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浙江省丽水市2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．已知圆的半径为4，则圆中一条弦的长度不可能的是（　　)
A．2 B．4 C．8 D．10
2．已知线段a=4，b=9，则a，b的比例中项线段等于（　　)
A．-6 B．6 C．18 D．36
3．下列事件中，属于必然事件的是（　　)
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．打开电视机，正在播放体育节目
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
D．篮球运动员罚球一次，进框得分
4．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinA=（　　)
A． B． C． D．
5．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（　　)
A．6 B．8 C．9 D．12
6．如图，AB是半圆的直径，点 C在半圆上，若∠BAC=40°，则 的度数是（　　)
A．40° B．80° C．100° D．140°
7．对于抛物线 ，下列判断正确的是（　　)
A．开口向下 B．对称轴是直线x=-1
C．与y轴相交于点（0，3) D．顶点坐标是（2，1)
8．如图所示，小丽将含30°的直角三角板放置在⊙O中，斜边AB恰好是⊙O一条弦，直角顶点C在圆外，AC与⊙O相交于点D，连结BD，测得 CD=1cm，CA=9cm，则⊙O的半径是（　　)
A． B． C． D．
9．如图，已知菱形ABCD，AD=4，点E是CD上一点，连结BE，△BCE沿BE翻折，点C的对称点F刚好落在边AD上，BF，BE与对角线AC分别交于点 G，H，若AF=EF，则CH的长度为（　　)
A． B． C． D．
10．已知二次函数 的图象过.A（-5，y1)，B（-2，y2)，C（1，y3)，D（4，y4)四点，以下推断： ①若y2＜y3，则y1＜y4；②若y2＜y1，则y3>y4； ③若y1＜y3，则y2>y4，以上推断正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题 （本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．正六边形一个内角的度数是　 　。
12．已知二次函数y=（x-1)2+3，则该函数的最小值是　 　。
13．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是　 　。
14．如图将矩形ABCD 绕着点 B 顺时针旋转得到矩形 BEFG，点G落在CD的中点上，若AB=4，则 的长度为　 　。
15．如图1，用边长为4个单位长度的正方形制作而成的七巧板，拼成如图2所示的“小马图”放置在平面直角坐标系中，点A，点B（小马尾巴)在y轴上，点C，点D，点E（小马脚蹄)在x轴上，则点M（小马嘴巴)的坐标为　 　。
16．某数学兴趣小组在用“悬挂法”找三角形重心的探究活动中，如图1，剪一个直角三角形纸板，在它的直角顶点 A 处系一根线，悬挂起来，在纸板上画出悬线的延长线AD。如图2所示，再次在直角三角形纸板点E处系一根线，其中E为AB边上的一点，画延长线EF，交AC于点F，即可找到该直角三角形纸板的重心 O。若 AE=3EB，△ABC 的面积为800cm2，则△AEF的面积为　 　cm2。
三、解答题（本题有8小题,第17~21题每题8分,第22,23 题每题10分,第24题12分,共72分)
17．已知二次函数. 的图象与x轴交于点A（-2，0)和点 B。
（1） 求k的值。
（2）将点A沿x轴平移到点 B，求平移的距离。
18．如图，在△ABC中，AB=AC。
（1）请在BC边上作一点D，并连结AD，使△DAB 与△ABC相似（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)。
（2） 若AB=3，BC=5，根据你画出的图形，求BD的长。
19．随着AI技术的不断发展，无人机在生活中的应用日渐普及。在某次消防演习中，消防员用无人机探测到楼顶C点有被困人员，此时无人机离地面的高度DE=60米，测得A点俯角为30°，C点的俯角为45°，地面AB的距离为120米。
（1）求无人机 D处到大楼BC 的水平距离。
（2）若消防云梯的最大高度为54米，此时 C点的被困人员能否成功获救
20．小明参加浙江省城市篮球联赛（浙BA)丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有2个红球和2个黄球（除颜色外其余都相同)，从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球。若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件。
（1）用适当的方法列举摸球所有可能的结果。
（2）求出小明同学获得篮球的概率。
21．图（1）是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图（2）的⊙O是其示意图。某学习小组用一根长为7m的笔直竹竿CD 去辅助测量，点C在圆弧上，点D在地面AB 上，且CD⊥AB，测得AB=8m，AD=1m。
