以扇形的周长为，可判断B；
根据全称量词命题的否定形式可判断C；，得，可判断D.
11．设函数，下列命题中正确的有（　　）
A．时，是奇函数
B．时，方程只有一个实根
C．的图象关于对称
D．方程至多有两个实根
【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，，，定义域为，
所以，
则是奇函数，故A正确；
对于B，，令可得，
则方程只有一个实根，故B正确；
对于C，设函数上的任意一点关于点对称的点，
则．代入可得，
所以的图象关于对称，故C正确；
对于D，当，，的根有，，，
此时方程有三个实根，故D错误.
故选：ABC.
【分析】，，定义域为，由奇函数定义可判断A；，，解方程可判断B正确；由题意设点得，代入可得可判断C；当，，的根有，，，方程有三个实根，可判断D.
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．计算：　 　.
【答案】
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：
【分析】由指数、对数运算法则、诱导公式计算求解.
13．设随机变量服从正态分布，若，则实数　 　.
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，且，
所以，由正态分布的对称性可知：，解得.
故答案为
【分析】由正态分布的对称性，得，得解.
14．若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，当且仅当时取等号，
，，，
，，的最小值为2
故答案为：2
【分析】不等式右边运用基本不等式得，验证等号，得x=2y，分参得，右边再运用基本不等式可得答案.
四、解答题：（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（1）将6个相同的小球放入4个编号为的盒子，求恰有一个空盒子的放法的种数.（用数值作答）
（2）用这六个数字能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（用数值作答）
（3）甲乙丙等7人站成一排，要求甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？（用数值作答）
【答案】解：（1）恰有一个空盒子，插板分两步进行：
先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法，
然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法，
故共有种放法.
（2）符合要求的数可分为两类：
第一类：个位上的数字是0的四位数有个，
第二类：个位上的数字是5的四位数有个，
故满足条件的四位数的个数共有（个）.
（3）先排甲，乙，丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲，乙要相邻，故先把甲，乙排好，有种排法；
最后把甲，乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，
则有种排法.所以共有种不同的排法
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）相同元素分配问题，采用隔板法处理，得先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法，将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法；（2）符合要求的数可分为两类：第一类：个位上的数字是0的四位数，第二类：个位上的数字是5的四位数，分类计算可得；
（3）排队问题，“捆绑法”处理相邻元素，处理“插空法”不相邻元素，最后把甲，乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，得解.
16．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知是第二象限角，求的值.
【答案】解： （1）因为，则，
所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，且是第二象限角，
可知是第二象限角，则，
所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由同角三角函数关系式可得正弦值，代入两角和的正弦公式可得解；
（2）代入两角和的正切公式运算可得；
（3）由已知及角的范围，可得是第二象限角，可得得值，根据，运用余弦的两角和差公式得解.
17．已知函数
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求的单调递减区间；
（3）当时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值
【答案】（1）解：
，
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
（2）解：解不等式，
解得.
因此，函数的单调递减区间为
（3）解： 当时，，
当时，即当时，
函数取得最大值，最大值为．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用二倍角降幂公式得以及辅助角公式可得函数解析式，代入周期公式得，整体代入正弦得对称中心得可得解；
（2）由整体代入正弦单调递减区间可得，解不等式得解；
（3）由x范围，得，结合正弦性质可得.
（1），
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
（2）解不等式，
解得.
因此，函数的单调递减区间为；
（3）当时，，
当时，
即当时，
函数取得最大值，最大值为．
18．一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，.
（1）现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列；
（2）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（3）甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则.
【答案】（1）解：由函数解析式可知，偶函数有，，；
奇函数有，，，；
非奇非偶函数有，，；
所以的可能取值为、、、、、、，
则，，，
，，，，
所以的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
（2）解：因为为奇函数，，
令定义域为，且，
所以为奇函数，即为奇函数，
其余只能由奇函数奇函数得到奇函数；
所以现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，
所得函数是奇函数的概率；
（3）解：游戏公平，理由如下：
记甲赢为事件，乙赢为事件，
则，
所以，则，故游戏公平.
