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山东省五莲县第一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．若函数，则导函数（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列满足：，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知数列满足，，，设其前项和为，则（ ）
A．2400 B．2500 C．2600 D．2700
4．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．在数列中，，对任意，则（ ）
A． B． C． D．
7．当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等差数列
B．数列为等比数列
C．
D．若，则数列的前项和
10．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，以下命题正确的是（ ）
A．若函数不存在极值，则实数b的取值范围是
B．方程的所有实根的和为8
C．过点且与曲线相切的直线有三条
D．方程，则的极大值为
三、填空题
12．已知等差数列的前n项和为，且，则___________．
13．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕______万千克.
14．“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧，已知函数，，若，则的最小值为__________
四、解答题
15．已知正项数列满足，且（）.
(1)求的通项公式;
(2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立 若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由.
16．已知函数（且）.
(1)当时，求的极小值点与极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个零点，（），且，证明：.
17．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
18．已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：．
19．已知函数 .
(1)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线在点 处的法线. 若曲线 在点处的法线与直线 平行，求实数的值;
(2)当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值;
(3)若存在两个不同的极值点且，求实数取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B B D B BCD ABC
题号 11
答案 BC
12．
13．5
14．1
15．（1）∵，
∴，则，
∴，又数列为正项数列，
∴，即，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴，则；
（2）∵，则，
故
∴，
则，故恒成立，
∴，解得，
∴存在满足条件.
16．（1）当时，，其定义域为，
对求导，可得，
令，即，因为，所以，解得，
当时，，，，则，单调递减；
当时，，，，则，单调递增，
所以是的极小值点，极小值为.
（2）的定义域为．
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，；
当时，，所以单调递减；
在上，，所以单调递增；
综上所得，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：当时，；
由（2）知，在上单调递减，在上单调递增；
由题意可得，
由及，得；
欲证，只要，
注意到在上单调递减，且，只要证明即可；
由，得；
所以
，
令，
则，
则在上是单调递增的，
因此，即；
综上，．
17．（1）当时，，，，
则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，恒成立，所以恒成立.
令，则，
令，则且不恒为0，
即在上单调递减，则，
所以当时，且不恒为0，
所以在区间上单调递减，故，所以，
综上，实数的取值范围为；
（3）取，由（2）得当时，，所以.
取，则有，
即，
所以，，，，
将上述式子相加得，得证.
18．（1）由题可得，，所以，
又，则，则，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，所以，
所以.
（3）由（2），则，
所以．
令，则，
其前项和为；
令，则，
其前项和为，
所以．
19．（1）由得：，
则，又由直线的斜率为，
根据题意可知：；
（2）当时，不等式可化为，
变形为
同构函数，求导得，
所以在上是增函数，而原不等式可化为，
根据单调性可得：，
再构造，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，即满足不等式成立的,
所以的最小值为；
（3）因为存在两个不同的极值点
所以由可得：
，，
因为，而的对称轴是，所以可得，
根据对称性可得另一个零点，此时有，
故，
又由可得，
而
令，
则，
，即，，
则，
即在区间上单调递减，
所以有，
即，
所以实数取值范围.

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