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广西壮族自治区柳州市上进联考2024-2025学年高一下学期6月期末联合考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．在棱长为的正方体中，点到平面的距离为（　　）
A．1 B．2 C． D．
3．复数的实部与虚部之和为（　　）
A． B． C．1 D．5
4．某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（　　）
A．至少有1名男生与全是男生
B．至少有1名男生与全是女生
C．恰有1名男生与恰有2名男生
D．至少有1名男生与至少有1名女生
5．利用斜二侧画法画出的直观图如图阴影部分所示，其中，，则（　　）
A．4 B． C．2 D．
6．在平行四边形中，，，记，，则（　　）
A． B．
C． D．
7．江西赣州慈云塔始建于北宋天圣元年，是古代慈云寺的附属建筑物，距今已有1000多年的历史，是一座典型的宋代高层楼阁式砖塔，是我国第六批全国重点文物保护单位.如图，某校高一年级数学实践小组为了测得其塔高，在点测得塔底位于北偏东方向上，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点60米的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为（　　）（参考数据：）
A．39米 B．46米 C．49米 D．52米
8．现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题为真命题的有（　　）
A．球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等
B．现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若直线上的三个点在平面内，则
10．若，，则“”的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在四面体中，，，，二面角的大小为，记的中点为，则（　　）
A．
B．
C．可能为直角
D．若平面，则异面直线与夹角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.3，0.2，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为　 　.
13．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的　 　.（填“外心”“重心”或“垂心”）
14．已知函数，若，则的最小值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，的夹角为锐角，求的取值范围.
16．近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2026年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249.
（1）求这5个数据的60%分位数及平均数；
（2）从这5个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率.
17．把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到的图象.
（1）求的单调递增区间；
（2）若在区间上存在最小值，求的取值范围.
18．记中的内角的对边分别为，且．
（1）证明：；
（2）若，且边上的中线的长度为，求a的值．
19．如图，在三棱台中，，是边长为的等边三角形，且，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求的长；
（3）求二面角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由集合，得或，而，
所以.
故答案为：B
【分析】先根据补集的定义求出集合A在实数集R中的补集 R A，再根据交集的定义求出 R A与集合B的交集。
2．【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接，交于点，
因为四边形为正方形，
所以，即，
又因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离为的长，
因为正方体棱长为2，
所以，
所以点到平面的距离为.
故答案为：C.
【分析】利用线面垂直的判定定理找到点 A 到平面BDD1 的垂线段，再结合正方体的棱长计算垂线段的长度，即为点到平面的距离。
3．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以实部与虚部分别为和，所以和为.
故答案为：.
【分析】先利用复数的乘法运算法则化简复数z，确定其实部和虚部，再计算二者之和。
4．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】A，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，A错误；
B，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，B错误；
C，事件恰有1名男生指有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，C正确；
D，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，
事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，D错误.
故答案为：C
【分析】 根据互斥事件（不能同时发生）和对立事件（不能同时发生且必有一个发生）的定义，逐一分析各选项中事件的关系。
5．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由题可得，，解得，
所以.
故答案为：A
【分析】先根据直观图的面积公式求出O'C'的长度，再结合斜二测画法中y轴方向线段的缩放规则，计算原图形中OC的长度。
6．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由图得，
.
故答案为：D.
【分析】根据向量的线性运算法则，将拆解为与的和，再结合已知的向量比例关系和平行四边形的向量性质，将其用和表示。
7．【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，平面，，
在中，，则，，
在中，.
故答案为：C
【分析】先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长度，再在Rt△ACD中结合正切函数的定义计算塔高CD。
8．【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：如图正四面体，
，
，令，截面，
由，得，即，则，
，四面体为正四面体，
四面体的表面积为：，
梯形的面积为，则三棱台的表面积为：
，
由，得，解得，
所以截面.