【知识点】函数的奇偶性；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由函数解析式可知，偶函数由3个，奇函数有4个，非奇非偶函数3个，则的可能取值再求出相应的概率，可得分布列；
（2）由（1）得到奇函数有、，令定义域为，且，得证为奇函数，即为奇函数，其余只能由奇函数奇函数得到奇函数，由古典概型的概率公式计算可得；
（3）先设事件，，算出即可得到答案.
（1）由函数解析式可知，偶函数有，，；
奇函数有，，，；
非奇非偶函数有，，；
所以的可能取值为、、、、、、，
则，，，
，，，，
所以的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
（2）因为为奇函数，，
令定义域为，且，
所以为奇函数，即为奇函数，
其余只能由奇函数奇函数得到奇函数；
所以现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，所得函数是奇函数的概率；
（3）游戏公平，理由如下：
记甲赢为事件，乙赢为事件，
则，
所以，则，故游戏公平.
19．已知是定义在上的函数，对、都有，且满足.
（1）判断函数的奇偶性，并证明之；
（2）证明：；
（3）求的值.
【答案】（1）解： 因为是定义在上的函数，
对、都有
令得，可得，
再令得，所以是定义在的偶函数.
（2）证明：令得，
再令得，
两式相加得，这里不恒为零，
故，即，
又因为函数为偶函数，则，
所以，所以函数是周期为的周期函数.
（3）解：由（2）知，，，，，
所以，，
令得；
令，得，又，
得到；
令得，
所以
.
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【分析】（1）用赋值法，将代入得，同理代入可得出，可证偶函数；
（2）类比（1）方法，赋值、可得出，，两式相加得，可得，得周期；
（3）利用赋值法，得，可得出的值；令得，由周期性得解.
（1）因为是定义在上的函数，
对、都有
令得，可得，
再令得，所以是定义在的偶函数.
（2）令得，
再令得，
两式相加得，这里不恒为零，
故，即，
又因为函数为偶函数，则，
所以，所以函数是周期为的周期函数.
（3）由（2）知，，，，，
所以，，
令得；
令，得，又，
得到；
令得，
所以
.
1 / 1浙江省宁波市六校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设，则（　　）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知正数a，b满足，则的最小值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
4．已知函数，则该函数在上的值域是（　　）
A． B． C． D．
5．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则的系数为（　　）
A．15 B．45 C．135 D．405
6．函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
7．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为
A． B． C． D．
8．若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（　　）
A．1 B． C． D．0
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．下列结论中正确的是（　　）
A．若变量与之间的相关系数，则与正相关
B．由样本数据得到的线性回归方程必过点
C．已知，，则
D．已知随机变量，则
10．下列说法正确的是 （　　）
A．不等式的解集或
B．一扇形的圆心角，半径，则该扇形的周长为
C．命题，，则，
D．已知幂函数的图象经过点，那么
11．设函数，下列命题中正确的有（　　）
A．时，是奇函数
B．时，方程只有一个实根
C．的图象关于对称
D．方程至多有两个实根
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．计算：　 　.
13．设随机变量服从正态分布，若，则实数　 　.
14．若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为　 　．
四、解答题：（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（1）将6个相同的小球放入4个编号为的盒子，求恰有一个空盒子的放法的种数.（用数值作答）
（2）用这六个数字能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（用数值作答）
（3）甲乙丙等7人站成一排，要求甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？（用数值作答）
16．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知是第二象限角，求的值.
17．已知函数
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）求的单调递减区间；
（3）当时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值
18．一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，.
（1）现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列；
（2）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（3）甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则.
19．已知是定义在上的函数，对、都有，且满足.
（1）判断函数的奇偶性，并证明之；
（2）证明：；
（3）求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由，得到或，所以，
又由，得到，所以，得到，
故答案为：A.