（1） 若OE⊥AB 于点 E，求DE的长。
（2）求公路隧道轮廓的最大高度。
22．在 中，点E是AB 上的动点，点G是BC上的动点，连结DE交AG于点F。
（1） 如图1，当点E和点 B 重合，若BF：FD=1：2，求证： 点G是BC的中点。
（2）如图2，当点 G为BC的中点，若EF=nDF时，求AF：FG的值（用含n的代数式表示)。
23．已知二次函数. （a，b是常数，a>0)。
（1） 若a=1时。
①试判断点A（2，2b)是否在此二次函数的图象上
②已知点B（1，k)，C（1+b，k)在二次函数. 图象上，求k的值。
（2） 已知对称轴为直线x=t（124．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，点D是AC.上的动点，点E在AB上。连结DE，DB交AC于点 F，G，且EB=ED，延长AD，BC交于点 H，连结CD。
（1） 求证：∠H=∠ABD。
（2） 若CG=1，GF=3，求AF的长。
（3） 若 求 的最大值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵圆的半径为，
故圆的直径为，
故圆中弦长的取值范围是弦长；
又∵，
∴弦长不可能是．
故答案为：D.
【分析】根据圆中最长的弦为直径得到弦的取值范围，判断解答即可．
2．【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：设，的比例中项线段为，
∵是，的比例中项，
∴．
∵，，
∴．
∵线段长度为正数，即，
∴．
故答案为：B.
【分析】直接根据比例中项的平方等于另外两个数的乘积计算即可．
3．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、根据三角形内角和定理，任意一个三角形的内角和一定为，是必然事件，故A选项符合题意；
B、打开电视机正在播放体育节目，是随机事件，故B选项不符合题意；
C、抛掷硬币正面朝上，是随机事件，故C选项不符合题意；
D、篮球运动员罚球进框得分，是随机事件，故D选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，据此解答即可．
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出的长，再根据正弦的定义解答即可．
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵，相似比为，
∴的周长的周长，
设的周长为，则，
解得．
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
6．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵是半圆的直径，
∴．
∵，
在中，．
∴的度数为；
故答案为：C.
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求出∠B的度数，然后根据圆周角定理解答即可.
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线中对称轴为直线，顶点坐标是，
故选项B、D说法错误，
∵，
∴抛物线的开口向上，
故选项A说法错误，
令，则，
所以抛物线与轴相交于点，
故选项C说法正确．
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的图像和性质逐项判断解答即可．
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接、，则，
∵，，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，，
在中，，
∴，即的半径是，
故答案为：A.
【分析】连接、，根据圆周角定理可得，根据30°的直角三角形的性质得到，然后得到是等边三角形，即可得到，在中利用勾股定理求得BD长解答即可．
9．【答案】D
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题可知，，
，
在和中，
，
，
，
，
在菱形中，，为的角平分线，
，则，
，
，
解得，则，
，
即，则，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
整理得，解得或（舍去），
即．
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质和翻折的性质得到，即可得到，然后推理证明，根据对应边成比例求出CH长解答即可．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：设二次函数的对称轴为，
∵对于二次函数，当时，点到对称轴的距离越远，函数值越大；当时，点到对称轴的距离越远，函数值越小．
①若：
当时，
∵，
∴，两边平方得，展开化简得，
∴，
∵，
∴，结合的性质，
∴；
当时，
∵，
∴，两边平方化简得，
∴，
∵，
∴，结合的性质，
∴，
综上，①正确；
②若：
当时，
∵，
∴，平方化简得，
∴，
取（满足），
∵且，
∴，与矛盾，故②错误；
③若：
当时，
∵，
∴，平方化简得，
∴，
取（满足），
∵且，
∴，与矛盾，故③错误；
综上，正确的推断只有1个，
故答案为：B.
【分析】根据离对称轴远的点的函数值大得到对称轴的位置，然后再判断其余两点离对称轴的距离解答即可.