故答案为：D
【分析】利用相似三角形性质设出截面边长，分别表示出截后两部分的表面积，根据表面积相等列方程求解截面边长的平方，再代入正三角形面积公式计算截面面积。
9．【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；平面的基本性质及推论；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】A，球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等，A正确；
B，第一条直线与平面相交，若另一条直线与平面不相交，则该直线在平面内或与平面平行，
此直线与第一条直线相交或是异面直线，与两条直线平行矛盾，B错误；
C，直线，由，得存在过的平面，则，
由，得存在过的平面，则，而，则，
又，因此，C正确；
D，直线上的三个点在平面内，则，D正确.
故答案为：ACD
【分析】 A：依据球体的定义（旋转体范畴、球面上点到球心距离的特征），判断命题真假。
B：根据线面位置关系的性质，结合平行线的传递性，分析一条直线与平面相交时，另一条平行线与该平面的位置关系。
C：利用线面平行的性质定理，推导直线与两个相交平面交线的平行关系。
D：根据平面的基本事实（不共线三点确定一个平面，直线上三点在平面内则直线在平面内），判断命题真假。
10．【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，，所以是的充要条件，故错误；
，由可得，即，充分性成立，
反之，不一定推出，必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，故正确；
，由可得，所以，反之不成立，
所以是的充分不必要条件，故正确；
，因为，所以是的充要条件，故错误.
故答案为：.
【分析】先明确等价于，再根据充分不必要条件的定义（条件能推出结论，结论推不出条件），逐一分析选项与的推导关系。
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；异面直线所成的角；二面角及二面角的平面角；余弦定理
【解析】【解答】A，由，T为的中点，得，而，平面，
，则平面，又平面，因此，，A正确；
B，由，得是二面角的平面角，，
由余弦定理得，
，当且仅当时取等号，B正确；
C，，
，即，C错误；
D，取中点，连接，
则，是异面直线与所成角或其补角，
由平面，平面，得，由，
得，，而，，
，，D正确.
故答案为：ABD
【分析】结合线面垂直判定、二面角定义、余弦定理、基本不等式及异面直线夹角公式，逐一分析各选项的真假。
12．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：记打印机发生故障为事件，电脑发生故障为事件，
由题意，，，
所以，，
因为事件，相互独立，
所以时间，相互独立，
所以.
故答案为：.
【分析】 利用对立事件的概率公式求出设备不发生故障的概率，再结合相互独立事件的概率乘法公式，计算两台设备都不发生故障的概率。
13．【答案】外心
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设对应点为，且，
根据向量减法的几何意义知，即到三角形三个顶点的距离相等，
所以在复平面内对应的点为的外心.
故答案为：外心
【分析】根据复数模的几何意义，将转化为复平面内点的距离关系，结合三角形特殊点的定义判断。
14．【答案】2
【知识点】奇偶函数图象的对称性；对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：由题设，则，
所以，
又函数在上单调递增，且，
所以，且，则，
当且仅当时取等号，即的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】先推导函数的对称性得到与的关系，再将所求式子化简，最后利用基本不等式求最小值。
15．【答案】（1）解：若，则，，所以
所以.
（2）解：向量，，
若，的夹角为锐角，则，且，不共线，
故，所以的取值范围为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】(1) 先代入求出向量，再计算，最后利用向量数量积的坐标运算求解；
(2) 向量夹角为锐角的条件是数量积大于0且两向量不共线，据此列不等式组求解的取值范围。
（1）若，则，，所以
所以.
（2）向量，，
若，的夹角为锐角，则，且，不共线，
故，所以的取值范围为.
16．【答案】（1）解：因为，所以这5个数据的60%分位数为：，
平均数为：，
所以这5个数据的60%分位数为，平均数为.
（2）解：从个数据中任取个数据，样本空间，共含有个样本点，
设事件表示“取到的2个数据都小于这个数据的平均数”，
则，共含有个样本点，
所以.
