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山东聊城第一中学2024-2025学年第二学期期中考试高二数学试题
一、单选题
1．若函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．某班上午要上语文、数学、体育和外语四门课，体育老师因故不能上第一节和第二节，不同的排课方法有 （ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在的展开式中常数项是（ ）
A． B． C． D．
4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为（ ）
A．25 B．10
C．7 D．6
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
8．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．计算：______．
13．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
14．从、、、、、、、、这个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为___________.
四、解答题
15．在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_________.
(1)求的值；
(2)若展开式中的常数项为112，求展开式中的系数.
16．某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
(2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.
17．甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球.
(1)求“三球中至少有一个为白球”的概率；
(2)设表示所取白球的个数，求的分布列.
18．已知函数在与时，都取得极值．
（1）求的值；
（2）若，求的单调区间和极值；
（3）若对都有恒成立，求的取值范围．
19．已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)求证：当时，.
(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C A A C B BD AC
题号 11
答案 CD
12．/
13．
14．
15．（1）选①，， ；
选②，∵只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，；
选③，∵所有项的二项式系数的和为256，， .
（2）二项式的展开式的通项公式为
，令得，
∴展开式中的常数项为， 得，又，
的展开式的通项公式为，
令得， ，
∴展开式中的系数为.
16．（1）从7名成员中挑选2名成员，共有种情况，
记“男生甲被选中”为事件A，所包含的基本事件数为种，故.
记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则，
故.
（2）记“挑选的2人一男一女”为事件C，
事件C所包含的基本事件数为种，
由（1），则，则，
故.
17．（1）记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为，三球中至少有一球为白球记为事件，
则；；.
；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
所以，随机变量的分布列如下：
0 1 2 3
18．解：（1）f ′(x)＝3x2＋2a x＋b＝0．
由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解．
－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2……………………………………4分
经检验得：这时与都是极值点．…………………………………5分
（2）f (x)＝x3－x2－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．
∴f (x)＝x3－x2－2 x＋1．
∴ f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．
当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；
当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－……………………………………………10分
（3）由（1）得，f ′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x3－x2－2 x＋c，
f (x)在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减．
而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．
∴ f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．∴ ，∴
∴ 或∴ 或…………………16分
19．（1）由题意，，又
由导数的几何意义， ，
所以在点处的切线方程：，
即；
（2）当时，恒成立，等价于恒成立，
设，则，
当时，，所以，即在上为增函数，
所以，即恒成立，恒成立，
所以当时，，问题得证；
（3）若时，恒成立，
等价于恒成立，
令，则，
令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
故当时，原不等式恒成立.

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