11．【答案】120°
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的内角和为，
所以每一个内角的度数为．
故答案为：120．
【分析】根据正多边形的性质和多边形的内角和定理解答即可.
12．【答案】3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴为，
当时，二次函数有最小值，最小值为；
故答案为：3．
【分析】根据二次函数的性质解答即可.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为，则总面积为，
其中空白部分的面积为，
∴击中飞镖游戏板空白部分的概率是；
故答案为：．
【分析】根据几何概率计算公式解答即可．
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转性质得，
∵点落在的中点上，
∴，
在中，，
∴，则，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用矩形的性质和旋转性质得到，，根据正弦的定义求出，即可得到，然后根据弧长公式计算即可．
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；七巧板与拼图制作；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：七巧板由边长为4的正方形分割而成，各板块边长可通过勾股定理和分割规则确定：
①②大等腰直角三角形：直角边，斜边；
④中等等腰直角三角形：直角边，斜边；
⑥⑦小等腰直角三角形：直角边，斜边；
③正方形：边长；
⑤平行四边形：短边，长边．
点横坐标，
点纵坐标，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】先根据正方形性质和七巧板分割，运用勾股定理算出各块的边长和高，然后计算出点M的横坐标和纵坐标解答即可．
16．【答案】360
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：的面积为，
，即．
如图，延长交于，连接，
∵点为直角三角形纸板的重心，
∴是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∴，
∴，
∴．
作于，则，
∴．
∴，，，
∴．
，
，设，则，，
．
，
，
，
．
的面积为．
故答案为：．
【分析】根据三角形面积公式求出的值；延长交于，连接，根据重心的定义和重心定理，根据；利用对应边长比例求出；代入三角形面积公式解答即可．
17．【答案】（1）解：将代入，得，
解得．
（2）解：由（1）得，
令，得，
解得，，
所以点的坐标为，
故点沿轴平移了2个单位到点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；用坐标表示平移；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把 （-2，0) 代入函数关系式，求出k的值解答即可；
（2）令，求出抛物线与轴的交点坐标，然后得到平移距离解答即可．
18．【答案】（1）解：所作的点D位置如图所示。
（2）解：，为公共角，，，
，即
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交边于点，则点D即为所作；
（2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
19．【答案】（1）解：如图，过点作于点．
∵地面，地面，，
∴四边形是矩形，
∴．
由题意可知：米，米，．
在中，，
∴．
∴米．
又∵，
∴．
答：无人机处到大楼的水平距离为米．
（2）解：因为∠DCF=45°，CF=120-60
所以
因为BC=EF=DE-DF，
所以
因为43.8<54。所以C点被困人员能够成功获救。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作于点，即可得到四边形是矩形，然后根据正切的定义求出AE长，然后根据线段的和差解答即可；
（2）根据正切的定义求出DF长，然后根据线段的和差解答即可．
20．【答案】（1）解：列表如下：
红1 红2 黄l 黄2
红1 　 红2红1 黄1红1 黄2红1
红2 红1红2 　 黄1红2 黄2红2
黄1 红1黄1 红2黄1 　 黄2黄1
黄2 红1黄2 红2黄2 黄1黄2 　
所以摸球所有可能的结果共有12种。
（2）解：由（1）得，两次摸出的球颜色相同的结果有4种，所以小明同学获得篮球的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（）用列表法得到两次摸球可能出现的各种结果即可；
（）由（）得到所有等可能结果，然后得到两次摸出的球颜色相同的结果数，根据概率公式计算即可．
21．【答案】（1）解：，，
，
又，
；
（2）解：如图，过点作于点，连接、，延长交弧于点．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，．
由（1）知，故；
设，则．
∴．
在中，根据勾股定理，；
在中，同理得．
∵，
∴，
解得，即．
在中，，
即的半径．
∴；
答：公路隧道轮廓的最大高度为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）利用垂径定理求出AE长，然后根据线段的和差解答即可；
（2）过点作于点，连接、，延长交弧于点，即可得到四边形是矩形，然后根据勾股定理求出OE和OA长，然后求出GE长解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴点是的中点；