【分析】解二次方程得到集合，再求并集即可．
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：当时，；反之当时，或，
因此“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充分条件、必要条件得定义，结合三角函数的定义判断即可．
3．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因正数a，b满足，
则，
当且仅当，即，
所以当时，取得最小值9.
故答案为：A．
【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得．
4．【答案】A
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：，
在上单调递减，在，上单调递增，
是在，上的最小值，且，，
在，上的值域为，．
故答案为：A．
【分析】将解析式化为，利用单调性求解.
5．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：令，代入
可得各项系数和为，展开式的各项的二项式系数和为，
由题意可知，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，
所以，解方程可得，
则二项式的展开式的通项公式为
令，解得
所以的系数为.
故答案为：C
【分析】赋值法令，代入得各项系数和为，而各项的二项式系数和为，从而求得n=6，再由通项公式求解.
6．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由题意，A=1，，所以
令，得，
所以，即向右平移可以得到个g(x).
故答案为：A
【分析】由题意，A=1，代入周期公式得令，可得，可得解析式，由平移性质得解.
7．【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”
则，
则
故答案为：
【分析】先设出事件，分别求出P(A)，P(AB)，由条件概率公式得解.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：∵对任意实数，都有，
令，则.
又，
∴，
∵函数是上的单调函数，解得.
∴，∴.
故答案为：C.
【分析】由题意得用换元法，令，表示出函数，由以及f(x)是上的单调函数，解得，求得解析式即可.
9．【答案】A,D
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；二项分布；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确；
对于B，回归直线方程必过样本点的中心，故B正确；
对于C，已知，，则，故C错误；
对于D，已知随机变量，则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于Ａ，根据相关系数的定义判断即可；对于Ｂ，根据 线性回归方程的特点即可判断；对于Ｃ，利用条件概率公式计算即可；对于Ｄ，由二项分布的期望公式即可．
10．【答案】B,C,D
【知识点】全称量词命题；幂函数的概念与表示；其他不等式的解法；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：A、不等式，即，
整理为，解得：，
所以不等式的解集为，该选项错误，不合题意；
B、扇形的弧长为，所以扇形的周长为该选项正确，符合题意；
C、据全称量词命题的否定形式可知，命题，，则，，该选项正确，符合题意；
D、由题意可知，，得，该选项正确，符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 解分式不等式可判断A；扇形的弧长为，所以扇形的周长为，可判断B；
根据全称量词命题的否定形式可判断C；，得，可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，，，定义域为，
所以，
则是奇函数，故A正确；
对于B，，令可得，
则方程只有一个实根，故B正确；
对于C，设函数上的任意一点关于点对称的点，
则．代入可得，
所以的图象关于对称，故C正确；
对于D，当，，的根有，，，
此时方程有三个实根，故D错误.
故选：ABC.
【分析】，，定义域为，由奇函数定义可判断A；，，解方程可判断B正确；由题意设点得，代入可得可判断C；当，，的根有，，，方程有三个实根，可判断D.
12．【答案】
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：
【分析】由指数、对数运算法则、诱导公式计算求解.
13．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，且，
所以，由正态分布的对称性可知：，解得.
故答案为
【分析】由正态分布的对称性，得，得解.
14．【答案】2
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，当且仅当时取等号，
，，，
，，的最小值为2
故答案为：2
【分析】不等式右边运用基本不等式得，验证等号，得x=2y，分参得，右边再运用基本不等式可得答案.
15．【答案】解：（1）恰有一个空盒子，插板分两步进行：
先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法，
然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法，
故共有种放法.
（2）符合要求的数可分为两类：
第一类：个位上的数字是0的四位数有个，
第二类：个位上的数字是5的四位数有个，
故满足条件的四位数的个数共有（个）.
