资源简介

河北黄骅中学2025-2026学年第二学期高一第一次月考数学试卷
一、单选题
1．已知i为虚数单位，，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．25
2．判断下列各命题的真假，其中假命题的个数为（ ）
（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）、是两非零向量，且与平行，则与方向相同或相反；（3）如果表示两个向量的有向线段有共同的终点，则这两个向量一定是共线向量；（4）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（5）为模为1的向量，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知，则等于（　　）
A．10 B． C．3 D．
4．已知，是两个不共线的单位向量，，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在中，角的对边分别为，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
7．已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．若 ，，，则有唯一解
C．若，则是等腰三角形或直角三角形
D．若 ，则角
8．已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列关于向量的命题，正确的有（ ）
A．若，，则
B．对任意向量，，都成立
C．对任一向量，有
D．对于任意两个向量和，有
10．已知向量，，则（ ）
A．向量方向上的单位向量为
B．当时，向量在向量上的投影向量为
C．当与的夹角为锐角时，
D．当时，
11．对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，，且有两解，则的取值范围是
C．在锐角中，不等式恒成立
D．在中，若，，则必是等边三角形
三、填空题
12．已知向量，，若，则_______.
13．已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为__________．
14．若函数的图像上存在不同的两点和，满足，则称函数具有性质．给出下列函数：
①，；
②，
③；
④，．
其中具有性质的函数为_____（填上所有正确序号）
四、解答题
15．已知复数，求满足下列条件的实数的值：
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)在复平面内对应的点位于第三象限．
16．已知，，且与的夹角为60°.
(1)求的值
(2)求的值；
(3)若向量与平行，求实数的值．
17．某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

(1)求的值；
(2)测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
18．已知中，角的对边分别是，，，且．
(1)求角A的大小；
(2)求的最大值；
(3)若，为边上靠近B点的三等分点，求的面积．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足，.
(1)求；
(2)求的值；
(3)求的取值范围.
参考答案
1．A
2．C
3．B
4．A
5．D
6．D
7．D
8．A
9．CD
10．BC
11．ACD
12．
13．
14．①②④
15．（1）由题意，得，解得或．
（2）由题意，得解得．
（3）由，解得，所以．
16．（1）因为，，
所以.
（2）因为，，且与的夹角为60°，
所以，
所以，
所以.
（3）因为向量与平行，所以，
由平面向量基本定理可得，
解得或，
所以的值为.
17．（1）解：由，
得，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以．
（2）在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）．
在中，，
所以，
又，
解得．
在中，，
所以．
由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用．
18．（1）由得，而，
所以，即，
由正弦定理得．
故．
即，
即，而，，
故，即．
而，故.
（2）由余弦定理得，即，
而，所以，
所以，当且仅当时等号成立．
故的最大值为18.
（3）
因为D为边上靠近B点的三等分点，，，
有，即，故，
两边平方得，
即，化简得①，
在中，由余弦定理得；
在中，由余弦定理得；
而，
故，即②，
由①和②得：，解得，代入②得，
所以的面积为.
19．（1）由，得，
所以，
所以.，
所以，
因为，所以，
可得，又，所以；
（2）由，可得的三个内角均小于120°，又点为的费马点，
则，
由可得，
由余弦定理可得，
所以，所以，
又，
故，
可得.
所以；
（3）设，则，，，
其中，
在中，由正弦定理可得，即，
则，
在中，由正弦定理可得，即，
则，
，
又
，
又，
所以的取值范围是.

展开更多......

收起↑