（2）解：如图，延长交延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，即，则，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
即．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到与相似，根据对应边成比例证明即可；
（2）延长交的延长线于，根据平行四边形的性质，利用AAS证明，得到，再根据证明，根据对应边成比例解答即可．
23．【答案】（1）解：①当时，二次函数表达式为，
令，则，
∴点在二次函数的图象上．
②∵点，的纵坐标相同，且，
故抛物线的对称轴为，
解得，
故点的坐标为，代入，得．
（2）解：将，代入函数，得，，
故，
∴，
则．
抛物线的对称轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故，
即．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①将代入，得出二次函数的解析式，令，求出y值解答即可；
②根据抛物线的对称轴可得，求出，然后代入点坐标解答即可；
（2）把，的坐标代入函数解析式，可以求出，即可得到，根据抛物线的对称轴和的取值范围得到，解答即可．
24．【答案】（1）证明：因为，所以．
因为是的外角，所以．
因为与都是弧所对的圆周角，
所以，
因为
所以．
（2）解：因为，所以．
因为与都是弧所对的圆周角，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，，，
所以，
因为，
所以．
因为，，
所以，即；
（3）解：作于点，于点，于点，连接、．
由，可设，．
在中，，
所以，
所以边上的高线长，
因为，，
所以．
因为，，
所以垂直平分，又，
所以A、O、P三点共线，
在中，，，
由勾股定理得，
解得，
因为，，
所以，
所以．
故要使最大，只要最大即可，即点是弧的中点时，最大．
此时，垂直平分，
在Rt中，，
．
所以的最大值．
所以的最大值．
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角得到，再利用三角形的外角性质和圆周角定理证明结论；
（2）根据两角对应相等得到，即可得到，进而求出，，．得到，然后根据等角对等边解答即可；
（3）作于点，于点，于点，连接、．设，．根据三线合一的性质、勾股定理和三角形的面积得到，，．然后求出，根据两角相等得到，即可得到．进而可得使最大，只要最大即可，即点是弧的中点时，最大．然后根据勾股定理求得ON长，计算比值解答即可．
1 / 1浙江省丽水市2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．已知圆的半径为4，则圆中一条弦的长度不可能的是（　　)
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：∵圆的半径为，
故圆的直径为，
故圆中弦长的取值范围是弦长；
又∵，
∴弦长不可能是．
故答案为：D.
【分析】根据圆中最长的弦为直径得到弦的取值范围，判断解答即可．
2．已知线段a=4，b=9，则a，b的比例中项线段等于（　　)
A．-6 B．6 C．18 D．36
【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：设，的比例中项线段为，
∵是，的比例中项，
∴．
∵，，
∴．
∵线段长度为正数，即，
∴．
故答案为：B.
【分析】直接根据比例中项的平方等于另外两个数的乘积计算即可．
3．下列事件中，属于必然事件的是（　　)
A．任意画一个三角形，其内角和为180°
B．打开电视机，正在播放体育节目
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
D．篮球运动员罚球一次，进框得分
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、根据三角形内角和定理，任意一个三角形的内角和一定为，是必然事件，故A选项符合题意；
B、打开电视机正在播放体育节目，是随机事件，故B选项不符合题意；
C、抛掷硬币正面朝上，是随机事件，故C选项不符合题意；
D、篮球运动员罚球进框得分，是随机事件，故D选项不符合题意．
故答案为：A.
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，据此解答即可．
4．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinA=（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出的长，再根据正弦的定义解答即可．
5．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（　　)
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵，相似比为，
∴的周长的周长，
设的周长为，则，
解得．
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
6．如图，AB是半圆的直径，点 C在半圆上，若∠BAC=40°，则 的度数是（　　)
A．40° B．80° C．100° D．140°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵是半圆的直径，
∴．
∵，
在中，．
∴的度数为；
故答案为：C.
【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求出∠B的度数，然后根据圆周角定理解答即可.
