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河北保定市2026届高三第一次模拟考试数学试题
一、单选题
1．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（ ）
A． B． C． D．
4．已知为等差数列的前项和，，，则（ ）
A．190 B．180 C．130 D．110
5．已知是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，∥，∥，则“与为异面直线”是 “∥”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线的焦点为F，动点P在抛物线C的准线上，O为坐标原点，当最大时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，若，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．最小正周期为
B．当时，的值域为
C．的图象关于直线对称
D．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
10．圆与圆的公切线的交点坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
11．某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品．甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2．甲、乙设备的检测结果相互独立．已知某批芯片良品率为，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（ ）
A．若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74
B．若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9
C．甲设备检测该芯片为良品的概率为
D．甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为
三、填空题
12．若，则______．
13．已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______．
14．在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的3倍与前一项之差，形成新的数列．现将数列2，1进行这样操作，第一次得到数列2，1，1，第二次得到数列2，1，1，2，1，…，将上述数列排成如图所示的数阵，则数阵中第10行共有______项，第n行所有项的和为______．
四、解答题
15．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)若，且，求的取值范围．
16．某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性，随机抽取了120名18岁~60岁市民进行调查．将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”；体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”，否则为“体质不达标”．调查结果整理为如下不完整的列联表．
体质达标 体质不达标 合计
高频锻炼组 m 15 60
低频锻炼组 25 v u
合计 s t 120
附：，其中．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
(1)请根据列联表中的数据，写出m，v，s，t，u的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，分析该市市民体育锻炼频次是否与体质达标有关联；
(3)该市计划从抽到的120人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导”活动，现按高频锻炼组和低频锻炼组分层，通过分层抽样抽取10人展开指导活动，再从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，求抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率．
17．已知函数．
(1)当时，求这个函数图象在处的切线方程；
(2)证明：当时，，使得成立．
18．在平面直角坐标系中，定义，两点之间的“曼哈顿距离”为，我们把到两个定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”．
(1)请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积（用表示）；
(2)当，时，该“曼哈顿椭圆”的顶点都在椭圆C上，过点作圆的两条切线与椭圆分别交于两点．
（ⅰ）求椭圆的方程；
（ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由．
19．某个圆锥容器的轴截面是边长为8的等边三角形（容器壁厚度忽略不计），一个半径为r的小球在该容器内自由运动，小球能接触到的容器内壁侧面的区域可以形成一个圆台侧面，设该圆台上下底面圆心为和，如图所示．
(1)求圆台的体积（用r表示）；
(2)设小球半径，圆台的轴截面为等腰梯形，B为底面圆周上一点，且，平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围；
(3)在第（2）问条件下的圆台内放置若干个小球，要求每个小球均和该圆台上、下底面相切，则最多能放几个小球，并说明理由．
参考答案
1．C
2．D
3．A
4．B
5．A
6．D
7．B
8．B
9．AC
10．ABC
11．ACD
12．32
13．
14． 513
15．（1）由，
化简得，
令，∵，则，
因为，的单调递减区间是，
由，解得，
∴函数单调递增区间为；
（2）∵，∴，
又∵，∴，即，
由已知条件可知，则角C为钝角，是钝角三角形，
∴，
则，
∴，∴，
∴的取值范围为．
16．（1）由列联表数据关系可知，，，，，，综上，，，，，．
（2）零假设：市民体育锻炼频次与体质达标无关联．
根据列联表数据，计算
由于，根据小概率值的独立性检验，判断不成立，
因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联．
（3）体质不达标者，高频锻炼组15人，低频锻炼组35人，按分层抽样抽取10人，则高频锻炼组抽取人数为3人，低频锻炼组抽取人数为7人．
从这10人中随机抽取3人进行专项访谈，事件总数有种，
设“抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组”为事件A，则事件A包含“0人来自高频组”和“一人来自高频组”两种情况．
则．
所以抽取的3人中至多有1人来自高频锻炼组的概率为．
17．（1）当时，
∵，∴，
即切线方程为.
（2）方法1：当，时，
令，，
令，则，
令，即在单调递增，
令，即在单调递减；
∵，
∴，使，即
∴在单调递减，在单调递增，
，
∴当时，，使得成立．
方法2：当，时，
令，，
令，则，
令，即在单调递增，
令，即在单调递减；
∵，，
∴，使，即
∴在单调递减，在单调递增，
，
∴当时，，使得成立．
18（1）设“曼哈顿椭圆”上任意一点为，则，
即，即，
所以“曼哈顿椭圆”的方程为.
将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称；
将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称；
同时将方程中替换为，替换为，方程仍不变，所以“曼哈顿椭圆”也关于原点对称．
只需分析出第一象限的图象即可，当，时，方程为；
当，时，方程为，“曼哈顿椭圆”图形如图所示．
其面积为．
（2）（ⅰ）∵，，
∴椭圆的左右顶点分别为，.
设椭圆的方程为，过点则，
即，所以椭圆的方程为．
（ⅱ）直线与圆相切，理由如下：
设过点与圆相切的直线方程为．则，，
，解得或．
设点，．则，．
直线的斜率为．
故直线的方程为，又，化简得直线方程为．
因此，圆心到直线的距离为，即直线与圆相切．
19．（1）设圆台上下底面圆的半径分别为，，在圆锥的轴截面中（如图所示），
∵，，
∴，，，即，，
设上下底面圆的面积为，，则，，
圆台的高，∴
（2）延长，交于点H，∵平面，平面，∴，BH即l，∵，，∴，，，，
以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
设，则，
设平面的法向量为，则
令，则，，即，
同理可求平面的法向量为，则
令，对称轴为，∴，，
即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为．
（3）最多能放3个小球．
理由如下：因为小球与上下底面均相切，∴小球半径为．
圆台上、下底面直径分别为3和5，则至少能放入一个半径为的小球．
为能放入更多小球我们先让放入的第一个小球与圆台侧面也相切，作出圆台轴截面如图1，小球与底面切于点，，由题意可计算出，可得，，所以，如图右侧还能再放一个这样的小球，所以至少能放下2个这样的小球．
现在分析是否能放3个小球，为了能放入更多小球，尽可能先让已放入的两个球两两相切且与圆台侧面相切，设先前放入的两个小球为球和球，它们与底面切于点，，作出两个小球的俯视图，，由上面结论可知
在中，利用余弦定理可得，
由圆台和球的对称性可知，恰好只再能放一个与这两个小球相切并和圆台侧面也相切的这类小球．
综上所述，圆台内最多能放3个这样的小球．

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