则从这5个数据中任取2个数据，取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 先将数据排序，根据百分位数的计算规则确定60%分位数的位置，再结合平均数公式计算平均值；
(2) 用列举法列出从5个数据中任取2个的所有样本点，找出符合“都小于平均数”的样本点，利用古典概型概率公式求解。
（1）因为，所以这5个数据的60%分位数为：，
平均数为：，
所以这5个数据的60%分位数为，平均数为.
（2）从个数据中任取个数据，
样本空间
，共含有个样本点，
设事件表示“取到的2个数据都小于这个数据的平均数”，
则，共含有个样本点，
所以.
则从这5个数据中任取2个数据，取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率为.
17．【答案】（1）解：将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则，
再向左平移个单位长度，得到，
令，，可得，，
所以的单调递增区间为，；
（2）解：由（1）及已知得，又在区间上存在最小值，
所以或，且，可得或.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先根据三角函数图象的伸缩、平移变换求出的解析式，再结合正弦函数的单调性求解单调递增区间；
(2) 分析时的取值范围，结合正弦函数的最小值点位置，列不等式确定的取值范围。
（1）将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则，
再向左平移个单位长度，得到，
令，，可得，，
所以的单调递增区间为，；
（2）由（1）及已知得，又在区间上存在最小值，
所以或，且，可得或.
18．【答案】（1）证明：由正弦定理可得，
又为的内角，故．
代入上式，有，
即．
又，若，必有，不符合题意，
则，同理，则．又，则．
（2）解：不妨设为边上的中线，
在中，
有，
由（1）可得，故，即．
在中，有．
即．
解得．
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合两角和的正弦公式化简，推出，进而证明；
(2) 由得，再在和（为中线）中分别用余弦定理列方程，联立求解的值。
（1）由正弦定理可得，
又为的内角，故．
代入上式，有，
即．
又，若，必有，不符合题意，
则，同理，则．又，则．
（2）不妨设为边上的中线，在中，
有，
由（1）可得，故，即．
在中，有．
即．
解得．
19．【答案】（1）证明：由题意得，因为，
且，平面，
所以平面，
在三棱台中，
平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）可知，平面，
因为平面，
所以，
又因为是边长为的等边三角形，
所以，
所以与全等，
所以，即，
又因为，
所以，
在中，由余弦定理得，
解得，
所以，
如图①所示，过点作交于，连接，
因为，
所以四边形为矩形，
所以，
设，则，
在中，由余弦定理得，
则，
在中，由得
，解得，
故.
（3）解：如图②所示，取中点，中点，连接，
因为为等腰三角形，，，
所以，
因为为等腰三角形，，点为中点，
所以，，
又因为，点为中点，点为中点，
所以，
因为平面平面，
所以为平面与平面的夹角.
如图③所示，在直角梯形中，过点作，交与，
且，
所以，
在中，由余弦定理得.
所以二面角的夹角余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；解三角形
【解析】【分析】(1) 先由线面垂直判定定理证平面，再结合面面垂直判定定理证明平面平面；
(2) 设，通过作垂线构造直角三角形，结合余弦定理、勾股定理列方程求解；
(3) 取中点确定二面角的平面角，再用余弦定理计算其余弦值。
（1）由题意，因为，
且，平面，
所以平面，
在三棱台中，
平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）可知，平面，
因为平面，
所以，
又因为是边长为的等边三角形，
所以，
所以与全等，
所以，即，
又因为，
所以，
在中，由余弦定理得，
解得，
所以，
如图①所示，过点作交于，连接，
因为，
所以四边形为矩形，
所以，
设，则，
在中，由余弦定理得，
则，
在中，由得
，解得，
故.
（3）如图②所示，取中点，中点，连接，
因为为等腰三角形，，，
所以，
因为为等腰三角形，，点为中点，
所以，，
又因为，点为中点，点为中点，
所以，
因为平面平面，
所以为平面与平面的夹角.