7．对于抛物线 ，下列判断正确的是（　　)
A．开口向下 B．对称轴是直线x=-1
C．与y轴相交于点（0，3) D．顶点坐标是（2，1)
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线中对称轴为直线，顶点坐标是，
故选项B、D说法错误，
∵，
∴抛物线的开口向上，
故选项A说法错误，
令，则，
所以抛物线与轴相交于点，
故选项C说法正确．
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的图像和性质逐项判断解答即可．
8．如图所示，小丽将含30°的直角三角板放置在⊙O中，斜边AB恰好是⊙O一条弦，直角顶点C在圆外，AC与⊙O相交于点D，连结BD，测得 CD=1cm，CA=9cm，则⊙O的半径是（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接、，则，
∵，，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，，
在中，，
∴，即的半径是，
故答案为：A.
【分析】连接、，根据圆周角定理可得，根据30°的直角三角形的性质得到，然后得到是等边三角形，即可得到，在中利用勾股定理求得BD长解答即可．
9．如图，已知菱形ABCD，AD=4，点E是CD上一点，连结BE，△BCE沿BE翻折，点C的对称点F刚好落在边AD上，BF，BE与对角线AC分别交于点 G，H，若AF=EF，则CH的长度为（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由题可知，，
，
在和中，
，
，
，
，
在菱形中，，为的角平分线，
，则，
，
，
解得，则，
，
即，则，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
整理得，解得或（舍去），
即．
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质和翻折的性质得到，即可得到，然后推理证明，根据对应边成比例求出CH长解答即可．
10．已知二次函数 的图象过.A（-5，y1)，B（-2，y2)，C（1，y3)，D（4，y4)四点，以下推断： ①若y2＜y3，则y1＜y4；②若y2＜y1，则y3>y4； ③若y1＜y3，则y2>y4，以上推断正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：设二次函数的对称轴为，
∵对于二次函数，当时，点到对称轴的距离越远，函数值越大；当时，点到对称轴的距离越远，函数值越小．
①若：
当时，
∵，
∴，两边平方得，展开化简得，
∴，
∵，
∴，结合的性质，
∴；
当时，
∵，
∴，两边平方化简得，
∴，
∵，
∴，结合的性质，
∴，
综上，①正确；
②若：
当时，
∵，
∴，平方化简得，
∴，
取（满足），
∵且，
∴，与矛盾，故②错误；
③若：
当时，
∵，
∴，平方化简得，
∴，
取（满足），
∵且，
∴，与矛盾，故③错误；
综上，正确的推断只有1个，
故答案为：B.
【分析】根据离对称轴远的点的函数值大得到对称轴的位置，然后再判断其余两点离对称轴的距离解答即可.
二、填空题 （本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．正六边形一个内角的度数是　 　。
【答案】120°
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的内角和为，
所以每一个内角的度数为．
故答案为：120．
【分析】根据正多边形的性质和多边形的内角和定理解答即可.
12．已知二次函数y=（x-1)2+3，则该函数的最小值是　 　。
【答案】3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴为，
当时，二次函数有最小值，最小值为；
故答案为：3．
【分析】根据二次函数的性质解答即可.