（3）先排甲，乙，丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲，乙要相邻，故先把甲，乙排好，有种排法；
最后把甲，乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，
则有种排法.所以共有种不同的排法
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）相同元素分配问题，采用隔板法处理，得先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如，有种插法，将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法；（2）符合要求的数可分为两类：第一类：个位上的数字是0的四位数，第二类：个位上的数字是5的四位数，分类计算可得；
（3）排队问题，“捆绑法”处理相邻元素，处理“插空法”不相邻元素，最后把甲，乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，得解.
16．【答案】解： （1）因为，则，
所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，且是第二象限角，
可知是第二象限角，则，
所以.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）由同角三角函数关系式可得正弦值，代入两角和的正弦公式可得解；
（2）代入两角和的正切公式运算可得；
（3）由已知及角的范围，可得是第二象限角，可得得值，根据，运用余弦的两角和差公式得解.
17．【答案】（1）解：
，
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
（2）解：解不等式，
解得.
因此，函数的单调递减区间为
（3）解： 当时，，
当时，即当时，
函数取得最大值，最大值为．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用二倍角降幂公式得以及辅助角公式可得函数解析式，代入周期公式得，整体代入正弦得对称中心得可得解；
（2）由整体代入正弦单调递减区间可得，解不等式得解；
（3）由x范围，得，结合正弦性质可得.
（1），
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
（2）解不等式，
解得.
因此，函数的单调递减区间为；
（3）当时，，
当时，
即当时，
函数取得最大值，最大值为．
18．【答案】（1）解：由函数解析式可知，偶函数有，，；
奇函数有，，，；
非奇非偶函数有，，；
所以的可能取值为、、、、、、，
则，，，
，，，，
所以的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
（2）解：因为为奇函数，，
令定义域为，且，
所以为奇函数，即为奇函数，
其余只能由奇函数奇函数得到奇函数；
所以现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，
所得函数是奇函数的概率；
（3）解：游戏公平，理由如下：
记甲赢为事件，乙赢为事件，
则，
所以，则，故游戏公平.
【知识点】函数的奇偶性；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由函数解析式可知，偶函数由3个，奇函数有4个，非奇非偶函数3个，则的可能取值再求出相应的概率，可得分布列；
（2）由（1）得到奇函数有、，令定义域为，且，得证为奇函数，即为奇函数，其余只能由奇函数奇函数得到奇函数，由古典概型的概率公式计算可得；
（3）先设事件，，算出即可得到答案.
（1）由函数解析式可知，偶函数有，，；
奇函数有，，，；
非奇非偶函数有，，；
所以的可能取值为、、、、、、，
则，，，
，，，，
所以的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
（2）因为为奇函数，，
令定义域为，且，
所以为奇函数，即为奇函数，
其余只能由奇函数奇函数得到奇函数；
所以现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，所得函数是奇函数的概率；
（3）游戏公平，理由如下：
记甲赢为事件，乙赢为事件，
则，
所以，则，故游戏公平.
19．【答案】（1）解： 因为是定义在上的函数，
对、都有
令得，可得，
再令得，所以是定义在的偶函数.
（2）证明：令得，
再令得，
两式相加得，这里不恒为零，
故，即，
又因为函数为偶函数，则，
所以，所以函数是周期为的周期函数.
（3）解：由（2）知，，，，，
所以，，
令得；
令，得，又，
得到；
令得，
所以
.
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数的值
【解析】【分析】（1）用赋值法，将代入得，同理代入可得出，可证偶函数；
（2）类比（1）方法，赋值、可得出，，两式相加得，可得，得周期；
（3）利用赋值法，得，可得出的值；令得，由周期性得解.
（1）因为是定义在上的函数，
对、都有
令得，可得，
再令得，所以是定义在的偶函数.
（2）令得，
再令得，
两式相加得，这里不恒为零，
故，即，
又因为函数为偶函数，则，
所以，所以函数是周期为的周期函数.
（3）由（2）知，，，，，
所以，，
令得；
令，得，又，
得到；
令得，
所以
.
1 / 1

展开更多......

收起↑