如图③所示，在直角梯形中，过点作，交与，
且，
所以，
在中，由余弦定理得.
所以二面角的夹角余弦值为.
1 / 1广西壮族自治区柳州市上进联考2024-2025学年高一下学期6月期末联合考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：由集合，得或，而，
所以.
故答案为：B
【分析】先根据补集的定义求出集合A在实数集R中的补集 R A，再根据交集的定义求出 R A与集合B的交集。
2．在棱长为的正方体中，点到平面的距离为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接，交于点，
因为四边形为正方形，
所以，即，
又因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离为的长，
因为正方体棱长为2，
所以，
所以点到平面的距离为.
故答案为：C.
【分析】利用线面垂直的判定定理找到点 A 到平面BDD1 的垂线段，再结合正方体的棱长计算垂线段的长度，即为点到平面的距离。
3．复数的实部与虚部之和为（　　）
A． B． C．1 D．5
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以实部与虚部分别为和，所以和为.
故答案为：.
【分析】先利用复数的乘法运算法则化简复数z，确定其实部和虚部，再计算二者之和。
4．某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（　　）
A．至少有1名男生与全是男生
B．至少有1名男生与全是女生
C．恰有1名男生与恰有2名男生
D．至少有1名男生与至少有1名女生
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】A，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，A错误；
B，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，B错误；
C，事件恰有1名男生指有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，C正确；
D，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，
事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，D错误.
故答案为：C
【分析】 根据互斥事件（不能同时发生）和对立事件（不能同时发生且必有一个发生）的定义，逐一分析各选项中事件的关系。
5．利用斜二侧画法画出的直观图如图阴影部分所示，其中，，则（　　）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由题可得，，解得，
所以.
故答案为：A
【分析】先根据直观图的面积公式求出O'C'的长度，再结合斜二测画法中y轴方向线段的缩放规则，计算原图形中OC的长度。
6．在平行四边形中，，，记，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由图得，
.
故答案为：D.
【分析】根据向量的线性运算法则，将拆解为与的和，再结合已知的向量比例关系和平行四边形的向量性质，将其用和表示。
7．江西赣州慈云塔始建于北宋天圣元年，是古代慈云寺的附属建筑物，距今已有1000多年的历史，是一座典型的宋代高层楼阁式砖塔，是我国第六批全国重点文物保护单位.如图，某校高一年级数学实践小组为了测得其塔高，在点测得塔底位于北偏东方向上，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点60米的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为（　　）（参考数据：）
A．39米 B．46米 C．49米 D．52米
【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，平面，，
在中，，则，，
在中，.
故答案为：C
【分析】先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长度，再在Rt△ACD中结合正切函数的定义计算塔高CD。
8．现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：如图正四面体，
，
，令，截面，
由，得，即，则，
，四面体为正四面体，
四面体的表面积为：，
梯形的面积为，则三棱台的表面积为：
，
由，得，解得，
所以截面.
故答案为：D
【分析】利用相似三角形性质设出截面边长，分别表示出截后两部分的表面积，根据表面积相等列方程求解截面边长的平方，再代入正三角形面积公式计算截面面积。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题为真命题的有（　　）
A．球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等
B．现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若直线上的三个点在平面内，则
【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；平面的基本性质及推论；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】A，球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等，A正确；
B，第一条直线与平面相交，若另一条直线与平面不相交，则该直线在平面内或与平面平行，
此直线与第一条直线相交或是异面直线，与两条直线平行矛盾，B错误；
C，直线，由，得存在过的平面，则，
由，得存在过的平面，则，而，则，
又，因此，C正确；
D，直线上的三个点在平面内，则，D正确.