13．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是　 　。
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为，则总面积为，
其中空白部分的面积为，
∴击中飞镖游戏板空白部分的概率是；
故答案为：．
【分析】根据几何概率计算公式解答即可．
14．如图将矩形ABCD 绕着点 B 顺时针旋转得到矩形 BEFG，点G落在CD的中点上，若AB=4，则 的长度为　 　。
【答案】
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转性质得，
∵点落在的中点上，
∴，
在中，，
∴，则，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用矩形的性质和旋转性质得到，，根据正弦的定义求出，即可得到，然后根据弧长公式计算即可．
15．如图1，用边长为4个单位长度的正方形制作而成的七巧板，拼成如图2所示的“小马图”放置在平面直角坐标系中，点A，点B（小马尾巴)在y轴上，点C，点D，点E（小马脚蹄)在x轴上，则点M（小马嘴巴)的坐标为　 　。
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；七巧板与拼图制作；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：七巧板由边长为4的正方形分割而成，各板块边长可通过勾股定理和分割规则确定：
①②大等腰直角三角形：直角边，斜边；
④中等等腰直角三角形：直角边，斜边；
⑥⑦小等腰直角三角形：直角边，斜边；
③正方形：边长；
⑤平行四边形：短边，长边．
点横坐标，
点纵坐标，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】先根据正方形性质和七巧板分割，运用勾股定理算出各块的边长和高，然后计算出点M的横坐标和纵坐标解答即可．
16．某数学兴趣小组在用“悬挂法”找三角形重心的探究活动中，如图1，剪一个直角三角形纸板，在它的直角顶点 A 处系一根线，悬挂起来，在纸板上画出悬线的延长线AD。如图2所示，再次在直角三角形纸板点E处系一根线，其中E为AB边上的一点，画延长线EF，交AC于点F，即可找到该直角三角形纸板的重心 O。若 AE=3EB，△ABC 的面积为800cm2，则△AEF的面积为　 　cm2。
【答案】360
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：的面积为，
，即．
如图，延长交于，连接，
∵点为直角三角形纸板的重心，
∴是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∴，
∴，
∴．
作于，则，
∴．
∴，，，
∴．
，
，设，则，，
．
，
，
，
．
的面积为．
故答案为：．
【分析】根据三角形面积公式求出的值；延长交于，连接，根据重心的定义和重心定理，根据；利用对应边长比例求出；代入三角形面积公式解答即可．
三、解答题（本题有8小题,第17~21题每题8分,第22,23 题每题10分,第24题12分,共72分)
17．已知二次函数. 的图象与x轴交于点A（-2，0)和点 B。
（1） 求k的值。
（2）将点A沿x轴平移到点 B，求平移的距离。
【答案】（1）解：将代入，得，
解得．
（2）解：由（1）得，
令，得，
解得，，
所以点的坐标为，
故点沿轴平移了2个单位到点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；用坐标表示平移；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把 （-2，0) 代入函数关系式，求出k的值解答即可；
（2）令，求出抛物线与轴的交点坐标，然后得到平移距离解答即可．
18．如图，在△ABC中，AB=AC。
（1）请在BC边上作一点D，并连结AD，使△DAB 与△ABC相似（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)。
（2） 若AB=3，BC=5，根据你画出的图形，求BD的长。
【答案】（1）解：所作的点D位置如图所示。
（2）解：，为公共角，，，
，即
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交边于点，则点D即为所作；
（2）根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
19．随着AI技术的不断发展，无人机在生活中的应用日渐普及。在某次消防演习中，消防员用无人机探测到楼顶C点有被困人员，此时无人机离地面的高度DE=60米，测得A点俯角为30°，C点的俯角为45°，地面AB的距离为120米。
（1）求无人机 D处到大楼BC 的水平距离。
（2）若消防云梯的最大高度为54米，此时 C点的被困人员能否成功获救
【答案】（1）解：如图，过点作于点．
∵地面，地面，，
∴四边形是矩形，
∴．
由题意可知：米，米，．
在中，，
∴．
∴米．
又∵，
∴．
答：无人机处到大楼的水平距离为米．
（2）解：因为∠DCF=45°，CF=120-60
所以
因为BC=EF=DE-DF，
所以
因为43.8<54。所以C点被困人员能够成功获救。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作于点，即可得到四边形是矩形，然后根据正切的定义求出AE长，然后根据线段的和差解答即可；
（2）根据正切的定义求出DF长，然后根据线段的和差解答即可．
20．小明参加浙江省城市篮球联赛（浙BA)丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有2个红球和2个黄球（除颜色外其余都相同)，从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球。若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件。