故答案为：ACD
【分析】 A：依据球体的定义（旋转体范畴、球面上点到球心距离的特征），判断命题真假。
B：根据线面位置关系的性质，结合平行线的传递性，分析一条直线与平面相交时，另一条平行线与该平面的位置关系。
C：利用线面平行的性质定理，推导直线与两个相交平面交线的平行关系。
D：根据平面的基本事实（不共线三点确定一个平面，直线上三点在平面内则直线在平面内），判断命题真假。
10．若，，则“”的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，，所以是的充要条件，故错误；
，由可得，即，充分性成立，
反之，不一定推出，必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，故正确；
，由可得，所以，反之不成立，
所以是的充分不必要条件，故正确；
，因为，所以是的充要条件，故错误.
故答案为：.
【分析】先明确等价于，再根据充分不必要条件的定义（条件能推出结论，结论推不出条件），逐一分析选项与的推导关系。
11．如图，在四面体中，，，，二面角的大小为，记的中点为，则（　　）
A．
B．
C．可能为直角
D．若平面，则异面直线与夹角的余弦值为
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式；异面直线所成的角；二面角及二面角的平面角；余弦定理
【解析】【解答】A，由，T为的中点，得，而，平面，
，则平面，又平面，因此，，A正确；
B，由，得是二面角的平面角，，
由余弦定理得，
，当且仅当时取等号，B正确；
C，，
，即，C错误；
D，取中点，连接，
则，是异面直线与所成角或其补角，
由平面，平面，得，由，
得，，而，，
，，D正确.
故答案为：ABD
【分析】结合线面垂直判定、二面角定义、余弦定理、基本不等式及异面直线夹角公式，逐一分析各选项的真假。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.3，0.2，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为　 　.
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：记打印机发生故障为事件，电脑发生故障为事件，
由题意，，，
所以，，
因为事件，相互独立，
所以时间，相互独立，
所以.
故答案为：.
【分析】 利用对立事件的概率公式求出设备不发生故障的概率，再结合相互独立事件的概率乘法公式，计算两台设备都不发生故障的概率。
13．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的　 　.（填“外心”“重心”或“垂心”）
【答案】外心
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设对应点为，且，
根据向量减法的几何意义知，即到三角形三个顶点的距离相等，
所以在复平面内对应的点为的外心.
故答案为：外心
【分析】根据复数模的几何意义，将转化为复平面内点的距离关系，结合三角形特殊点的定义判断。
14．已知函数，若，则的最小值为　 　.
【答案】2
【知识点】奇偶函数图象的对称性；对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：由题设，则，
所以，
又函数在上单调递增，且，
所以，且，则，
当且仅当时取等号，即的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】先推导函数的对称性得到与的关系，再将所求式子化简，最后利用基本不等式求最小值。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】（1）解：若，则，，所以
所以.
（2）解：向量，，
若，的夹角为锐角，则，且，不共线，
故，所以的取值范围为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】(1) 先代入求出向量，再计算，最后利用向量数量积的坐标运算求解；
(2) 向量夹角为锐角的条件是数量积大于0且两向量不共线，据此列不等式组求解的取值范围。
（1）若，则，，所以
所以.
（2）向量，，
若，的夹角为锐角，则，且，不共线，
故，所以的取值范围为.
16．近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2026年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249.
（1）求这5个数据的60%分位数及平均数；
（2）从这5个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率.
【答案】（1）解：因为，所以这5个数据的60%分位数为：，
平均数为：，
所以这5个数据的60%分位数为，平均数为.
（2）解：从个数据中任取个数据，样本空间，共含有个样本点，
设事件表示“取到的2个数据都小于这个数据的平均数”，
则，共含有个样本点，
所以.
则从这5个数据中任取2个数据，取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率为.
【知识点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 先将数据排序，根据百分位数的计算规则确定60%分位数的位置，再结合平均数公式计算平均值；
(2) 用列举法列出从5个数据中任取2个的所有样本点，找出符合“都小于平均数”的样本点，利用古典概型概率公式求解。
（1）因为，所以这5个数据的60%分位数为：，
平均数为：，
所以这5个数据的60%分位数为，平均数为.
（2）从个数据中任取个数据，
样本空间
，共含有个样本点，
设事件表示“取到的2个数据都小于这个数据的平均数”，
则，共含有个样本点，
所以.
则从这5个数据中任取2个数据，取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率为.
17．把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到的图象.
（1）求的单调递增区间；
（2）若在区间上存在最小值，求的取值范围.
【答案】（1）解：将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则，
再向左平移个单位长度，得到，
令，，可得，，
所以的单调递增区间为，；
（2）解：由（1）及已知得，又在区间上存在最小值，
所以或，且，可得或.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先根据三角函数图象的伸缩、平移变换求出的解析式，再结合正弦函数的单调性求解单调递增区间；
(2) 分析时的取值范围，结合正弦函数的最小值点位置，列不等式确定的取值范围。
（1）将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则，
再向左平移个单位长度，得到，
令，，可得，，
所以的单调递增区间为，；
（2）由（1）及已知得，又在区间上存在最小值，
所以或，且，可得或.
18．记中的内角的对边分别为，且．
（1）证明：；
（2）若，且边上的中线的长度为，求a的值．
【答案】（1）证明：由正弦定理可得，
又为的内角，故．
代入上式，有，
即．
又，若，必有，不符合题意，
则，同理，则．又，则．
（2）解：不妨设为边上的中线，
在中，
有，
由（1）可得，故，即．
在中，有．
即．
解得．
【知识点】解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合两角和的正弦公式化简，推出，进而证明；
(2) 由得，再在和（为中线）中分别用余弦定理列方程，联立求解的值。
（1）由正弦定理可得，
又为的内角，故．
代入上式，有，
即．
又，若，必有，不符合题意，
则，同理，则．又，则．
（2）不妨设为边上的中线，在中，
有，
由（1）可得，故，即．
在中，有．
即．
解得．
19．如图，在三棱台中，，是边长为的等边三角形，且，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求的长；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：由题意得，因为，
且，平面，
所以平面，
在三棱台中，
平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）可知，平面，
因为平面，
所以，
又因为是边长为的等边三角形，
所以，
所以与全等，
所以，即，
又因为，
所以，
在中，由余弦定理得，
解得，
所以，
如图①所示，过点作交于，连接，
因为，
所以四边形为矩形，
所以，
设，则，
在中，由余弦定理得，
则，
在中，由得
，解得，
故.
（3）解：如图②所示，取中点，中点，连接，
因为为等腰三角形，，，
所以，
因为为等腰三角形，，点为中点，
所以，，
又因为，点为中点，点为中点，
所以，
因为平面平面，
所以为平面与平面的夹角.
如图③所示，在直角梯形中，过点作，交与，
且，
所以，
在中，由余弦定理得.
所以二面角的夹角余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；解三角形
【解析】【分析】(1) 先由线面垂直判定定理证平面，再结合面面垂直判定定理证明平面平面；
(2) 设，通过作垂线构造直角三角形，结合余弦定理、勾股定理列方程求解；
(3) 取中点确定二面角的平面角，再用余弦定理计算其余弦值。
（1）由题意，因为，
且，平面，
所以平面，
在三棱台中，
平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）可知，平面，
因为平面，
所以，
又因为是边长为的等边三角形，
所以，
所以与全等，
所以，即，
又因为，
所以，
在中，由余弦定理得，
解得，
所以，
如图①所示，过点作交于，连接，
因为，
所以四边形为矩形，
所以，
设，则，
在中，由余弦定理得，
则，
在中，由得
，解得，
故.
（3）如图②所示，取中点，中点，连接，
因为为等腰三角形，，，
所以，
因为为等腰三角形，，点为中点，
所以，，
又因为，点为中点，点为中点，
所以，
因为平面平面，
所以为平面与平面的夹角.
如图③所示，在直角梯形中，过点作，交与，
且，
所以，
在中，由余弦定理得.
所以二面角的夹角余弦值为.
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