（1）用适当的方法列举摸球所有可能的结果。
（2）求出小明同学获得篮球的概率。
【答案】（1）解：列表如下：
红1 红2 黄l 黄2
红1 　 红2红1 黄1红1 黄2红1
红2 红1红2 　 黄1红2 黄2红2
黄1 红1黄1 红2黄1 　 黄2黄1
黄2 红1黄2 红2黄2 黄1黄2 　
所以摸球所有可能的结果共有12种。
（2）解：由（1）得，两次摸出的球颜色相同的结果有4种，所以小明同学获得篮球的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（）用列表法得到两次摸球可能出现的各种结果即可；
（）由（）得到所有等可能结果，然后得到两次摸出的球颜色相同的结果数，根据概率公式计算即可．
21．图（1）是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图（2）的⊙O是其示意图。某学习小组用一根长为7m的笔直竹竿CD 去辅助测量，点C在圆弧上，点D在地面AB 上，且CD⊥AB，测得AB=8m，AD=1m。
（1） 若OE⊥AB 于点 E，求DE的长。
（2）求公路隧道轮廓的最大高度。
【答案】（1）解：，，
，
又，
；
（2）解：如图，过点作于点，连接、，延长交弧于点．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，．
由（1）知，故；
设，则．
∴．
在中，根据勾股定理，；
在中，同理得．
∵，
∴，
解得，即．
在中，，
即的半径．
∴；
答：公路隧道轮廓的最大高度为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）利用垂径定理求出AE长，然后根据线段的和差解答即可；
（2）过点作于点，连接、，延长交弧于点，即可得到四边形是矩形，然后根据勾股定理求出OE和OA长，然后求出GE长解答即可．
22．在 中，点E是AB 上的动点，点G是BC上的动点，连结DE交AG于点F。
（1） 如图1，当点E和点 B 重合，若BF：FD=1：2，求证： 点G是BC的中点。
（2）如图2，当点 G为BC的中点，若EF=nDF时，求AF：FG的值（用含n的代数式表示)。
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴点是的中点；
（2）解：如图，延长交延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，即，则，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
即．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到与相似，根据对应边成比例证明即可；
（2）延长交的延长线于，根据平行四边形的性质，利用AAS证明，得到，再根据证明，根据对应边成比例解答即可．
23．已知二次函数. （a，b是常数，a>0)。
（1） 若a=1时。
①试判断点A（2，2b)是否在此二次函数的图象上
②已知点B（1，k)，C（1+b，k)在二次函数. 图象上，求k的值。
（2） 已知对称轴为直线x=t（1【答案】（1）解：①当时，二次函数表达式为，
令，则，
∴点在二次函数的图象上．
②∵点，的纵坐标相同，且，
故抛物线的对称轴为，
解得，
故点的坐标为，代入，得．
（2）解：将，代入函数，得，，
故，
∴，
则．
抛物线的对称轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故，
即．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①将代入，得出二次函数的解析式，令，求出y值解答即可；
②根据抛物线的对称轴可得，求出，然后代入点坐标解答即可；
（2）把，的坐标代入函数解析式，可以求出，即可得到，根据抛物线的对称轴和的取值范围得到，解答即可．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，点D是AC.上的动点，点E在AB上。连结DE，DB交AC于点 F，G，且EB=ED，延长AD，BC交于点 H，连结CD。
（1） 求证：∠H=∠ABD。
（2） 若CG=1，GF=3，求AF的长。
（3） 若 求 的最大值。
【答案】（1）证明：因为，所以．
因为是的外角，所以．
因为与都是弧所对的圆周角，
所以，
因为
所以．
（2）解：因为，所以．
因为与都是弧所对的圆周角，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，，，
所以，
因为，
所以．
因为，，
所以，即；
（3）解：作于点，于点，于点，连接、．
由，可设，．
在中，，
所以，
所以边上的高线长，
因为，，
所以．
因为，，
所以垂直平分，又，
所以A、O、P三点共线，
在中，，，
由勾股定理得，
解得，
因为，，
所以，
所以．
故要使最大，只要最大即可，即点是弧的中点时，最大．
此时，垂直平分，
在Rt中，，
．
所以的最大值．
所以的最大值．
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角得到，再利用三角形的外角性质和圆周角定理证明结论；
（2）根据两角对应相等得到，即可得到，进而求出，，．得到，然后根据等角对等边解答即可；
（3）作于点，于点，于点，连接、．设，．根据三线合一的性质、勾股定理和三角形的面积得到，，．然后求出，根据两角相等得到，即可得到．进而可得使最大，只要最大即可，即点是弧的中点时，最大．然后根据勾股定理求得ON长，计算比值解答即可．
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